7.2.2 复数的乘、除运算课件（共26张PPT）

7.2.2　复数的乘、除运算
第七章　7.2　复数的四则运算
高中数学人教A版(2019)必修第二册
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
学习目标
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝____
结合律
(z1z2)z3＝_______
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝_________
思考　|z|2＝z2，正确吗？
答案　不正确.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
知识点二　复数除法的法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
预习小测 自我检验
1.(1＋i)(2＋i)＝______.
1＋3i
解析　依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.
2－i
3.复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第_____象限.
四
解析　因为z＝i(－2－i)＝1－2i，
所以复数z对应的点在第四象限.
例1　计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
一、复数代数形式的乘法运算
解　(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思感悟
(1)两个复数代数形式乘法的一般方法
①首先按多项式的乘法展开.
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.
跟踪训练1　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
√
解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
√
解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，
二、复数代数形式的除法运算
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
√
解析　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
对应的点在第二象限.
反思感悟
(1)两个复数代数形式的除法运算步骤
①首先将除式写为分式.
②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数.
③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
√
三、在复数范围内解方程
例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，
所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，
即x＝－3±i.
反思感悟
当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数.
跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根.
(1)求b，c的值；
解　∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
(2)试判断1－i是不是方程的根.
解　由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立.
∴1－i是方程的根.
1
2
3
4
1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1
D.a＝1，b＝－1
√
5
解析　∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，
∴a＝1，b＝－1.
课堂练习
2.复数(1＋i)2(2＋3i)的值为
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
1
2
3
4
√
解析　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
5
1
2
3
4
5
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
1
2
3
4
5.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.
1.知识清单：
(1)复数的乘法及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)复数的综合运算.
(4)在复数范围内解方程.
2.方法归纳：分母实数化；配方法解方程；求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
课堂小结
谢谢聆听