8.5.1 直线与直线平行课件（共23张PPT）

8.5.1　直线与直线平行
高中数学人教A版(2019)必修第二册
第八章　8.5　空间直线、平面的平行
1.会判断空间两直线的位置关系.
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.
学习目标
知识点一　基本事实
文字语言
平行于同一条直线的两条直线______
图形语言
?

符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c?________
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的________
平行
a∥c
传递性
知识点二　空间等角定理
1.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′
O′B′＝180°
图形语言
?




?
作用
判断或证明两个角相等或互补
相等或互补
2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
思考　如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？
答案　不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.
思考辨析 判断正误
1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.(　　)
2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.(　　)
3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.
(　　)
4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(　　)
×
√
√
√
例1　(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
一、基本事实的应用
证明　∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
∴四边形EBB′E′是平行四边形，∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
∴EE′∥FF′.
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.
证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四边形BFD1E是平行四边形.
反思感悟
基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
跟踪训练1　如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN.
证明　如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，
则M，N分别在BQ，CQ上.
∵M，N分别为△PAB，△PAC的重心，
又G，H分别为PB，PC的中点，
∴GH∥BC，∴GH∥MN.
二、等角定理的应用
例2　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.
求证：∠BGC＝∠FD1E.
证明　因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.
反思感悟
等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形；
证明　如图 ，连结AC，在△ACD中，
∴MN是△ACD的中位线，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明　由(1)可知，MN∥A1C1.
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
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解析　可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
√
课堂练习
2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有
A.∠BAC＝∠B′A′C′
B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
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√
解析　由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行，
所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.
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3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.空间四边形
√
解析　利用E，F，G，H分别为各边中点，
可得这个四边形是平行四边形，
再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.
4.两等角的一组对应边平行，则
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
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√
解析　另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.
注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.
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5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
√
解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
1.知识清单：
(1)基本事实4的应用.
(2)等角定理的应用.
2.方法归纳：转化思想.
3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.
课堂小结
谢谢聆听