8.4.1 平面课件（共29张PPT）

8.4.1　平　面
第八章　8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
学习目标
知识点一　平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周 的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即 表示平面，它的锐角通常画成 ，且横边长等于其邻边长的 倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用 画出来，如图②.
无限延展
平行四边形
45°
2
虚线
3.平面的表示法
图①的平面可表示为 、平面ABCD、 或平面BD.




思考　几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？
答案　没有　平行四边形
平面α
平面AC
知识点二　点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的 都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
_____
点A在直线l外
____
点A在平面α内
_____
点A在平面α外
____
直线l在平面α内
_____
直线l在平面α外
____
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
所有点
A∈l
A∈α
l?α
A?l
A?α
l?α
知识点三　平面的基本性质及作用
1.
基本事实
内容
图形
符号
作用
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，______
一个平面
?
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2
如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在___________
?
A∈l，B∈l，
且A∈α，B∈α?_______
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
有且
只有
两个点
这个平面内
l?α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_____
_____
?
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
公共
直线
2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1　 ，有且只有一个平面.
推论2　 ，有且只有一个平面.
推论3　 ，有且只有一个平面.
经过一条直线和这条直线外一点
经过两条相交直线
经过两条平行直线
思考辨析 判断正误
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　)
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　)
3.空间不同三点确定一个平面.(　　)
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
×
√
×
×
例1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作___________________.
一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
A∈b，b?β，A∈β
(2)用符号表示下列语句，并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外；
解　A∈α，A?β.(如图①)
②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
解　A∈a，B∈a，A∈α，B?α，a?α.(如图②)
③直线a在平面α内，也在平面β内.
解　α∩β＝a.(如图③)
反思感悟
三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
跟踪训练1　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
解　用符号表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　用符号表示A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图.
例2　如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.
证明　因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P∈β.
因为P∈b，b?α，所以P∈α.
又因为a?α，P?a，所以α与β重合，所以PQ?α.
二、点、线共面问题
反思感悟
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
核心素养之逻辑推理
证明点共线、线共点问题
典例　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点.
证明　∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，
∴M∈l，∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明　∵AB∥CD，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
∴AB，CD确定一个平面β，
素养提升
点共线与线共点的证明方法
(1)点共线：证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
1.有以下说法：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
1
2
3
4
5
√
解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；
③④两种说法是错误的.
课堂练习
2.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为
A.A?a，a?α，B∈α
B.A∈a，a?α，B∈α
C.A?a，a∈α，B?α
D.A∈a，a∈α，B∈α
√
1
2
3
4
5
解析　点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
1
2
3
4
5
3.下图中图形的画法正确的个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
√
4.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点
B.一个点和一条直线
C.无数个点
D.两条相交直线
1
2
3
4
5
√
解析　A项，三个点可能共线，
B项，点可能在直线上，
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
1
2
3
4
5
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
P∈直线DE
解析　因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1.知识清单：
(1)平面的概念.
(2)点、线、面之间的位置关系.
(3)平面的基本性质及作用.
2.方法归纳：同一法.
3.常见误区：三种语言的转化.
课堂小结
谢谢聆听