8.5.3 平面与平面平行课件（共25张PPT）

8.5.3　平面与平面平行
第八章　8.5　空间直线、平面的平行
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
学习目标
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言




图形语言




?
两条相交直线
思考　应用面面平行判定定理应具备哪些条件？
答案　①平面α内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.
知识点二　两个平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?________
图形语言
?




平行
a∥b
思考　(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
答案　不是.
(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？
答案　是的.
思考辨析 判断正误
1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.(　　)
2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(　　)
3.夹在两平行平面间的平行线段相等.(　　)
4.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.(　　)
√
×
×
√
例1　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
一、平面与平面平行的判定定理的应用
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
证明　∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明　∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
反思感悟
两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.
跟踪训练1　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.
证明　∵E，G分别是PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E，F分别是PC，PD的中点，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，
∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PAB.
二、平面与平面平行的性质定理的应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明　因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
反思感悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练2　如图，已知平面α∥β，P?α且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.
解　∵α∥β，平面PCD∩α＝AB，平面PCD∩β＝CD，
∵PA＝6，AC＝9，PD＝8，
核心素养之逻辑推理
几何中的计算问题
典例　如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.
解　如图所示.
连接AF，交β于点G，连接BG，EG，
则点A，B，C，F，G共面.
∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，
∴EF＝3DE＝3×5＝15(cm).
素养提升
利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.
1.在正方体中，相互平行的面不会是
A.前后相对侧面
B.上下相对底面
C.左右相对侧面
D.相邻的侧面
1
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3
4
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√
解析　由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行.
课堂练习
2.下列命题中正确的是
A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
1
2
3
4
5
√
解析　如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，
即两个平面没有公共点，
则两平面平行.
1
2
3
4
5
3.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
√
解析　由面面平行的性质定理易得.
4.若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
1
2
3
4
5
√
解析　由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
1
2
3
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5.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是
(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；
(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；
(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(3) D.(1)(2)(3)
√
解析　平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故(1)不正确；
当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不确定；
l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.
1.知识清单：
(1)平面与平面平行的判定定理.
(2)平面与平面平行的性质定理.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.
课堂小结
谢谢聆听