17.1.3
勾股定理的几何应用
1.
如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为( )
A.
2
B.
－1
C.
－1
D.
如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A.
(1，0)
B.
(－1，0)
C.
(－5，0)
D.
(5，0)
(2020·陕西)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( )
A．
B．
C．
D．
4.
(2020·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
若AC＝2，BC＝2，则BE的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.
(2019·枣庄)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.
若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )
A.
4
B.
2
C.
6
D.
2
已知x,y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,以x,y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(
)
A.5
B.25
C.7
D.15
(中考·陕西)如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )
A.
B.
2
C.
D.
3
【2020·衢州】把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为( )
B.
C.
D.
(2020·威海)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案.
小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块，正好制成一副七巧板(如图②).
已知AB＝40
cm，则图中阴影部分的面积为( )
A.
25
cm2
B.
cm2
C.
50
cm2
D.
75
cm2
(2020·重庆A)如图,在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD于点F.
若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( )
A.
B.
C.
D.
一个零件的形状如图所示，已知AC＝3
cm，AB＝4
cm，BD＝12
cm，则CD＝
．
如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，B(0，6)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为____________．
(2020·辽阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为________.
【2020·通辽】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是_________．
如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
(创新题)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2
020的值为?
.?
如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点.
求证：
△ACE≌△BCD；
(2)AD2＋AE2＝DE2.
如图，每个小正方形的边长都为1.
求四边形ABCD的周长；
(2)求点A到BC的距离．
如图，AD是△ABC的中线.
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2).
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E，F分别为AC，BC的中点，DE⊥DF.
求证：AE2＋BF2＝EF2.
[阅读理解]
如图，在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.
(1)若∠C为直角，则a2＋b2＝c2；
(2)若∠C为锐角，则a2＋b2与c2的关系为a2＋b2＞c2；
(3)若∠C为钝角，试写出a2＋b2与c2的关系(不写证明)．
[探究问题]
在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．
如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图②中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；()2＋1＝4，S3＝；….
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
(2)求S＋S＋S＋…＋S的值17.1.3
勾股定理的几何应用
1.
如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为( C )
A.
2
B.
－1
C.
－1
D.
如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为( B )
A.
(1，0)
B.
(－1，0)
C.
(－5，0)
D.
(5，0)
(2020·陕西)如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为( D )
A．
B．
C．
D．
4.
(2020·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
若AC＝2，BC＝2，则BE的长为( A )
A.
B.
C.
D.
5.
(2019·枣庄)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.
若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( D )
A.
4
B.
2
C.
6
D.
2
【点拨】由题易得四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形ABCD的边长，再利用勾股定理求解即可．
【答案】D
已知x,y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,以x,y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(
C
)
A.5
B.25
C.7
D.15
(中考·陕西)如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( C )
A.
B.
2
C.
D.
3
【点拨】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵在Rt△ADC中，AC＝8，∠C＝45°，
∴AD＝CD，∴AD2＋CD2＝AC2，∴AD＝4.
在Rt△ADB中，∵∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°.
∴BD＝AB，
∴BD2＋AD2＝AB2＝4BD2，又∵AD＝4，
∴BD＝.
∵BE平分∠ABC，∴∠EBD＝30°.
在Rt△EBD中，∵∠EBD＝30°，
∴DE＝BE.∴DE2＋BD2＝4DE2，
又∵BD＝，∴DE＝.
∴AE＝AD－DE＝.故选C.
【2020·衢州】把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为( A )
B.
C.
D.
【点拨】由折叠补全图形如图所示．
∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC＝
∠B＝∠C＝由第一次折叠得∠ADE＝∠A′DE＝∠ADC＝45°，
又∵∠A＝90°，∴∠AED＝∠ADE＝45°.∴AE＝AD＝1.
在Rt△ADE中，根据勾股定理得DE＝.
由第二次折叠知CD＝DE＝，∴AB＝.
∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB.
【答案】
A
(2020·威海)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案.
小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块，正好制成一副七巧板(如图②).
已知AB＝40
cm，则图中阴影部分的面积为( C )
A.
25
cm2
B.
cm2
C.
50
cm2
D.
75
cm2
【点拨】如图，设OF＝EF＝FG＝x
cm，
则OE＝OH＝2x
cm.在Rt△EOH中，
由勾股定理得EH＝2x
cm，
由题意易知EH＝20
cm，∴20＝2x.∴x＝5.
∴阴影部分的面积＝(5)2＝50(cm2)．
【答案】C
(2020·重庆A)如图,在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC相交于点G，连接BE交AD于点F.
