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18.2
特殊的平行四边形
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（ ）
A．12cm2
B．24cm2
C．15cm2
D．48cm2
解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，
∴斜边＝2×6＝12（cm），
∴面积＝×12×4＝24（cm2）．
故选：B．
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为3cm，点B，D之间的距离为4cm，则线段AB的长为（ ）
A．2.5cm
B．3cm
C．3.5cm
D．4cm
解：如图，过A作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．OA＝OC＝AC＝（cm），OB＝OD＝BD＝2（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（cm），
故选：A．
3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
4．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'＝，
故选：A．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝AC?BD＝BC×AE，
∴AE＝＝．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，
∴的值为，
故选：C．
6．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AB在x轴上．若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（+1，0）
C．（﹣1，0）
D．（，0）
解：∵四边形ABCD是长方形，AB＝4，AD＝1，
∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝，
∴AM＝AC＝，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，0），
故选：C．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5
B．5.5
C．6.5
D．3.5或6.5
解：如图，当点M在BC上时，
∵△ABM′和△DCE全等，
∴BM＝CE，
由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，
所以t＝3.5（秒）；
当点M在AD上时，
∵△ABM″和△CDE全等，
∴AM″＝CE，
由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，
解得t＝6.5（秒）．
所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．
故选：D．
8．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（ ）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，
∵AD＝AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，
∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，
∵P是CD的中点，
∴NP＝CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
二．填空题（共4小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AB上，CD＝BD，CE＝AB，AD与CE交于点F，如果AB＝6，那么CF的长等于 2 ．
解：连接DE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE＝AB，
∴AE＝BE，∵CD＝BD，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE＝AC，DE∥AC，
∵AB＝6，
∴CE＝AB＝3，
∴CF＝CE＝2，
故答案为：2．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为 12 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵BD为AC边上的中线，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
∴BD＝DF＝GF＝BG＝10，则AF＝AG﹣GF＝26﹣10＝16，AC＝2BD＝20，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即162+CF2＝202，
解得：CF＝12．
故答案是：12．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为 2.4s或4s或7.2s 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
解：根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C﹣B﹣C﹣B﹣C运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴PD∥CQ，
若PD＝CQ，则四边形APQB是矩形，
由题意得DP＝12﹣t，
当0≤t≤3时，CQ＝4t，12﹣t＝4t，
∴t＝2.4（s），
当3＜t≤6时，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，
∴t＝4（s），
当6＜t≤9时，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，
∴t＝7.2（s）；
当9＜t≤12时，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，
∴t＝12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：2.4s或4s或7.2s．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为 6 ．
解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，连接BG，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD
∴四边形CDFB是矩形
∵BC＝CD
∴四边形CDFB是正方形
∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，
∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG
∴△BCE≌△BFG（SAS）
∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABF＝45°，
∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG
∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG
∴△ABE≌△ABG（SAS）
∴AE＝AG＝5，
∴AF＝AG﹣FG＝5﹣2＝3
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，
∴DF＝6
∴BC＝6
故答案为：6
三．解答题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
15．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵四边形ABEF是正方形，
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，
∴AD﹣AF＝AE﹣AG，
即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中，，
∴△DFO≌△EGO（AAS），
∴FO＝GO，FD＝EG
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，
∴DO＝OF＝OG，
∴DG＝DO+OG＝OG+OG＝1，
∴OG＝＝﹣1，
∴OD＝（﹣1）＝2﹣．
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18.2
特殊的平行四边形
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（ ）
A．12cm2
B．24cm2
C．15cm2
D．48cm2
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为3cm，点B，D之间的距离为4cm，则线段AB的长为（ ）
A．2.5cm
B．3cm
C．3.5cm
D．4cm
3．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
4．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AB在x轴上．若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（+1，0）
C．（﹣1，0）
D．（，0）
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5
B．5.5
C．6.5
D．3.5或6.5
8．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：
①CN⊥BD；
②MN＝NP；
③四边形MNCP是菱形；
④ND平分∠PNM．
其中正确的有（ ）
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
二．填空题（共4小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AB上，CD＝BD，CE＝AB，AD与CE交于点F，如果AB＝6，那么CF的长等于
．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝26，BG＝10，则CF的长为
．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为
时，P、Q、C、D四点组成矩形．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为
．
三．解答题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
15．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
16．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
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