学考专题复习必修4（1）任意角的三角函数和诱导公式

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知识点一　任意角
1．任意角
2．象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
特别提醒：一些特殊角的集合表示：
(1)终边在x轴上的角的集合：{β|β＝k·180°，k∈Z}．
(2)终边在y轴上的角的集合：{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}．
知识点二　弧度制
1．定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
2．角度制和弧度制的互化
180°＝π
rad,1°＝
rad,1
rad＝°.
3．扇形的弧长及面积公式
弧长公式：l＝|α|·r，
面积公式：S＝lr＝|α|·r2，
其中r为扇形的半径．
知识点三　任意角的三角函数与同角三角函数的基本关系
1．任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin
α
R
＋
＋
－
－
cos
α
R
＋
－
－
＋
tan
α
＋
－
＋
－
2.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan
α.
特别提醒：平方关系，一般为隐含条件，可直接应用，注意“1”的代换．
知识点四　三角函数线
如图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线
知识点五　诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan_α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
题型一　弧度制扇形的弧长、面积公式的应用
例1　已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α(α＞0)为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
则α＝60°＝，R＝10
cm，l＝×10＝(cm)，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin
＝π－＝50(cm2)．
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，
∴R＝，∴S扇＝αR2＝α2
＝·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，
扇形面积有最大值.
感悟与点拨　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2.
跟踪训练1　(1)设扇形的周长为8
cm，面积为4
cm2，则扇形的圆心角的弧度数为(　　)
A．2
B．4
C．1
D.
(2)已知扇形的周长为4
cm，当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.
答案　(1)A　(2)1　2　1
解析　(1)设扇形弧长为l，半径为r，
则解得∴α＝＝2.
(2)设扇形的圆心角为α，半径为r，
则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S扇形＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∵r>0，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.
题型二　角的概念及其表示
例2　已知角α＝，在区间[－4π，0]内与角α有相同终边的角β＝________.
答案　－或－
解析　由终边相同的角关系知β＝k·2π＋，k∈Z，
∴取k＝－2，－1，得β＝－或β＝－.
感悟与点拨　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
跟踪训练2　(1)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　)
A.
B.
C.
D.
(2)α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　)
A．第一或第三象限
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．第三或第四象限
答案　(1)D　(2)A
题型三　三角函数的定义及符号法则
例3　已知角α的终边过点P(－8m，－6sin
30°)，且cos
α＝－，则实数m的值为(　　)
A.
B．±
C．－
D.
答案　A
解析　点P(－8m，－6sin
30°)，即P(－8m，－3)，
所以cos
α＝，即＝－，
解得m2＝.
又cos
α＝－<0，所以m>0，所以m＝，故选A.
感悟与点拨　(1)已知角α终边上的点P(x，y)，先算|OP|＝，若|OP|＝1，则sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0)，若|OP|≠1，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
(2)三角函数的符号法则是由三角函数定义推导出来的，掌握定义，熟记法则．
跟踪训练3　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
(2)若点P(sin
θcos
θ，cos
θ)位于第二象限，则角θ所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)设P(a,2a)(a≠0)是角θ终边上的任一点，
则|OP|＝a或|OP|＝－a，
∴cos
θ＝＝±，
∴cos
2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
(2)∵点P位于第二象限，
∴即
故θ角的终边位于第四象限．
题型四　同角三角函数关系
例4　已知tan
α＝2.
(1)求的值；
(2)求的值．
解　(1)方法一　由tan
α＝2，得α为第一象限角或第三象限角．
由得
当α为第一象限角时，sin
α＝，cos
α＝；
当α为第三象限角时，sin
α＝－，cos
α＝－.
代入原式，得原式＝－1.
方法二　(化“切”为“弦”)
由tan
α＝2，得sin
α＝2cos
α.
原式＝＝＝－1.
方法三　(化“弦”为“切”)
把原式的分子、分母同除以cos
α，
得＝＝－1.
(2)＝
＝＝＝.
感悟与点拨　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin
α＋cos
α，sin
α·cos
α，sin
α－cos
α这三个式子，利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练4　(1)若tan
θ＝，则cos
2θ等于(　　)
A．－
B．－
C.
D.
(2)已知－x＋cos
x＝，则sin
x－cos
x的值为________
答案　(1)D　(2)－
解析　(1)cos
2θ＝＝＝＝＝.
