7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件（共26张PPT）

7.1.1　数系的扩充和复数的概念
第七章　7.1　复数的概念
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
学习目标
1.复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ .
(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
2.复数集
(1)定义： 所构成的集合叫做复数集.
(2)表示：通常用大写字母C表示.
知识点一　复数的有关概念
虚数单位
－1
z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数
知识点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(b＝0)，
(b≠0)
纯虚数 ，
非纯虚数 .
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
实数
虚数
a＝0
a≠0
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di? ，a＋bi＝0? .
知识点三　复数相等的充要条件
a＝c且b＝d
a＝b＝0
思考辨析 判断正误
1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.(　　)
2.复数i的实部不存在，虚部为0.(　　)
3.bi是纯虚数.(　　)
4.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.(　　)
×
×
×
√
例1　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是
A.① B.②
C.③ D.④
一、复数的概念
√
解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.
对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误.
两个虚数不能比较大小，则②错误.
对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.
显然，④正确.
反思感悟
复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
跟踪训练1　(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C.若b＝0，则a＋bi为实数
D.i的平方等于1
√
解析　对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.
所以ABD均错误.
√
√
二、复数的分类
(1)是虚数；
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)是纯虚数.
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
延伸探究
1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
2.已知z＝log2(1＋m)＋i (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围.
解　∵z是虚数，
∴ (3－m)≠0，且1＋m>0，
∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3).
反思感悟
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数?b＝0.
②z为虚数?b≠0.
③z为纯虚数?a＝0且b≠0.
跟踪训练2　若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为
A.1 B.2
C.1或2 D.－1
√
解析　根据复数的分类知，
即a＝2.
三、复数相等的充要条件
例3　若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值.
延伸探究
若关于x的方程3x2－ －1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解　设方程的实根为x＝m，
反思感悟
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.
跟踪训练3　复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝_____.
5
解析　因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
解得m＝5.
1
2
3
4
5
A.0 B.1
C.2 D.3
√
课堂练习
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.(多选)若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值可以为
A.－1 B.2
C.1 D.－2
√
解析　因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
√
4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_______________________.
1
2
3
4
5
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
1
2
3
4
5
5.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝____，y＝_____.
1　 1
解析　∵x2－y2＋2xyi＝2i，
1.知识清单：
(1)数系的扩充.
(2)复数的概念.
(3)复数的分类.
(4)复数相等的充要条件.
2.方法归纳：方程思想.
3.常见误区：未化成z＝a＋bi的形式.
课堂小结
谢谢聆听