学考专题复习必修4（2）三角函数的图像与性质

中小学教育资源及组卷应用平台
知识点一　周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
注意：并非所有函数都有最小正周期．以后的学习中，函数周期均指最小正周期．
(1)y＝sin(ωx＋φ)或y＝cos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期
T＝.
(2)y＝Atan(ωx＋φ)的周期T＝.
知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴方程
x＝＋kπ(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
知识点三　y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
知识点四　函数y＝sin
x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
题型一　三角函数的周期性、对称性及单调性
例1　(1)(2017年11月学考)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝tan
x
D．y＝sin
(2)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝－
D．x＝－
答案　(1)C　(2)C
解析　(1)y＝sin
x，y＝cos
x的周期是2π，
y＝sin
的周期为4π，
y＝tan
x的周期为π，故选C.
(2)∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
∴令x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
取k＝－1，则x＝－.
感悟与点拨　(1)掌握y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的周期．
(2)对于复杂的三角函数可先化为y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的形式，然后再求周期：T＝.
(3)在求对称轴或单调区间时，通常把“ωx＋φ”看作一个整体．
跟踪训练1　(1)(2016年4月学考)已知函数f(x)＝2sin＋3，x∈R，则f(x)的最小正周期是______，最小值是________．
(2)若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
答案　(1)2π　1　(2)
解析　(1)T＝＝＝2π，
∵sin∈[－1,1]，
∴当sin＝－1时，
f(x)min＝2×(－1)＋3＝1.
(2)f(x)＝sin
ωx的图象过原点，
由已知条件画图象(图略)可知，
为该函数的四分之一周期，
所以＝，得ω＝.
题型二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例2　(1)(2018年6月学考)要得到函数f(x)＝sin的图象，只需将函数g(x)＝sin
2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
(2)将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin
2x的图象上，则(　　)
A．t＝，s的最小值为
B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为
D．t＝，s的最小值为
答案　(1)A　(2)A
解析　(2)由题意得t＝sin＝，
故此时P′所对应的点为P′，
若P′位于函数y＝sin
2x的图象上，
则sin＝cos
2s＝，
所以2s＝±＋2kπ，k∈Z，
得s＝±＋kπ，k∈Z.
由s＞0，得当k＝0时，smin＝.
感悟与点拨　三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出，翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名称统一，再进行变换．
跟踪训练2　(1)要得到余弦曲线y＝cos
x，只需将正弦曲线y＝sin
x向左平移(　　)
A.个单位长度
B.个单位长度
C.个单位长度
D.个单位长度
(2)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos
ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)
A．2
B.
C.
D.
答案　(1)A　(2)A
解析　(1)∵cos
x＝sin，
∴余弦函数y＝cos
x的图象可看作正弦函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度得到，故选A.
(2)把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，
得到函数y＝sin的图象．
∵函数y＝sin的图象与函数y＝cos
ωx的图象重合，
∴由诱导公式可得π－＝＋2kπ(k∈Z)，
解得ω＝2＋6k(k∈Z)，
当k＝0时，ω＝2.
题型三　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例3　(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为________________．
答案　(1)D
(2)f(x)＝2sin
解析　(1)∵f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，∴T＝＝π，∴ω＝2.
∵f(0)＝2sin
φ＝，即sin
φ＝，∴φ＝.
(2)观察图象可知，A＝2且点(0,1)在图象上，
∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin
φ＝.
∵|φ|＜，∴φ＝.
又∵π是函数的一个零点，
且是图象递增穿过x轴形成的零点，
∴ω＋＝2π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2sin.
感悟与点拨　根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，确定函数的最大值和最小值，则A＝；
(2)k的确定：k＝；
(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝(ω＞0)来确定ω；
(4)φ的确定：常用的方法有：①五点法：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点图象上升)的横坐标为－来确定φ；②代入法：把图象上的一个已知点代入解析式(此时A，ω，k已知)求解，要注意已知点是在上升区间上还是下降区间上．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
答案　B
解析　由图象知函数的最大值为2，即A＝2，
函数的周期T＝4＝2π＝，解得ω＝1，
即f(x)＝2sin(x＋φ)，由题图知＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝2sin.
题型四　函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用
例4　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x值．
解　(1)由图象知A＝2，T＝8，
∵T＝＝8，∴ω＝.
又图象经过点(－1,0)，∴2sin＝0.
∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝f(x)＋f(x＋2)
＝2sin＋2sin
＝2sin＋2cos
＝2sin
＝2cos
x.
∵x∈，∴－≤x≤－，
∴当x＝－，即x＝－时，
y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；
当x＝－π，即x＝－4时，
y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.
感悟与点拨　利用函数的图象确定解析式后，求出y＝f(x)＋f(x＋2)，然后化成一个角的三角函数形式，利用整体思想(将ωx＋φ视为一个整体)求函数的最值．
跟踪训练4　(1)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(ω＞0,0＜θ＜π)，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则(　　)
A．ω＝2，θ＝
B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝
D．ω＝2，θ＝
(2)已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
答案　(1)A　(2)
解析　(1)∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0＜θ＜π，
∴θ＝.
