17.2.2
勾股定理及其逆定理的综合应用
1.
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法.
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到长方形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.
请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
证明：由题知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.
又∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.
∴∠C′AC＝90°.
∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，
∴(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.
∴(a＋b)2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60
m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80
m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100
m回到家A处.
问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由.
解：小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
理由如下：∵AB＝60
m，BC＝80
m，AC＝100
m，
∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
又AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.
∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图．若沿对角线AC剪开，得到的两块铁皮都是直角三角形吗？为什么？
解：得到的两块铁皮都是直角三角形．
理由如下：
连接AC.
∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．
∴由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝8.
∵AD2＋AC2＝1＋8＝9，DC2＝9，
∴AC2＋AD2＝DC2，
∴△ACD为直角三角形．
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝BC.
你能说明∠AFE是直角吗？
解：如图，连接AE，设CE＝a，
则BC＝4a，BE＝3a.
因为四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点，
所以AB＝AD＝CD＝BC＝4a，DF＝CF＝2a.
由勾股定理得AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2
，
EF2＝CE2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2，
AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.
因为AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2，
所以AF2＋EF2＝AE2.
由直角三角形的判定方法得∠AFE＝90°，即∠AFE是直角．
如图是由边长为1的小正方形组成的网格.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由.
(1)解：如图所示．将四边形ABCD
分成4个小直角三角形，
分别为Rt△AED，Rt△CED，Rt△AFB，Rt△CFB，发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半，
因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半，即×52＝12.5.
(2)：AD⊥CD.理由如下：在△ADC中，
∵AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，
∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴AD⊥CD.
如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝300
m，AD＝400
m，CD＝1
300
m，BC＝1
200
m．请计算种植草皮的面积．
解：连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝3002＋4002＝5002，
在△CBD中，CD2＝1
3002，BC2＝1
2002，
而1
2002＋5002＝1
3002，
即BC2＋BD2＝CD2，∴△BCD是直角三角形且∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD＋S△DBC＝AD·AB＋BD·BC＝360
000
m2.
答：种植草皮的面积是360
000
m2.
如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海.
晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.
经检测AC＝10
n
mile，AB＝6
n
mile，BC＝8
n
mile.
若该可疑船只的速度为12.
8
n
mile/h，则该可疑船只最早何时进入我国领海？
解：∵AB2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
又S△ABC＝AC·BD＝AB·BC，∴×10·BD＝×6×8，
解得BD＝4.8
n
mile.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82＝40.96，
解得CD＝6.4
n
mile.
故该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8＝0.5(h)．
因此该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10：58.
如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN＝30°.点A处有一所中学，AP＝160
m．假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100
m以内(包括100
m)会受到噪音的影响．
(1)该学校是否会受到噪音的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18
km/h，则学校受到影响的时间有多长？
(1)【点拨】过点A作AB⊥PN于点B，根据垂线段最短可知，若AB＞100
m，则不受影响；若AB≤100
m，则受影响．若受影响，则首先需要找出受影响时拖拉机行驶的路段，再构建直角三角形并利用勾股定理求出该路段的长，进而可求出受影响的时间．
解：该学校会受到噪音的影响．
理由：如图，过点A作AB⊥PN，垂足为点B，则有∠ABP＝90°. ∵AP＝160
m，∠QPN＝30°，
∴AB＝AP＝×160＝80(m)．
∵80
m＜100
m，∴该学校会受到噪音的影响．
(2)：如图，以A为圆心，100
m为半径作弧，交PN于点C，D(C，D分别在BP，BN上)，连接AC，AD.
即当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处时，学校开始受到噪音的影响，直到拖拉机行驶到点D以外时，学校才不受拖拉机噪音的影响．
王伟准备用一段长30
m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a
m，由于受地势限制，第二条边长比第一条边长的2倍多2
m.
请用a表示第三条边长．
问第一条边长可以为7
m吗？请说明理由，并直接写出a的取值范围．
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
(1)解：第一条边长为a
m，第二条边长为(2a＋2)m，
∴第三条边长为30－a－(2a＋2)＝(28－3a)
m.
(2)：第一条边长不可以为7
m.
理由：如果第一条边长为7
m，那么第二条边长为16
m，第三条边长为7
m，7＋7<16，不满足三角形三边之间的关系，不能构成三角形．∴第一条边长不可以为7
m.
a的取值范围是＜a＜.
