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18.2.2
菱形（第1课时）菱形的性质
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?禅城区期末）关于菱形，下列说法错误的是
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．四条边相等
D．对角线相等
2．（2020秋?昌图县期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是
A．对角线垂直
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
3．（2020秋?化州市期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点且，则等于
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2020秋?阳山县期末）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为
A．48
B．24
C．14
D．12
5．（2020秋?白银期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为
A．
B．
C．
D．
6．（2021?长春模拟）已知，如图，在菱形中．
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；
（2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是
A．
B．如果，那么
C．
D．
7．（2020秋?周村区期末）如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则
A．
B．
C．
D．
8．（2020秋?南山区期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2020秋?金川区校级期末）已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的周长是
．
10．（2020秋?舞钢市期末）如图，是菱形的对角线，是上的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别是点和，若菱形的周长是，面积是，则的值是
．
11．（2021?禹州市一模）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点．若线段的长为，则的长为
．
12．（2020秋?锦州期末）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为
．
三、解答题
13．（2020秋?三水区期末）如图，在菱形中，过点分别作于点，作于点．求证：．
14．（2020秋?周村区期末）如图，菱形的边长为2，，、分别是边，上的两个动点，且满足．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
15．（2020?鲤城区校级模拟）如图，菱形，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，，求的长．
16．（2020春?如东县校级月考）菱形中，，点在边上，点在边上．
（1）如图1，若是的中点，，求证：是的中点．
（2）如图2，若，，求的度数．
18.2.2
菱形（第1课时）菱形的性质
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?禅城区期末）关于菱形，下列说法错误的是
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．四条边相等
D．对角线相等
【解析】解：菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
对角线相等不是菱形的性质，
故选：．
2．（2020秋?昌图县期末）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是
A．对角线垂直
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
【解析】解：、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：．
3．（2020秋?化州市期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点且，则等于
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】解：四边形是菱形，
，，
又点是边的中点，
．
故选：．
4．（2020秋?阳山县期末）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为
A．48
B．24
C．14
D．12
【解析】解：菱形的两条对角线分别长8、6，
故选：．
5．（2020秋?白银期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，对角线，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线的长为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图1，图2中，连接．
图1中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：．
6．（2021?长春模拟）已知，如图，在菱形中．
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；
（2）作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是
A．
B．如果，那么
C．
D．
【解析】解：．连接，
由作图知，是的垂直平分线，则，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选项正确；
．，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
故选项错误；
．，，
，
故选项正确；
．，
，
，
故选项正确．
故选：．
7．（2020秋?周村区期末）如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
垂直平分，
，
．
故选：．
8．（2020秋?南山区期末）如图，在菱形中，对角线、交于点，且，，过点作垂直，交于点，则的值为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
在中，，
，
的值为，
故选：．
二、填空题
9．（2020秋?金川区校级期末）已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的周长是 ．
【解析】解：菱形的两条对角线长为和，
菱形的两条对角线长的一半分别为和，
根据勾股定理，边长，
所以，这个菱形的周长是，
故答案为：．
10．（2020秋?舞钢市期末）如图，是菱形的对角线，是上的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别是点和，若菱形的周长是，面积是，则的值是 2 ．
【解析】解：连接，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
11．（2021?禹州市一模）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点．若线段的长为，则的长为 8 ．
【解析】解：如图，连接并延长，交于点，连接，
四边形为菱形，，
，
，，
点为的中点，
，
，
，
，，
点为的中点，点为的中点，
，分别为和的中点，
是的中位线，
，
，
，分别为和的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
12．（2020秋?锦州期末）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为 ．
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，
，分别为，的中点，
是的中位线，
，
当时，最小，得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．（2020秋?三水区期末）如图，在菱形中，过点分别作于点，作于点．求证：．
【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
．
14．（2020秋?周村区期末）如图，菱形的边长为2，，、分别是边，上的两个动点，且满足．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
【解析】（1）证明：菱形的边长为2，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：等边三角形．
理由：，
，，
，
，
是等边三角形．
15．（2020?鲤城区校级模拟）如图，菱形，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：是等边三角形．
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：如图，作于，连接．
、关于对称，
，，
垂直平分，
，，
在菱形中，，，
，，
又，
，，
，
四边形中，，
，
又，
是等边三角形；
（2）当时，，，
是等腰直角三角形，
又，
，
由（1）可得，，
中，．
16．（2020春?如东县校级月考）菱形中，，点在边上，点在边上．
（1）如图1，若是的中点，，求证：是的中点．
（2）如图2，若，，求的度数．
【解析】证明：（1）如图1所示：连接．
在菱形中，，
，．
等边三角形．
是的中点，
．
，
．
．
．
．
，
，
是的中点；
（2）如图2所示：连接．
是等边三角形，
，．
．
，
，．
．
在和中，，
．
．
，
是等边三角形．
，
，
．
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精品试卷·第
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（共
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人教版
八年级数学下册
18.2.2
菱形（第1课时）
1.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
2.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题．（难点）
学习目标
思考:如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
探索新知
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可得到一个菱形.
1.菱形的性质
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回答以下问题：
1.菱形是轴对称图形吗？
2.菱形有几条对称轴？
3.对称轴之间有什么关系？
4.你能看出图中哪些线段和角相等？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
菱形ABCD中，
AB=CD=AD=BC
OA=OC,OB=OD
∠DAB=∠BCD
,
∠ABC
=∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC
=90°
∠1=∠2=∠3=∠4,∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC
,
△
DBC
,
△ACD,△ABD
Rt△AOB,
Rt△BOC
,Rt△COD,
Rt△DOA
Rt△AOB
≌Rt△BOC≌Rt△COD
≌Rt△DOA
△ABD≌△CBD
,△ABC≌△ADC
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
由此我们可以得到菱形的性质：
菱形是轴对称图形,
对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
问题:猜想菱形的四条边在数量上有什么关系?菱形的两条
对角线有什么关系?
猜想1
菱形的四条边都相等.
猜想2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是菱形.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD.
又∵AB
=
CD，AD
=
BC,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
证一证
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB
=
OD
.
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
例1
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
问题1
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
2.菱形的面积
问题2
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
例2
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝
OA·OB＝
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝
.
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
( )
A.10
B.12
C.15
D.20
C
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
当堂巩固
3.如图，已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）
A.2.4cm
B.4.8cm
C.5cm
D.9.6cm
B
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
5.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm.
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