若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为( B )
A.
B.
C.
D.
【点拨】∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2.
∴S△ADE＝4.
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°.
∴·(AF＋DF)·BF＝4.
即·(3＋DF)·2＝4.
∴DF＝1.
∴DB＝＝＝.
设点F到BD的距离为h，则有·BD·h＝·BF·DF，
∴h＝.
【答案】B
一个零件的形状如图所示，已知AC＝3
cm，AB＝4
cm，BD＝12
cm，则CD＝
13
．
如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，B(0，6)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为____(－2，0)________．
(2020·辽阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为____5____.
【2020·通辽】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是_____PB2＋PA2＝2PC2______．
【点拨】如图，连接BQ.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°.
∵△PCQ是等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB，PQ2＝2PC2.
∴∠ACB－∠PCB＝∠PCQ－∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ.
又∵AC＝BC，PC＝CQ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)．
∴PA＝BQ，∠CAP＝∠CBQ＝45°.∴∠ABQ＝45°＋45°＝90°.∴PB2＋BQ2＝PQ2.∴PB2＋PA2＝2PC2.
【答案】
PB2＋PA2＝2PC2
如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为___
115.2_____．
【点拨】在Rt△PFH中，FH＝＝＝10，
∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.
设△PFH的边FH上的高为h，则h＝＝4.8，
∴S长方形ABCD＝24×4.8＝115.2.
解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长，然后再运用面积法求出△PFH中FH边上的高．本题容易因忽视条件而求不出答案．
【答案】
115.2
(创新题)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2
020的值为?
.?
如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点.
求证：
△ACE≌△BCD；
(2)AD2＋AE2＝DE2.
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
（2）：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC.
∵∠DBC＋∠DAC＝90°，
∴∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2.
如图，每个小正方形的边长都为1.
求四边形ABCD的周长；
(2)求点A到BC的距离．
（1）解：由勾股定理，得：
AB＝＝，BC＝＝2，
CD＝＝，AD＝＝，
则四边形ABCD的周长＝＋3＋.
（2）：连接AC.
设点A到BC的距离为h，
△ABC的面积＝×(2＋5)×5－×1×5－×2×4＝11，
则×2×h＝11，解得h＝，
即点A到BC的距离为.
如图，AD是△ABC的中线.
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2).
方法总结：方关系的方法：先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明；若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明．
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，
根据勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2，
AE2＝AD2－DE2，
∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD·DE＋DE2＋CD2＋2CD·DE＋DE2＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD·DE＋2CD·DE.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∴AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2，
即AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E，F分别为AC，BC的中点，DE⊥DF.
求证：AE2＋BF2＝EF2.
【点拨】本题通过作辅助线将不在同一个三角形中的线段进行转移，转移到一个三角形中，从而将证明AE2＋BF2＝EF2转化为证明BG2＋BF2＝FG2.
证明：如图，延长ED至点G，使DG＝DE，连接BG，FG.
在△ADE和△BDG中，
∴△ADE≌△BDG(SAS)．∴AE＝BG，∠3＝∠4.
∵∠4＋∠5＝90°，∴∠3＋∠5＝90°.
又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF.
在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，即AE2＋BF2＝EF2.
[阅读理解]
如图，在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c.
(1)若∠C为直角，则a2＋b2＝c2；
(2)若∠C为锐角，则a2＋b2与c2的关系为a2＋b2＞c2；
(3)若∠C为钝角，试写出a2＋b2与c2的关系(不写证明)．
[探究问题]
在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．
【点拨】由CA＞BC可知∠B＞∠A，故∠A不是钝角，故应分∠B是钝角和∠C是钝角两种情况进行讨论．
解：[阅读理解]a2＋b2＜c2.
[探究问题]当∠C为钝角时，＜c＜a＋b，
∵a＝3，b＝4，∴＜c＜3＋4，即5＜c＜7；
当∠B为钝角时，b－a＜c＜，
∵a＝3，b＝4，∴4－3＜c＜，即1＜c＜.
综上所述，第三边c的取值范围为5＜c＜7或1＜c＜.
如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图②中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
()2＋1＝2，S1＝；()2＋1＝3，S2＝；()2＋1＝4，S3＝；….
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
(2)求S＋S＋S＋…＋S的值
（1）解：由勾股定理，得OA2＝＝，
OA3＝，OA4＝，…，
故OAn＝，所以OA10＝；
（2）：∵S1＝，S2＝，S3＝，…，∴Sn＝.
S＋S＋S＋…＋S＝＋＋＋…＋＝＝.