(3)：能．可以围成一个三边长分别为5
m，12
m，13
m的直角三角形．
10.
如图，已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF：FB＝3：1.
(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
(1)解：EF⊥DE.理由如下：
设正方形ABCD的边长为a，则AD＝DC＝a，FB＝a，AF＝a，BE＝EC＝a.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝a2，
在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝a2；
在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝a2；∴DE2＋EF2＝a2＋a2＝a2＝DF2.∴△DFE为直角三角形，
且∠DEF＝90°.∴EF⊥DE.
(2)：∵正方形的面积为16，
∴a2＝16.
∴DF2＝a2＝×16＝25.
∴DF＝5.
11.为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽全家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问：当年结婚时，两个人各是多少岁？现在共有子女几人？(在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁)
解：设詹克现在a岁，凯丽现在b岁，
共有子女c人，
则有a2－b2＝c2，a＝b＋1，56≤a≤70，
56≤b≤70，
所以(b＋1)2－b2＝c2，整理得b＝，
因此56≤≤70，解得113≤c2≤141，
故c2＝121，c＝11，解得b＝60，a＝61，
所以b－40＝20，a－40＝21.
答：结婚时，詹克21岁，凯丽20岁，现在共有子女11人．
如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.
(1)若设BE＝a，CF＝b，且＋|b－5|＝＋，求BE及CF的长；
(2)求证：BE2＋CF2＝EF2.
(1)解：由题意得∴m＝2.∴＋|b－5|＝0.∴a＝12，b＝5，即BE＝12，CF＝5.
(2)证明：连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.易得∠BAD＝∠CAD＝∠B＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD.∵DE⊥DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°.∴∠ADE＝∠CDF.∴△ADE≌△CDF(ASA)．∴AE＝CF，DE＝DF.同理可得∠ADF＝∠BDE，∴△ADF≌△BDE.
∴AF＝BE.在Rt△AEF中，AF2＋AE2＝EF2，
∴BE2＋CF2＝EF2.
如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10
km，BD＝30
km，且CD＝30
km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.
请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少.
【点拨】利用对称法将两点到直线上的一点的最短距离和转化为两点间的距离，用勾股定理求解即可．
解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E.
在Rt△A′BE中，A′E＝30
km，
BE＝BD＋DE＝BD＋A′C＝40
km.
由勾股定理得A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402＝502，
所以A′B＝50
km.
所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50
km.
所以铺设水管的最少费用为50×3＝150(万元)．
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.
若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数.
解：如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，∠EBE′＝90°，
所以E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，
∠ABE＝∠CBE′.
在△EE′C中，EE′2＋CE′2＝BE2＋BE′2＋CE′2＝9，EC2＝9，
所以EE′2＋CE′2＝EC2.
所以△EE′C为直角三角形，且∠EE′C＝90°.
因为BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
所以∠BE′E＝＝45°.
所以∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.
如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6
m，8
m.
现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，
求扩充后的等腰三角形绿地的面积.
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8
m，BC＝6
m，
由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，
所以AB＝10
m.
设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰三角形ABD，应分以下三种情况讨论：
(1)如图①，当AB＝AD＝10
m时，
因为AC⊥BC，所以CD＝CB＝6
m.
所以S△ABD＝BD·AC＝×12×8＝48(m2)．
(2)如图②，当AB＝BD＝10
m时，
S△ABD＝BD·AC＝×10×8＝40(m2)．
(3)如图③,
当AB为底边时,
设AD＝BD＝x
m，则CD＝(x－6)
m.
在Rt△ACD中，有AC2＋CD2＝AD2，即82＋(x－6)2＝x2，
解得x＝.
所以BD＝
m.
所以S△ABD＝BD·AC＝××8＝(m2)．
综上所述，扩充后的等腰三角形绿地的面积为48
m2或40
m2或
m2.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5
cm，AC＝3
cm，动点P从点B出发沿射线BC以1
cm/s的速度移动，设运动的时间为t
s.
求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
(1)解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4
cm.
(2)：由题意知BP＝t
cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：
Ⅰ.如图1，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4
cm，即t＝4.
Ⅱ.如图2，当∠BAP为直角时，BP＝t
cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3
cm，在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2；
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2，
解得t＝.故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝.
(3)：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5；
Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8
cm，即t＝8；
Ⅲ.如图③，当BP＝AP时，AP＝BP＝t
cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3
cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，
∴t2＝32＋(t－4)2，解得t＝.
