17.2.1
勾股定理的逆定理
下列定理中，没有逆定理的是(
)
A．直角三角形的两锐角互余
B．若三角形三边长a，b，c(其中a＜c，b＜c)满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C．全等三角形的对应角相等
D．互为相反数的两数之和为0
2.
满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )
A．b2－c2＝a2
B．a∶b∶c＝5∶12∶13
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠C＝∠A－∠B
3.
下列几组数，是勾股数的是( )
A．4，5，6
B．12，16，20
C．－10，24，26
D．2.4，4.5，5.1
4.
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( )
A．∠A是直角
B．∠B是直角
C．∠C是直角
D．∠A是锐角
5.
如图，△ABC在正方形网格中．若小正方形的边长均为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
6.
若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7.
(2020·绍兴)长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③a2＝(b＋c)(b－c)；
④a：b：c＝5：12：13.
其中能判定△ABC是直角三角形的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2020·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
A.
1，4，5
B.
2，3，5
C.
3，4，5
D.
2，2，4
（2020秋?滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
若│x－5│＋＋(z－12)2＝0，则由x，y，z为三边的三角形是________三角形．
若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60，则它的面积为________．
将一根24米长的绳子折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为__________．
观察下列几组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a，b，c.根据你的发现，写出当a＝20时，b＝________，c＝_______．
在△ABC
中，若a2＋b2＝25，a2－b2＝7，c＝5，则最长边上的高为________．
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.
求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，△ABC是直角三角形吗？说明你的理由．
（2020秋?定西期末）如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．
(2019·河北)已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2，求整式B.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值.
如图是一块草地，已知AD＝4
m，CD＝3
m，AB＝12
m，BC＝13
m，且∠CDA＝90°，求这块草地的面积．
如图，三个村庄A，B，C之间的距离分别为AB＝5
km，BC＝12
km，AC＝13
km，要从B村修一条公路BD直达AC，已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
(1)【操作发现】
如图①，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.
请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝________.
(2)【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长.
(3)【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数.17.2.1
勾股定理的逆定理
下列定理中，没有逆定理的是(
C )
A．直角三角形的两锐角互余
B．若三角形三边长a，b，c(其中a＜c，b＜c)满足a2＋b2＝c2，则该三角形是直角三角形
C．全等三角形的对应角相等
D．互为相反数的两数之和为0
2.
满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( C )
A．b2－c2＝a2
B．a∶b∶c＝5∶12∶13
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠C＝∠A－∠B
3.
下列几组数，是勾股数的是( B )
A．4，5，6
B．12，16，20
C．－10，24，26
D．2.4，4.5，5.1
4.
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( A )
A．∠A是直角
B．∠B是直角
C．∠C是直角
D．∠A是锐角
5.
如图，△ABC在正方形网格中．若小正方形的边长均为1，则△ABC的形状为( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
6.
若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是( D )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
7.
(2020·绍兴)长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( B )
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【点拨】①三边长度分别为5，3，4，能构成三角形，且最长边长为5；
②三边长度分别为2，6，4，不能构成三角形；
③三边长度分别为2，7，3，不能构成三角形；
④三边长度分别为3，3，6，不能构成三角形．
综上所述，得到的三角形的最长边长为5.【答案】
B
△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③a2＝(b＋c)(b－c)；
④a：b：c＝5：12：13.
其中能判定△ABC是直角三角形的有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【点拨】①中，∵∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；
②中，由∠A：∠B：∠C＝3：4：5得△ABC中最大角∠C＝180°×＝75°，则△ABC为锐角三角形；
③中，a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2，即a2＋c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；④中，∵a：b：c＝5：12：13，∴a2＋b2＝c2，故△ABC是直角三角形．
【答案】
C
(2020·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( B )
A.
1，4，5
B.
2，3，5
C.
3，4，5
D.
2，2，4
【点拨】当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵＞，∴选取的三块纸片的面积分别是2，3，5.
