学考专题复习必修4（3）三角恒等变换
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知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β；(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(S(α＋β))
tan(α－β)＝；(T(α－β))
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
知识点二 二倍角公式
sin
2α＝2sin_αcos_α；(S2α)
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)
tan
2α＝.(T2α)
知识点三 辅助角公式及常用变形公式
1．辅助角公式
(1)asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)
；
(2)acos
α－bsin
α＝cos(α＋φ)
.
特别提醒：常用的6个式子：
①sin
α±cos
α＝sin；
②sin
α±cos
α＝2sin；
③sin
α±cos
α＝2sin；
④cos
α－sin
α＝cos；
⑤cos
α－sin
α＝2cos；
⑥cos
α－sin
α＝2cos.
2．常用变形公式
(1)tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)①1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2，
②1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2，
③1＋cos
2α＝2cos2α，
④1－cos
2α＝2sin2α.
知识点四 简单的三角恒等变换
1．变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质．
2．变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的．
3．变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．
4．变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径．
题型一 两角和与差的公式的应用
例1 (1)已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－，则2α－β的值为________．
答案 (1)－ (2)－
解析 (1)∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝
＝，
sin＝
＝，
∴cos
＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
(2)∵tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝＞0，
∴0＜α＜，
又∵tan
2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan
β＝－＜0，
∴＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.
感悟与点拨 (1)解题中注意变角，如本题中＝－.
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
跟踪训练1 (1)(2017年4月学考)已知θ为锐角，且sin
θ＝，则sin(θ＋45°)等于( )
A.
B．－
C.
D．－
(2)已知α∈，β∈，cos
2β＝－，sin(α＋β)＝.则sin
α＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)∵θ为锐角且sin
θ＝，
∴cos
θ＝.
∴sin(θ＋45°)＝sin
θcos
45°＋cos
θsin
45°
＝×＋×＝.
(2)∵β∈，∴cos
β＜0，sin
β＞0.
又cos
2β＝2cos2β－1＝－，∴cos
β＝－.
sin
β＝＝.
而α＋β∈，且sin(α＋β)＝，
∴α＋β∈
∴cos(α＋β)＝－＝－.
故sin
α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β
＝×－×＝.
题型二 二倍角公式的应用
例2 (1)方程3sin
x＝1＋cos
2x在区间[0,2π]上的解为____________．
(2)＝________.
答案 (1)或 (2)
解析 (1)∵3sin
x＝1＋cos
2x＝2－2sin2x，
∴2sin2x＋3sin
x－2＝0，
∴sin
x＝，sin
x＝－2(舍去)．
又x∈[0,2π]，∴x＝或.
(2)
＝cos2－sin2＝cos
＝.
感悟与点拨 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子的结构与特征．
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为已知角的三角函数值．
跟踪训练2 (1)(2016年10月学考)函数f(x)＝1－2sin22x是( )
A．偶函数且最小正周期为
B．奇函数且最小正周期为
C．偶函数且最小正周期为π
D．奇函数且最小正周期为π
(2)若tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α等于( )
A.
B.
C．1
D.
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由题意知f(x)＝1－2sin22x＝cos
4x，
则f(－x)＝cos(－4x)＝cos
4x＝f(x)．
T＝＝，所以f(x)为偶函数，最小正周期为.
(2)cos2α＋2sin
2α＝cos2α＋4sin
αcos
α
＝
＝＝.
题型三 三角变换的应用
例3 (2017年4月学考)已知函数f(x)＝2cos2x－1，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)设g(x)＝f＋cos
2x，求g(x)的值域．
解 (1)由已知可得f(x)＝cos
2x，
∴f＝cos
＝.
(2)T＝＝π.
(3)∵g(x)＝f＋cos
2x，
∴g(x)＝cos＋cos
2x＝sin
2x＋cos
2x
＝2＝2sin，
∴g(x)∈[－2,2]．
感悟与点拨 三角变换和三角函数的性质相结合是考试的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin
xcos
x＋3cos2x，求：
①函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
②函数f(x)的单调递增区间．
(2)已知函数f(x)＝4tan
xsincos－.
①求f(x)的定义域与最小正周期；
②讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)①∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋2sin
xcos
x＋2cos2x
＝2sin
xcos
x＋1＋2cos2x
＝sin
2x＋cos
2x＋2
＝＋2
＝2＋sin，
∴当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.
此时函数f(x)取得最大值的自变量x的集合为.
②由①得f(x)＝2＋sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
因此函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)①f(x)的定义域是.
f(x)＝4tan
xcos
xcos－
＝4sin
xcos－
＝2sin
xcos
x＋2sin2x－
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∵(k∈Z)∩
＝，
(k∈Z)∩
＝，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
一、选择题
1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则tan
2α等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 A
解析 ∵tan
α＝＝－，
∴tan
2α＝＝＝.
