学考专题复习必修4（4）平面向量基本概念及其线性运算

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知识点一　向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
知识点二　向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
(1)λ(μ
a)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λ
a＋μ
a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点三　共线向量定理及平面向量基本定理
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
2．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点四　平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0.
题型一　向量有关概念辨析
例1　下面关于向量的叙述，正确的是________．(填序号)
①任一向量与它的相反向量不相等；
②四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；
③一个向量方向不确定当且仅当模为0；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
答案　②③
解析　①不正确．零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．②③正确．
④不正确．如图与共线，虽然起点不同，但其终点却相同．
感悟与点拨　向量是既有大小又有方向的量，且平移不变，所以在判断有关向量的命题时，一定要紧扣三点：
(1)大小，(2)方向，(3)可平移．
跟踪训练1　(1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1＋3e2与6e2＋2e1
(2)给出下列命题：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案　(1)D　(2)③④
解析　(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，
则无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则
无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；
选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，
所以两向量是共线向量．
(2)①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；
②＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③零向量的方向是任意的，与任一向量平行，③正确；④a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，④正确；⑤若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立，故⑤不正确．
题型二　平面向量线性运算
例2　(1)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.b＋c
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
(2)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________.(用向量a，b表示)
答案　(1)A　(2)b－a　b－a　a－b
解析　(1)∵＝2，
∴－＝＝2＝2(－)，
∴3＝2＋，
∴＝＋＝b＋c.
(2)＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b.
感悟与点拨　(1)解此类题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
跟踪训练2　(1)如图所示，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　)
A.－
B.＋
C.＋
D.－
(2)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ等于(　　)
A．2
B．3
C．－2
D．－3
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)在△CEF中，有＝＋.
∵点E为DC的中点，∴＝.
∵点F为BC的一个三等分点，∴＝.
∴＝＋＝＋
＝－.
(2)∵D为△ABC所在平面内一点，
＝－＋，
∴－＝－(－)，即＝－，
∴＝－3，则λ＝－3.
题型三　共线向量定理的应用
例3　设a，b是两个不共线的非零向量．
(1)若＝－a＋b，＝2a＋tb，＝2
018a－2b，且A，B，D三点共线，则t＝________；
(2)若8a＋kb与ka＋2b
共线，则实数k＝________.
答案　(1)－2
018　(2)±4
解析　(1)＝＋＋＝(－a＋b)＋(2a＋tb)＋(2
018a－2b)＝2
019a＋(t－1)b，
因为A，B，D三点共线，所以与共线．
所以＝μ(μ为实数)，
即2
019a＋(t－1)b＝μ(－a＋b)，
解得μ＝－2
019，t＝－2
018.
(2)因为8a＋kb与ka＋2b共线，
所以存在实数λ使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.
因为a与b是两个不共线的非零向量，
所以解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.
感悟与点拨　(1)三点共线问题，可用向量共线来解决，应注意向量共线与三点共线的区别和联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)当两向量共线时，要注意待定系数法和方程思想的运用．
跟踪训练3　(1)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)，若a∥b，则实数x，y一定满足(　　)
A．xy－1＝0
B．xy＋1＝0
C．x－y＝0
D．x＋y＝0
(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
答案　(1)A　(2)k≠1
解析　(1)平面向量a＝(1，x)，b＝(y,1)．
若a∥b，则xy＝1，即xy－1＝0.
(2)若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
一、选择题
1．给出下列说法：
①若向量a与向量b不平行，则a与b的方向一定不相同；②若向量，满足||>||，且与同向，则>；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行，其中正确说法的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　A
解析　②两向量不能比较大小，故不正确；③a与b长度相等，但方向不定，故不正确；④规定0与任意向量平行，故不正确．
2．已知D是△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　)
A．－＋
B．－＋
C.－
D.＋
答案　A
解析　因为＝＋，＝－，＝，
所以＝－＋.
3．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是(　　)
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
答案　C
4．(2018年6月学考)已知向量a＝(x,1)，b＝(2，－3)，若a∥b，则实数x的值是(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案　A
5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＋等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
6．下列式子中，不能化简为的是(　　)
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.－＋
D.＋－
答案　D
解析　A中，(＋)＋＝＋＝；
B中，(＋)＋(＋)
＝＋(＋＋)
＝＋(＋)＝；
C中，－＋＝＋＝；
D中，＋－＝＋2，故选D.
7．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a－b
B．－a＋b
C.a－b
D.a＋b
答案　B
解析　由题意可得＝＋＋＝－a＋b＋a
＝b－a.
8．已知点A，B，则与向量同方向的单位向量是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　∵＝，
∴||＝
＝.
∴与向量同方向的单位向量为＝＝.
9．若向量a＝(3,4)，且存在实数x，y，使得a＝xe1＋ye2，则e1，e2可以是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(－1,2)
B．e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)
C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)
D．e1＝，e2＝(1，－2)
答案　C
解析　根据平面向量基本定理知e1，e2不共线．
对于A，e1为零向量，e1，e2共线；
对于B，e2＝－2e1，e1，e2共线；
对于C，e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)，
∴－1×(－1)－2×3＝－5≠0，
∴e1与e2不共线，即该选项正确；
对于D，e2＝－2e1，∴e1，e2共线．
10．已知a＝(1,2＋sin
x)，b＝(2，cos
x)，c＝(－1,2)，(a－b)∥c，则锐角x等于(　　)
A．45°
B．30°
C．15°
D．60°
答案　A
解析　由题意得a－b＝(－1,2＋sin
x－cos
x)，
再由(a－b)∥c可得－2－(－1)×(2＋sin
x－cos
x)＝0，
化简可得sin
x＝cos
x，∴tan
x＝1，
∴锐角x为45°.
二、填空题
11．已知e1＝(2,1)，e2＝(1,3)，a＝(－1,2)，若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为________．
答案　(－1,1)
解析　∵a＝λ1e1＋λ2e2＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)，
又a＝(－1,2)，
∴解得
∴实数对(λ1，λ2)＝(－1,1)．
12．已知四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BAD＝60°，则|＋|＝________.
答案　
解析　∵四边形ABCD是边长为1的菱形，
∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°，在△ACD中，由余弦定理得
AC＝＝.
∴|＋|＝|＋|＝||＝.
13．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|b－a－c|＝________.
答案　2
解析　∵在边长为1的正方形ABCD中，
设＝a，＝b，＝c，
∴|a|＝1，a＋b＝c，
∴|b－a－c|＝|b－a－a－b|
＝|－2a|＝2|a|＝2.
14．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10,8)，若A，B，C三点共线，则k＝______.
答案　18
解析　＝－＝(6,3)，
＝－＝(10－k，－4)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴－24－3(10－k)＝0，解得k＝18.
15.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
答案　
解析　∵B，P，N三点共线，
∴存在实数λ使得＝λ＋(1－λ)
＝λ＋.
又＝m＋，，不共线，
∴解得m＝.
三、解答题
16．已知平面内三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量d.
解　(1)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，
即k＝－.
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
∴
解得或
∴d＝或d＝.
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精品试卷·第
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