【答案】B
（2020秋?滦南县期末）如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（ C ）
A．2
B．2
C．4
D．4
【点拨】如图，先设平板手推车的长度为x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
设平板手推车的长度为x米，
当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角通道的宽为2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故选：C．
若│x－5│＋＋(z－12)2＝0，则由x，y，z为三边的三角形是___直角_____三角形．
若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60，则它的面积为___120
_____．
将一根24米长的绳子折成三边长为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为___6米，8米，10米_______，此三角形的形状为____直角三角形________．
观察下列几组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a，b，c.根据你的发现，写出当a＝20时，b＝___99_____，c＝__101______．
在△ABC
中，若a2＋b2＝25，a2－b2＝7，c＝5，则最长边上的高为________．
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.
求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
(1)解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2，∠BAC＝45°.∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2＋AC2＝12＋(2)2＝9，CD2＝9.
∴AD2＋AC2＝CD2.∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°.∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝135°.
(2)：在Rt△ABC中，S△ABC＝·BC·AB＝×2×2＝2.
在Rt△ADC中，S△ADC＝·AD·AC＝×1×2＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2＋.
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，△ABC是直角三角形吗？说明你的理由．
解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
（2020秋?定西期末）如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．
【点拨】根据等边三角形的性质、直角三角形的性质求出AD、AB，根据等边三角形的判定定理和性质定理计算．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝12（cm），
∵点D为AB中点，
∴AB＝2AD＝24（cm），
∴AC＝BC＝AB＝24（cm），
∴EC＝AC﹣AE＝24﹣6＝18（cm），
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝18×3＝54（cm）．
(2019·河北)已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2，求整式B.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值.
解：尝试 A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2
＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
发现
∵A＝B2，B>0，
∴B＝n2＋1.
联想 17；37
如图是一块草地，已知AD＝4
m，CD＝3
m，AB＝12
m，BC＝13
m，且∠CDA＝90°，求这块草地的面积．
解：连接AC.
∵AD＝4
m，CD＝3
m，∠CDA＝90°，∴AC＝5
m.
又∵BC＝13
m，AB＝12
m，∴AC2＋AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB＝90°.
∴这块草地的面积为S△ABC－S△ACD＝AB·AC－CD·AD＝×5×12－×3×4＝24(m2)．
如图，三个村庄A，B，C之间的距离分别为AB＝5
km，BC＝12
km，AC＝13
km，要从B村修一条公路BD直达AC，已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
解：∵BC2＋AB2
＝122
＋52
＝169，
AC2
＝132
＝169，∴BC2
＋AB2
＝AC2
，∴∠ABC＝90°，
当BD⊥AC时BD最短，造价最低．
∵S△ABC
＝AB·BC＝AC·BD，
∴BD＝km，∴×26
000＝120
000元．
(1)【操作发现】
如图①，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.
请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝____45°____.
(2)【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长.
(3)【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数.
解：如图①所示． 45°
(2)【思路点拨】解答本题要紧扣两个切入点:一是将分散的已知线段(PA，PB，PC)集中到同一个三角形中去;二是用旋转法进行转换.
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A，连接PP′，
如图②，则AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBP′＝60°，
∠AP′B＝∠BPC，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝，∠BP′P＝60°.
又∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2＋PP′2＝AP2，
∴△PP′A是直角三角形，且∠AP′P＝90°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°＋60°＝150°.
如图②，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
则∠MP′B＝180°－150°＝30°，∴BM＝BP′＝.
在Rt△BP′M中，由勾股定理得P′M＝，
∴AM＝1＋＝.
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB＝＝.
(3)：如图③，将△BPC绕点B逆时针
旋转90°得到△BEA，连接EP.
则有AE＝PC＝1，BE＝BP＝，
∠BPC＝∠AEB，∠PBE＝90°，
∴∠BEP＝×(180°－90°)＝45°.
在Rt△BEP中，由勾股定理得EP＝2.
∵AE＝1，AP＝，EP＝2，
∴AE2＋EP2＝AP2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°＋45°＝135°.
