8.6.3 平面与平面垂直课件（共28张PPT）

8.6.3　平面与平面垂直
第八章　8.6　空间直线、平面的垂直
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
学习目标
知识点一　二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的 ；
(2)两个半平面叫做二面角的 .
3.画法：
两个半平面
棱
面
4.记法：二面角 或二面角 或二面角 或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O l；②OA α，OB β；③OA l，OB l，则二面角α－l－β的平面角是 .
(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
α－l－β
α－AB－β
P－l－Q
∈
?
?
⊥
⊥
∠AOB
知识点二　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
(3)记作： .
直二面角
α⊥β
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直
符号语言
l⊥α， ?α⊥β
图形语言



?
垂线
l?β
知识点三　平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面_____
符号语言
α⊥β，α∩β＝l， ， ?a⊥β
图形语言



?
交线
垂直
a?α
a⊥l
思考辨析 判断正误
1.组成二面角的平面角的两边所在直线所确定的平面与二面角的棱垂直.(　　)
2.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　　)
3.若平面α⊥平面β，任取直线l?α，则必有l⊥β.(　　)
4.若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面.
(　　)
√
×
√
√
例1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
一、二面角的求法
解　由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
反思感悟
在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.
跟踪训练1　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
①二面角D′－AB－D的大小为______.
45°
解析　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，
所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.
在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，
所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
②二面角A′－AB－D的大小为______.
90°
解析　因为AB⊥平面AD′，
所以AB⊥AD，AB⊥AA′，
因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，
又∠A′AD＝90°，
所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
二、平面与平面垂直的判定
例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明　∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
反思感悟
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
跟踪训练2　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，
求证：平面ABC⊥平面ASC.
证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH?平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，
又SH?平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
又SH＝SH，SA＝SB，
三、平面与平面垂直的性质定理
例3　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
反思感悟
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练3　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.
求证：AM⊥平面EBC.
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，BC，EC?平面EBC，
∴AM⊥平面EBC.
1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
1
2
3
4
5
√
解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
课堂练习
2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n?α
C.m∥n，n⊥β，m?α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
1
2
3
4
5
√
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，
由面面垂直的判定定理，得α⊥β.
1
2
3
4
5
3.从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
√
1
2
3
4
5
解析　∵PE⊥α，PF⊥β，
∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，
易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，
则∠FOE为二面角的平面角，
如图①所示，
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，
∴二面角α－l－β的平面角为120°.
当点P的位置如图②所示时，
此时∠FOE＝∠EPF，
∴二面角α－l－β的平面角为60°.
4.下列命题正确的是
A.平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
B.若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C.若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D.若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
1
2
3
4
5
√
解析　A项，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误；
B项，直线m与平面α内的一条直线平行，也可能m?α，故B错误；
C项，平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线，只有当此直线在α内时才垂直于β，故C错误；
D项，a与平面α内的任意一条直线都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
1
2
3
4
5
5.已知一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.既不相等也不互补
√
解析　画图易得到满足已知条件的两个二面角相等或互补，若它们的平面角均为锐角，则这两个二面角相等.
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直.
课堂小结
谢谢聆听