∵图象与直线y＝2的两个交点的横坐标为x1，x2，
且|x2－x1|min＝π，∴＝π，ω＝2.
(2)∵f(x)在上只有最小值，无最大值，
且f＝f，
∴f(x)在x＝＝处取得最小值，
∴ω＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
∴ω＝8k－(k∈Z)，
由ω＞0得，①当k＝1时，ω＝，
②当k＝2时，ω＝，此时f(x)在区间内存在最大值，不合题意．故ω＝.
一、选择题
1．f(x)＝tan
2x是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案　A
2．函数y＝cos的图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝π
D．x＝－
答案　D
解析　由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋π，k∈Z，
当k＝0时，x＝－.
3．函数y＝sin
x2的图象是(　　)
答案　D
解析　因为y＝sin
x2为偶函数，所以它的图象关于y轴对称，排除A，C选项；当x＝时，y＝sin
≠1，排除B选项，故选D.
4．函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由kπ－<2x－解得－∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
5．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象的一条对称轴方程可以是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝－
答案　B
解析　由y＝sin向右平移个单位长度后，
得f(x)＝sin，
即f(x)＝sin，将f(x)的图象中所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得g(x)＝sin，
由x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)，
当k＝0时，x＝.
6．设f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
答案　B
解析　∵f(x)＝sin＝－cos
2x，∴T＝π.
7．函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos
x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．②④
B．①③④
C．①②③
D．①③
答案　C
解析　分别求出各个函数的最小正周期T.
①y＝cos|2x|＝cos
2x，T＝π；
②由图象(图略)知，函数的周期T＝π；
③T＝π；
④T＝.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.
8．已知函数f(x)＝sin，下列判断错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．直线x＝是函数f(x)图象的对称轴
C．函数f(x)的图象关于点对称
D．函数f(x)在区间上单调递增
答案　D
解析　对于函数f(x)＝sin，
它的最小正周期为＝π，故A正确；
令x＝，求得f(x)＝1，为函数的最大值，
可得直线x＝是函数f(x)图象的对称轴，故B正确；
令x＝－，求得f(x)＝0，可得函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；
在区间上，2x＋∈，
即函数f(x)＝sin在区间上没有单调性，故D错误，故选D.
9．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B图象的两条相邻的对称轴，则φ为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　∵直线x＝和x＝是函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B图象的两条相邻的对称轴，
∴T＝2＝2π，∵ω＞0，∴ω＝＝1，
即f(x)＝Asin(x＋φ)＋B，
∴Asin＋B与Asin＋B分别为最大值和最小值，∵0＜φ＜π，∴φ＝.
10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　C
解析　若f(x)≤对x∈R恒成立，
则f为函数的最大值或最小值，
即2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
则φ＝kπ＋，k∈Z.
又f＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin
φ，即sin
φ＜0，
令k＝－1，φ＝－，满足条件，
此时f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
即函数的单调递增区间是(k∈Z)．
二、填空题
11．函数f(x)＝sin，x∈的值域为________．
答案　
解析　∵0≤x≤，
∴0≤2x≤π，－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴函数的值域为.
12．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为_________________________．
答案　f(x)＝2sin
解析　根据题图判断，周期T＝2(4－1)＝6，A＝2，
所以＝6，解得ω＝.
因为2sin＝2，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝.
所以f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
13．已知函数f(x)＝cos，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是________．
答案　
解析　∵对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，
∴f(x1)是函数f(x)的最小值，f(x2)是函数f(x)的最大值．
∴|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，
∵T＝＝1，∴|x1－x2|的最小值为.
14．将函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则ω的最小值是________．
答案　2
解析　将函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度，
可得y＝sin
ω＝sin的图象，
再根据所得图象关于点对称，
可得ω·－＝kπ，k∈Z，
求得ω＝2k，k∈Z，
又ω>0，故ω的最小值为2.
15．关于y＝f(x)＝3sin有以下命题：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z)；
②函数的解析式可化为y＝3cos；
③f(x)的图象关于x＝－对称；
④f(x)的图象关于点对称．
其中正确的是________．(填序号)
答案　③
解析　关于y＝3sin，
若f(x1)＝f(x2)＝0，
则2x1－＝k1π，
2x2－＝k2π(k1，k2∈Z)，
即x1－x2＝kπ(k＝k1－k2，k∈Z)，故①不正确；
函数的解析式y＝3sin＝3cos
＝3cos≠3cos，故②不正确；
令x＝－，求得y＝－3，为函数f(x)的最小值，
故函数的图象关于x＝－对称，故③正确，④不正确．
三、解答题
16．如图所示为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段(|φ|<π)．
(1)求其解析式；
(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．
解　(1)由图象知A＝，以M为第一个零点，
N为第二个零点，
列方程组解得
∴所求解析式为y＝sin.
(2)由题意知f(x)＝sin
＝sin，
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝π＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)