7.1.2 复数的几何意义课件（共28张PPT）

7.1.2　复数的几何意义
第七章　7.1　复数的概念
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
学习目标
知识点一　复平面
思考　有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
答案　不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
实轴
虚轴
知识点二　复数的几何意义
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 .
知识点三　复数的模
|z|或|a＋bi|
1.定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫 .
知识点四　共轭复数
相等
互为相反数
共轭虚数
a－bi
思考辨析 判断正误
1.复平面内的点与复数是一一对应的.(　　)
2.复数的模一定是正实数.(　　)
3.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(　　)
4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.(　　)
√
×
×
√
例1　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上；
一、复数与复平面内的点的关系
解　若z对应的点Z在实轴上，
(2)在第三象限.
解　若z对应的点Z在第三象限，
反思感悟
利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
解　若复数z的对应点在虚轴上，
则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
二、复数与复平面内的向量的关系
(2)已知复数1，－1＋2i，－3i,6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；
如图所示.
(3)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
故点D对应的复数为－3－2i.
反思感悟
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
A.－5＋5i B.5－5i
C.5＋5i D.－5－5i
√
三、复数的模及其应用
例3　(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于
√
解析　因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
∴z＝－15＋8i.
反思感悟
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
跟踪训练3　(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是
A.z1>z2 B.z1 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
√
(2)已知0 A.(1， ) B.(1， )
C.(1,3) D.(1,10)
√
解析　0核心素养之直观想象
复数模的几何意义
典例　设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|<3；
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
x2＋y2<9.
所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
(2)|z|＝2.
解　根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2.
所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.
素养提升
复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.
1
2
3
4
1.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析　z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
课堂练习
2.(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为
A.1 B.2
C.3 D.4
1
2
3
4
√
解得m＝1或3.
√
1
2
3
3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是
A.(－1,2) B.(－2,1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)
√
解析　∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴m－1<0，m＋2>0，解得－2 则实数m的取值范围是(－2,1).
4.设复数z＝i，则z的共轭复数为_____.
－i
1.知识清单：
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.
(2)复数的模及几何意义.
(3)共轭复数.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合.
3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小；|z－(a＋bi)|表示复平面内的点到点(a，b)的距离.
课堂小结
谢谢聆听