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝.
（2020秋?江阴市期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式： （a+b）2＝c2+4ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ 5：9 ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 28 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，ca，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：（a+b）×k（a+b）＝3b×kac×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
阅读下列材料：
如图①，一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬到点C，为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了两条路线.
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示.
设路线1的长度为l1，
则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.
路线2：高线AB＋底面直径BC.
设路线2的长度为l2，则l＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
因为l－l＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0，
所以l＞l.
所以l1＞l2，即路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：圆柱的底面半径为1，高AB为5，继续按前面的路线进行计算.
请你帮小明完成下面的计算.
路线1：l＝AC2＝____25＋π2____；路线2：l＝(AB＋BC)2＝____49____.
因为l____＜__l，
所以l1___＜___l2(填“＞”或“＜”).
所以路线___1___(填“1”或“2”)较短.
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线，才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短？
(2)解：设路线1的长度为l1，
则l＝AC2＝AB2＋BC2＝h2＋(πr)2＝h2＋π2r2.
设路线2的长度为l2，则l＝(AB＋BC)2＝(h＋2r)2＝h2＋4rh＋4r2.
因为l－l＝π2r2－4rh－4r2＝r(π2r－4r－4h)，
所以当r＞时，l1＞l2，应选择路线2才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短；
当r＜时，l1＜l2，应选择路线1才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短；当r＝时，l1＝l2，两条路线长度相等．17.2.2
勾股定理及其逆定理的综合应用
1.
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法.
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到长方形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.
请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
如图，小明家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60
m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80
m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100
m回到家A处.
问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由.
有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图．若沿对角线AC剪开，得到的两块铁皮都是直角三角形吗？为什么？
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝BC.
你能说明∠AFE是直角吗？
如图是由边长为1的小正方形组成的网格.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由.
如图，已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝300
m，AD＝400
m，CD＝1
300
m，BC＝1
200
m．请计算种植草皮的面积．
如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海.
晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.
经检测AC＝10
n
mile，AB＝6
n
mile，BC＝8
n
mile.
若该可疑船只的速度为12.
8
n
mile/h，则该可疑船只最早何时进入我国领海？
如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，且∠QPN＝30°.点A处有一所中学，AP＝160
m．假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100
m以内(包括100
m)会受到噪音的影响．
(1)该学校是否会受到噪音的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18
km/h，则学校受到影响的时间有多长？
王伟准备用一段长30
m的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a
m，由于受地势限制，第二条边长比第一条边长的2倍多2
m.
请用a表示第三条边长．
问第一条边长可以为7
m吗？请说明理由，并直接写出a的取值范围．
(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
10.
如图，已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，F在AB上，且AF：FB＝3：1.
(1)请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．
11.为了庆祝红宝石婚纪念日，詹克和凯丽全家举行聚会．詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差，正好等于他的子女数目的平方，已知詹克比凯丽大一岁，现在他们都不到70岁．请问：当年结婚时，两个人各是多少岁？现在共有子女几人？(在西方，结婚40周年被称为红宝石婚，且该国的合法结婚年龄为16岁)
12.
如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.
(1)若设BE＝a，CF＝b，且＋|b－5|＝＋，求BE及CF的长；
(2)求证：BE2＋CF2＝EF2.
如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10
km，BD＝30
km，且CD＝30
km，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元.
请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少.
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.
若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数.
如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6
m，8
m.
现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，
求扩充后的等腰三角形绿地的面积.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5
cm，AC＝3
cm，动点P从点B出发沿射线BC以1
cm/s的速度移动，设运动的时间为t
s.
求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
（2020秋?江阴市期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
阅读下列材料：
如图①，一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬到点C，为探索蚂蚁爬行的最短路线，小明设计了两条路线.
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图②所示.
设路线1的长度为l1，
则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.
路线2：高线AB＋底面直径BC.
设路线2的长度为l2，则l＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
因为l－l＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0，
所以l＞l.
所以l1＞l2，即路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：圆柱的底面半径为1，高AB为5，继续按前面的路线进行计算.
请你帮小明完成下面的计算.
路线1：l＝AC2＝_____；路线2：l＝(AB＋BC)2＝____.
因为l______l，
所以l1_____l2(填“＞”或“＜”).
所以路线____(填“1”或“2”)较短.
(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线，才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬到点C的路线较短？
