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18.2.1
矩形（第2课时）矩形的判定
同步练习
一、选择题
1．（2020春?沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
2．（2020秋?紫金县期末）四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?薛城区期末）平行四边形的对角线和交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是
A．
B．
C．
D．
4．（2020秋?牡丹区期中）如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是
A．1.5
B．2
C．4.8
D．2.4
二、填空题
5．（2020春?老城区校级月考）一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形．
（判断对错）
6．（2020春?雨花区校级月考）如图，在平行四边形中，若，则四边形是
．
7．（2020?恩平市模拟）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，试添加一个条件：
使四边形为矩形．
8．（2020春?昌平区期末）（1）如图所示，小迪用四根长度分别为，，，的木条和直角尺按照图示要求搭了一个四边形木框，搭出的木框（木框的宽度忽略不计）的形状是
；
（2）用（1）中的四根木条重新组合，搭出（1）中形状的木框的最大面积是
．
三、解答题
9．（2020秋?丹东期末）如图，是的中线，，且，连接，．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
10．（2021?云南模拟）如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求和的长．
11．（2020秋?太原期末）如图，中，，是边上的高，点是中点，延长到，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
12．（2020秋?锦州期末）如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
（1）求证：
①；
②四边形是矩形；
（2）若，求的长．
18.2.1
矩形（第2课时）矩形的判定
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020春?沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的邻边一定相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．有三个角为直角的四边形为矩形
【解析】解：、矩形的对角线互相平分且相等，
选项不符合题意；
、矩形的邻边一定垂直，不一定相等，
选项不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，
选项不符合题意；
、有三个角为直角的四边形为矩形，
选项符合题意；
故选：．
2．（2020秋?紫金县期末）四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：可添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形．
故选：．
3．（2020秋?薛城区期末）平行四边形的对角线和交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
、时，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、，
，
，
平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项符合题意；
故选：．
4．（2020秋?牡丹区期中）如图，点是中斜边（不与，重合）上一动点，分别作于点，作于点，连接、，若，，当点在斜边上运动时，则的最小值是
A．1.5
B．2
C．4.8
D．2.4
【解析】解：，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
即的最小值是4.8，
故选：．
二、填空题
5．（2020春?老城区校级月考）一组对边平行，且有两个直角的四边形是矩形． 错误 （判断对错）
【解析】解：错误，直角梯形也满足此条件，但不是矩形；
故答案为：错误．
6．（2020春?雨花区校级月考）如图，在平行四边形中，若，则四边形是 矩形 ．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形，
故答案为矩形．
7．（2020?恩平市模拟）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，试添加一个条件： （答案不唯一） 使四边形为矩形．
【解析】解：添加条件：；理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形；
故答案为：（答案不唯一）．
8．（2020春?昌平区期末）（1）如图所示，小迪用四根长度分别为，，，的木条和直角尺按照图示要求搭了一个四边形木框，搭出的木框（木框的宽度忽略不计）的形状是 矩形 ；
（2）用（1）中的四根木条重新组合，搭出（1）中形状的木框的最大面积是 ．
【解析】解：（1）根据三个角是直角的四边形是矩形可得：搭出的木框（木框的宽度忽略不计）的形状是矩形；
（2）用（1）中的四根木条重新组合，搭出（1）中形状的木框的最大面积是，
故答案为：矩形，．
三、解答题
9．（2020秋?丹东期末）如图，是的中线，，且，连接，．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
【解析】证明：（1）是的中线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）当满足时，四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，，
四边形是矩形．
10．（2021?云南模拟）如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求和的长．
【解析】（1）证明：，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长是4．
设，则，在中，根据勾股定理列方程，求出．
在中，．
11．（2020秋?太原期末）如图，中，，是边上的高，点是中点，延长到，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：点是中点，
，
又，
四边形为平行四边形，
是边上的高，
，
，
四边形为矩形；
（2）解：四边形为矩形，
，
点是中点，
，，
又，
．
12．（2020秋?锦州期末）如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
（1）求证：
①；
②四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【解析】（1）证明：①平分，
，
，
，
在与中，
，
，
；
②点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
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精品试卷·第
2
页
（共
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人教版
八年级数学下册
18.2.1
矩形（第2课时）
1.掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算.
（重点）
2.通过矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路．
学习目标
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，
一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用
两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，做完
之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是
矩形。
除了矩形的定义外，有没有
其他判定矩形的方法呢？
问题
你能想一个办法确定
谁做的门是矩形吗？
新课导入
情境一：李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
.
你能证明上述结论吗？
探索新知
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
D
A
B
C
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC，
同理：AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A＝90°,
∴四边形ABCD是矩形.
情境二：
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=
DC，
AB∥CD,
∵AB
=
DC,BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌
△
DCB
,∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
E
F
G
H
O
例：已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴
AO=BO=CO=DO.
又∵
AE=BF=CG=DH,
∴OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EO+OG=FO+OH,
即EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形.
1.
现在你能帮两个徒弟解决问题了吗？这两个徒弟下列判定所做的门为矩形的方法中哪些正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（
）
（2）四个角都相等的四边形是矩形；（
）
（3）对角线相等的四边形是矩形；（
）
（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（
）
（5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．（
）
×
√
×
√
√
当堂巩固
2.能够判断一个四边形是矩形的条件是（
）
A
、对角线相等
B
、对角线垂直
C、对角线互相平分且相等
D、对角线垂直且相等
3.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是
cm.
4.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠
EAC、
∠
MCA、
∠
ACN、
∠
CAF的角平分线，则四边形ABCD是（
）
A
、一般四边形
B、平行四边形
C
、矩形
D
、不能确定
C
5
C
解：
5.
在
ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求∠ACB的度数.
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形
，
∴
OA=OC，OB=OD，
在△ABC中
，∠ABC=90°，
∴
AC=BD，
∴
ABCD是矩形.
∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=30°.
6.如图，
□?ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形
EFGH为矩形．
证明：在□?ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的平分线,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°,
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°.
∴
∠BAE+
∠ABF=
∠DAB+
∠ABC=90°.
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
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