2．cos
160°sin
10°－sin
20°cos
10°等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 C
解析 cos
160°sin
10°－sin
20°cos
10°
＝－cos
20°sin
10°－sin
20°cos
10°
＝－(cos
20°sin
10°＋sin
20°cos
10°)
＝－sin
30°
＝－，故选C.
3．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝，sin
α＝，则cos
β的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据题意知，α，β为锐角，
若sin
α＝，则cos
α＝，
若cos(α＋β)＝，则α＋β也为锐角，
则sin(α＋β)＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×
＝.
4．已知sin
2α＝，则cos2等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 D
解析 cos2＝＝＝＝.
5．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin
x＋cos
x的( )
A．最大值是1，最小值是－1
B．最大值是1，最小值是－
C．最大值是2，最小值是－2
D．最大值是2，最小值是－1
答案 D
解析 ∵f(x)＝sin
x＋cos
x
＝2
＝2sin，
∵x∈，∴x＋∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈[－1,2]，故选D.
6．在△ABC中，tan
B＝－2，tan
C＝，则A等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵在△ABC中，tan
B＝－2，tan
C＝，
∴tan
A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝－
＝－＝1，
又A∈(0，π)，∴A＝.
7．已知sin＝，则sin
2x等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵sin＝(cos
x－sin
x)＝，
∴cos
x－sin
x＝，
两边平方得1－2sin
xcos
x＝，
∴sin
2x＝.
8．设函数f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＋的图象为C，有下面三个说法：
①图象C关于x＝对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由f(x)＝2sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上说法中，正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＋
＝sin
2x－2×＋
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin.
①T＝＝π，且f(x)＝2sin，
令2＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
∴图象C关于直线x＝＋，k∈Z对称，
当k＝1时，x＝，即①正确；
②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，x∈，②正确；
③∵f(x)＝2sin可以由f(x)＝2sin
2x向右平移个单位长度得到，∴③错误．
9．已知函数f(x)＝2sin
x(cos
x－sin
x)＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ的一个值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 f(x)＝2sin
x(cos
x－sin
x)＋1
＝2sin
xcos
x－2sin2x＋1
＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin，
又函数g(x)＝f(x－φ)＝2sin
＝2sin为偶函数，
所以－2φ＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝－－，k∈Z.
当k＝－1时，φ＝.
10．已知函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x，若其图象是由y＝sin
2x图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到，则φ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝sin，
函数y＝sin
2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度后的解析式为y＝sin[2(x＋φ)]，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)．
∴φ的最小值为.
二、填空题
11．若＝－，则sin
α＋cos
α＝________.
答案
解析 ∵＝－
＝－(cos
α＋sin
α)＝－，
∴cos
α＋sin
α＝.
12．已知sin＝，sin＝，则tan
x＝________.
答案 －7
解析 由sin＝，sin＝，
得sin
x＋cos
x＝，sin
x－cos
x＝，
解得sin
x＝，cos
x＝－，
所以tan
x＝＝－7.
13．在锐角△ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，则tan
2B＝________.
答案 －
解析 因为在锐角△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C＝，
sin(A－B)＝，所以A＋B＞90°，0°＜A－B＜90°.
所以cos(A＋B)＝－，cos(A－B)＝.
所以tan(A＋B)＝－，tan(A－B)＝.
所以tan
2B＝tan[(A＋B)－(A－B)]
＝
＝＝－.
14．若函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2－2cos2x－m在上有零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1，]
解析 函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2－2cos2x－m＝sin
2x－cos
2x－m＝sin－m在上有零点，故函数y＝sin的图象和直线y＝m在上有交点，函数y＝sin在上的值域为[－1，]，故m∈[－1，]．
三、解答题
15．(2018年6月学考)已知函数f(x)＝sin
x＋cos
x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并求出取到最大值时x的集合．
解 (1)f＝sin＋cos＝＋＝1.
(2)因为f(x)＝cossin
x＋sincos
x＝sin，
所以，函数f(x)的最大值为1，
当x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取到最大值，
所以，取到最大值时x的集合为.
16．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
解 (1)f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x
＝cos
2x＋sin
2x＋1＝2＋1
＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为，.
(2)依题意，得2sin＋1－t＝1，
所以t＝2sin，即函数y＝t与y＝2sin的图象在内有两个交点．
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈时，sin∈，
y＝2sin∈[1,2]；当2x＋∈时，
sin∈，y＝2sin∈[－1,2]．由函数y＝t与y＝2sin的图象(图略)，
得1≤t＜2，所以实数t的取值范围是[1,2)．
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知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β；(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(S(α＋β))
tan(α－β)＝；(T(α－β))
tan(α＋β)＝.(T(α＋β))
知识点二 二倍角公式
sin
2α＝2sin_αcos_α；(S2α)
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)
tan
2α＝.(T2α)
知识点三 辅助角公式及常用变形公式
1．辅助角公式
(1)asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)
；
(2)acos
α－bsin
α＝cos(α＋φ)
.