(2)∵(sin
x－cos
x)2＋(sin
x＋cos
x)2＝2，
∴|sin
x－cos
x|＝.
∵－x<0，cos
x>0，
∴sin
x－cos
x<0，∴sin
x－cos
x＝－.
题型五　诱导公式的应用
例5　(1)已知cos＝，求cos的值；
(2)已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
解　(1)∵＋＝π，
∴－α＝π－.
∴cos＝cos
＝－cos＝－，
即cos＝－.
(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)
＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin
α·tan
＝sin
α·
＝sin
α·＝cos
α＝.
感悟与点拨　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，注意(1)弦切互化；(2)整体的观点，如：可以把“＋α”看作一个整体．
跟踪训练5　(1)已知sin＝，则cos的值为________．
(2)已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝______.
答案　(1)－　(2)－
解析　(1)cos＝cos
＝－sin＝－.
(2)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2，
又α是第三象限角，∴sin
α＝－，
∴cos
α＝－＝－，
∴tan
α＝＝＝，
∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－.
一、选择题
1．已知扇形的半径为12
cm，弧长为18
cm，则扇形圆心角的弧度数是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　α＝＝＝.
2．已知角θ的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0)，则2sin
θ＋cos
θ的值为(　　)
A.
B．－
C.或－
D．不确定
答案　C
解析　由r＝＝5|a|，
当a>0时，r＝5a，
则2sin
θ＋cos
θ＝2×＋＝；
当a<0时，r＝－5a，
则2sin
θ＋cos
θ＝2×＋＝－，
∴2sin
θ＋cos
θ＝±.
3．(2018年4月学考)若锐角α满足sin＝，则sin
α等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
4．若＝，则tan
θ等于(　　)
A．1
B．－1
C．3
D．－3
答案　D
解析　∵＝
＝＝，
∴tan
θ＝－3.
5．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为(　　)
A．2kπ＋β(k∈Z)
B．2kπ－β(k∈Z)
C．kπ＋β(k∈Z)
D．kπ－β(k∈Z)
答案　B
解析　∵角α与角β的终边关于x轴对称，
∴α＝－β＋2kπ，k∈Z.
6．已知tan
θ＝2，则sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ等于(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案　D
解析　∵tan
θ＝2，∴sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ
＝
＝＝.
7．设tan(π＋α)＝2，则等于(　　)
A．3
B.
C．1
D．－1
答案　A
解析　由tan(π＋α)＝2，得tan
α＝2，
则＝
＝＝＝3.
8．已知cos
α－sin
α＝－，则sin
αcos
α等于(　　)
A.
B．±
C.
D．±
答案　A
解析　∵cos
α－sin
α＝－，
两边平方可得1－2sin
αcos
α＝，
∴sin
αcos
α＝.
9．cos＋sin的值为(　　)
A．－
B.
C.
D.
答案　C
解析　cos＋sin＝cos
π＋sin
π
＝－＋＝.
10．已知cos(π＋α)＝－，则sin的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
答案　D
解析　∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝，∴sin＝－sin＝－cos
α＝－.
二、填空题
11.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos
α＝_________.
答案　－
解析　因为A点纵坐标yA＝，且A点在第二象限，
又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－，
由三角函数的定义可得cos
α＝－.
12．在△ABC中，sin
A＝，则角A＝________.
答案　
解析　由sin
A＝，
两边平方得2sin2A＝3cos
A，
∵sin2A＝1－cos2A，∴2cos2A＋3cos
A－2＝0，
解得cos
A＝或cos
A＝－2(舍去)，
∵013．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则＝________.
答案　2
解析　由题意可得tan
θ＝2，
原式＝＝＝2.
14．已知sin
θ＝，则＝________.
答案　
解析　＝＝＝＝.
三、解答题
15．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．
解　(1)根据已知的关系式，结合诱导公式可知，
f(α)＝
＝＝－cos
α.
(2)∵α是第三象限角，且cos＝cos
＝－cos＝－sin
α＝，
∴sin
α＝－，cos
α＝－，
∴f(α)＝－cos
α＝.
16．在△ABC中，若sin(2π＋A)＝－sin(2π－B)，cos
A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解　由已知得化简得2cos2A＝1，即cos
A＝±.
(1)当cos
A＝时，cos
B＝，
又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝，C＝.
(2)当cos
A＝－时，cos
B＝－，
又A，B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，不合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝.
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精品试卷·第
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