7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.
学习目标
知识点一 复数加法与减法的运算法则
1.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则
(1)z1+z2= ;
(2)z1-z2= .
2.对任意z1,z2,z3∈C,有
(1)z1+z2= ;
(2)(z1+z2)+z3= .
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
z2+z1
z1+(z2+z3)
知识点二 复数加减法的几何意义
思考 类比绝对值|x-x0|的几何意义,|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是什么?
答案 |z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
z1+z2
z1-z2
思考辨析 判断正误
1.两个虚数的和或差可能是实数.( )
2.在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.( )
3.复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( )
√
√
×
×
例1 (1)计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i);
一、复数代数形式的加、减运算
解 原式=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.
(2)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2.
解 因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,
所以(3+x)+(2-y)i=5-6i,
所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
反思感悟
解决复数加减运算的思路
两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减),所有虚部相加(减).
跟踪训练1 复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析 复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i,其对应的点为(9,1),在第一象限.
二、复数加减法的几何意义
例2 如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
反思感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
解 因为ABCD是平行四边形,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
三、复数模的综合问题
例3 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是
√
解析 设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,
|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.
所以Z点在线段Z1Z2上移动,|Z1Z3|min=1,
所以|z+i+1|min=1.
反思感悟
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.
跟踪训练3 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
√
解析 由复数模及复数减法运算的几何意义,
结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C的距离相等,
∴P为△ABC的外心.
1
2
3
4
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
√
解析 原式=1-i-2-i+3i=-1+i.
5
课堂练习
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
1
2
3
4
√
解析 z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.
故z对应的点为(-1,-3),位于第三象限.
5
1
2
3
4
3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
A.-2 B.4
C.3 D.-4
√
解析 ∵z+(3-4i)=1,
∴z=-2+4i,故z的虚部是4.
5
4.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=_____.
1
2
3
4
-1
解析 ∵z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)为纯虚数,
5
5.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是________.
1
2
3
4
5-2i
设点C坐标为(x,y),则x=5,y=-2,
故点C对应的复数为5-2i.
5
1.知识清单:
(1)复数代数形式的加减运算法则.
(2)复数加减法的几何意义.
(3)复平面上两点间的距离公式.
2.方法归纳:类比、数形结合.
3.常见误区:忽视模的几何意义.
课堂小结
谢谢聆听