特别提醒：常用的6个式子：
①sin
α±cos
α＝sin；
②sin
α±cos
α＝2sin；
③sin
α±cos
α＝2sin；
④cos
α－sin
α＝cos；
⑤cos
α－sin
α＝2cos；
⑥cos
α－sin
α＝2cos.
2．常用变形公式
(1)tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)①1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2，
②1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2，
③1＋cos
2α＝2cos2α，
④1－cos
2α＝2sin2α.
知识点四 简单的三角恒等变换
1．变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形式，不变其性质．
2．变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的．
3．变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式．
4．变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径．
题型一 两角和与差的公式的应用
例1 (1)已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，则cos(α＋β)的值为________．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－，则2α－β的值为________．
答案 (1)－ (2)－
解析 (1)∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝
＝，
sin＝
＝，
∴cos
＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
(2)∵tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝＞0，
∴0＜α＜，
又∵tan
2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan
β＝－＜0，
∴＜β＜π，∴－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－.
感悟与点拨 (1)解题中注意变角，如本题中＝－.
(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
跟踪训练1 (1)(2017年4月学考)已知θ为锐角，且sin
θ＝，则sin(θ＋45°)等于( )
A.
B．－
C.
D．－
(2)已知α∈，β∈，cos
2β＝－，sin(α＋β)＝.则sin
α＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)∵θ为锐角且sin
θ＝，
∴cos
θ＝.
∴sin(θ＋45°)＝sin
θcos
45°＋cos
θsin
45°
＝×＋×＝.
(2)∵β∈，∴cos
β＜0，sin
β＞0.
又cos
2β＝2cos2β－1＝－，∴cos
β＝－.
sin
β＝＝.
而α＋β∈，且sin(α＋β)＝，
∴α＋β∈
∴cos(α＋β)＝－＝－.
故sin
α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β
＝×－×＝.
题型二 二倍角公式的应用
例2 (1)方程3sin
x＝1＋cos
2x在区间[0,2π]上的解为____________．
(2)＝________.
答案 (1)或 (2)
解析 (1)∵3sin
x＝1＋cos
2x＝2－2sin2x，
∴2sin2x＋3sin
x－2＝0，
∴sin
x＝，sin
x＝－2(舍去)．
又x∈[0,2π]，∴x＝或.
(2)
＝cos2－sin2＝cos
＝.
感悟与点拨 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子的结构与特征．
(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有①化为特殊角的三角函数值；②化为已知角的三角函数值．
跟踪训练2 (1)(2016年10月学考)函数f(x)＝1－2sin22x是( )
A．偶函数且最小正周期为
B．奇函数且最小正周期为
C．偶函数且最小正周期为π
D．奇函数且最小正周期为π
(2)若tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α等于( )
A.
B.
C．1
D.
答案 (1)A (2)A
解析 (1)由题意知f(x)＝1－2sin22x＝cos
4x，
则f(－x)＝cos(－4x)＝cos
4x＝f(x)．
T＝＝，所以f(x)为偶函数，最小正周期为.
(2)cos2α＋2sin
2α＝cos2α＋4sin
αcos
α
＝
＝＝.
题型三 三角变换的应用
例3 (2017年4月学考)已知函数f(x)＝2cos2x－1，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)设g(x)＝f＋cos
2x，求g(x)的值域．
解 (1)由已知可得f(x)＝cos
2x，
∴f＝cos
＝.
(2)T＝＝π.
(3)∵g(x)＝f＋cos
2x，
∴g(x)＝cos＋cos
2x＝sin
2x＋cos
2x
＝2＝2sin，
∴g(x)∈[－2,2]．
感悟与点拨 三角变换和三角函数的性质相结合是考试的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin
xcos
x＋3cos2x，求：
①函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的集合；
②函数f(x)的单调递增区间．
(2)已知函数f(x)＝4tan
xsincos－.
①求f(x)的定义域与最小正周期；
②讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)①∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋2sin
xcos
x＋2cos2x
＝2sin
xcos
x＋1＋2cos2x
＝sin
2x＋cos
2x＋2
＝＋2
＝2＋sin，
∴当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.
此时函数f(x)取得最大值的自变量x的集合为.
②由①得f(x)＝2＋sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
因此函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)①f(x)的定义域是.
f(x)＝4tan
xcos
xcos－
＝4sin
xcos－
＝2sin
xcos
x＋2sin2x－
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∵(k∈Z)∩
＝，
(k∈Z)∩
＝，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
一、选择题
1．已知角α的终边经过点P(－3,4)，则tan
2α等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 A
解析 ∵tan
α＝＝－，
∴tan
2α＝＝＝.
2．cos
160°sin
10°－sin
20°cos
10°等于( )
A．－
B.
C．－
D.
答案 C
解析 cos
160°sin
10°－sin
20°cos
10°
＝－cos
20°sin
10°－sin
20°cos
10°
＝－(cos
20°sin
10°＋sin
20°cos
10°)
＝－sin
30°
＝－，故选C.
3．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝，sin
α＝，则cos
β的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 根据题意知，α，β为锐角，
若sin
α＝，则cos
α＝，
若cos(α＋β)＝，则α＋β也为锐角，
则sin(α＋β)＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×
＝.
4．已知sin
2α＝，则cos2等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案 D
解析 cos2＝＝＝＝.
5．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin
x＋cos
x的( )
A．最大值是1，最小值是－1
B．最大值是1，最小值是－
C．最大值是2，最小值是－2
D．最大值是2，最小值是－1
答案 D
解析 ∵f(x)＝sin
x＋cos
x
＝2
＝2sin，
∵x∈，∴x＋∈，
∴sin∈，
∴f(x)∈[－1,2]，故选D.
6．在△ABC中，tan
B＝－2，tan
C＝，则A等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵在△ABC中，tan
B＝－2，tan
C＝，
∴tan
A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝－
＝－＝1，
又A∈(0，π)，∴A＝.
7．已知sin＝，则sin
2x等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵sin＝(cos
x－sin
x)＝，
∴cos
x－sin
x＝，
两边平方得1－2sin
xcos
x＝，
∴sin
2x＝.
8．设函数f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＋的图象为C，有下面三个说法：
①图象C关于x＝对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由f(x)＝2sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上说法中，正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＋
＝sin
2x－2×＋
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin.
①T＝＝π，且f(x)＝2sin，
令2＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
∴图象C关于直线x＝＋，k∈Z对称，
当k＝1时，x＝，即①正确；
②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，x∈，②正确；
③∵f(x)＝2sin可以由f(x)＝2sin
2x向右平移个单位长度得到，∴③错误．
9．已知函数f(x)＝2sin
x(cos
x－sin
x)＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ的一个值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 f(x)＝2sin
x(cos
x－sin
x)＋1
＝2sin
xcos
x－2sin2x＋1
＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin，
又函数g(x)＝f(x－φ)＝2sin
＝2sin为偶函数，
所以－2φ＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝－－，k∈Z.
当k＝－1时，φ＝.
10．已知函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x，若其图象是由y＝sin
2x图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到，则φ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝sin，
函数y＝sin
2x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度后的解析式为y＝sin[2(x＋φ)]，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)．
∴φ的最小值为.
二、填空题
11．若＝－，则sin
α＋cos
α＝________.
答案
解析 ∵＝－
＝－(cos
α＋sin
α)＝－，
∴cos
α＋sin
α＝.
12．已知sin＝，sin＝，则tan
x＝________.
答案 －7
解析 由sin＝，sin＝，
得sin
x＋cos
x＝，sin
x－cos
x＝，
解得sin
x＝，cos
x＝－，
所以tan
x＝＝－7.
13．在锐角△ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，则tan
2B＝________.
答案 －
解析 因为在锐角△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C＝，
sin(A－B)＝，所以A＋B＞90°，0°＜A－B＜90°.
所以cos(A＋B)＝－，cos(A－B)＝.
所以tan(A＋B)＝－，tan(A－B)＝.
所以tan
2B＝tan[(A＋B)－(A－B)]
＝
＝＝－.
14．若函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2－2cos2x－m在上有零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1，]
解析 函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2－2cos2x－m＝sin
2x－cos
2x－m＝sin－m在上有零点，故函数y＝sin的图象和直线y＝m在上有交点，函数y＝sin在上的值域为[－1，]，故m∈[－1，]．
三、解答题
15．(2018年6月学考)已知函数f(x)＝sin
x＋cos
x，x∈R.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并求出取到最大值时x的集合．
解 (1)f＝sin＋cos＝＋＝1.
(2)因为f(x)＝cossin
x＋sincos
x＝sin，
所以，函数f(x)的最大值为1，
当x＋＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取到最大值，
所以，取到最大值时x的集合为.
16．已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x(x∈R)．
(1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－t＝1在内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
解 (1)f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x
＝cos
2x＋sin
2x＋1＝2＋1
＝2sin＋1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，
所以f(x)的单调递增区间为，.
(2)依题意，得2sin＋1－t＝1，
所以t＝2sin，即函数y＝t与y＝2sin的图象在内有两个交点．
因为x∈，所以2x＋∈.
当2x＋∈时，sin∈，
y＝2sin∈[1,2]；当2x＋∈时，
sin∈，y＝2sin∈[－1,2]．由函数y＝t与y＝2sin的图象(图略)，
得1≤t＜2，所以实数t的取值范围是[1,2)．
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