学考专题复习必修4模块检测（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
模块检测(必修4)
(时间：80分钟　满分：100分)
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)
1．若点在角α的终边上，则sin
α的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
答案　A
解析　角α的终边上一点的坐标为，即，则由任意角的三角函数的定义，可得sin
α＝－，故选A.
2．已知向量a＝(m,1)，b＝(1，－2)，若a⊥b，则m等于(　　)
A．－
B.
C．－2
D．2
答案　D
解析　∵a·b＝m－2＝0，∴m＝2.
3．已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．有最大值8
B．是定值6
C．有最小值2
D．是定值2
答案　B
解析　令＝λ(0≤λ≤1)，
因为与的夹角为120°，
与的夹角为60°，
所以·(＋)＝(＋)·(＋)＝2＋·＋·＋·＝4＋2×2×＋2×2λ×＋2×2λ×＝6，故选B.
4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2
B.
C．2sin
1
D．sin
2
答案　B
解析　如图，设弦AB＝2，过O作OD⊥AB于点D，所以D为AB的中点．
所以AD＝AB＝1，∠AOD＝∠AOB＝1(rad)，所以扇形半径OA＝.
由弧长公式得l＝|α|·r＝2×＝.
5．为了得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　D
解析　将函数y＝cos
2x的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为y＝cos
2＝cos，故选D.
6．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ等于(　　)
A.
B.
C.
D．2
答案　B
解析　方法一　(坐标法)建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，
由＝λ，＝(1－λ)，
可得P(λ，0)，Q(0,2－2λ)，
则＝(－1,2－2λ)，＝(λ，－2)，
所以·＝－λ＋4λ－4＝3λ－4＝－2，即λ＝，故选B.
方法二　＝－＝(1－λ)－，
＝－＝λ－，
·＝(λ－1)2－λ2
＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，
即λ＝，故选B.
7．已知向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－1,1)
C．(－1，＋∞)
D．(－∞，1)
答案　C
解析　因为a与a＋2b同向，
所以可设a＋2b＝λa(λ＞0)，
则有b＝a，
又因为|a|＝＝，
所以a·b＝·|a|2＝×2＝λ－1＞－1，
所以a·b的取值范围是(－1，＋∞)，故选C.
8．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
|x|
D．y＝sin
答案　D
解析　函数y＝sin的最小正周期为＝π，由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，得函数y＝sin的一条对称轴为x＝，故选D.
9．已知sin＝，则cos等于(　　)
A．－
B．－
C.
D.
答案　A
解析　因为sin＝cos
＝cos＝，
所以cos＝cos
＝2cos2－1＝2×2－1＝－，故选A.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝sin
2x
B．g(x)＝cos
2x
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
答案　D
解析　由函数图象易得函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期T＝＝2＝π，解得ω＝2，又因为是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个下降零点，所以＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将其图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，故选D.
11．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且cos(α－β)＝0，那么|a＋b|等于(　　)
A．2
B.
C.
D．3
答案　B
解析　由题意得a·b＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝cos(α－β)＝0，且|a|＝＝1，|b|＝＝1，所以|a＋b|＝＝＝，故选B.
12．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于(　　)
A.
B．－
C.
D．－
答案　C
解析　因为0<α<，－<β<0，
所以<＋α<，<－<，
所以sin＝，sin＝，
所以cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，故选C.
13.如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·的值为(　　)
A．4
B．6
C．7
D．5
答案　D
解析　因为M是BC的中点，
所以＝(＋)，
则·＝(＋)·
＝·＋·
＝||||cos∠OAB＋||||cos∠OAC
＝||×||＋||×||
＝×4××4＋×2××2＝5，
故选D.
14．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]．
∵f(x)，g(x)的图象都过点P，
∴
又－＜θ＜，φ＞0，
∴θ＝，φ的值可以是.
15.如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1,0)，∠PQR＝，线段QR的中点M的横坐标为2，则A的值为(　　)
A．2
B.
C.
D．4
答案　C
解析　因为线段QR的中点M的横坐标为2，
所以点Q的坐标为(4,0)，
因为∠PQR＝，所以OR＝OQ＝4，
则点R的坐标为(0，－4)，
所以函数f(x)的最小正周期为＝2(4－1)＝6，
解得ω＝，
因为点P(1,0)是函数f(x)的一个上升零点，
所以×1＋φ＝2kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|≤，
所以φ＝－，所以f(x)＝Asin，
因为点R(0，－4)在函数图象上，
所以f(0)＝Asin＝－4，
解得A＝，故选C.
16．若单位向量a，b的夹角为钝角，|b－ta|(t∈R)的最小值为，且(c－a)·(c－b)＝0，则c·(a＋b)的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D．3
答案　B
解析　由单位向量a，b的夹角为钝角，
不妨取a＝(1,0)，b＝(cos
θ，sin
θ).
∴|b－ta|＝＝
＝.
∵θ∈，∴cos
θ∈(－1,0)．
当t＝cos
θ时，|b－ta|取得最小值，∴sin
θ＝.
∵θ∈，∴θ＝，∴b＝.
设c＝(x，y)，∵(c－a)·(c－b)＝0，
∴c2－c·(a＋b)＋a·b＝0，
∴c·(a＋b)＝c2－.
又由(c－a)·(c－b)＝0，
可得(x－1，y)·＝x2－x－＋y2－y＝0，
∴2＋2＝.
而|c|≤＋＝，
∴c·(a＋b)＝c2－≤2－＝，
∴c·(a＋b)的最大值为.
17．设α，β∈[0，π]，且满足sin
αcos
β－cos
αsin
β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)
A．[－1,1]
B．[－1，]
C．[－，1]
D．[1，]
答案　A
解析　由sin
αcos
β－cos
αsin
β＝sin(α－β)＝1，
α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]，
∴α∈，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin[(α－β)＋α]＋sin(α－2α＋π)
＝sin＋sin(π－α)
＝cos
α＋sin
α＝sin，
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈[－1,1]，故选A.
18．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，其中C是OA的中点，P是AB弧上的动点(含端点)，若实数λ，μ满足O＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A．[1，]
B．[1，]
C．[1,2]
D．[1，]
答案　D
解析　以O所在的直线为x轴，以O所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则A(2,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以O＝(1,0)，O＝(0,2)．设P(x，y)，0≤x≤2,0≤y≤2，P在圆x2＋y2＝4(0≤x≤2,0≤y≤2)上，O＝λ＋μ，所以(x，y)＝(λ，0)＋(0,2μ)，
所以0≤λ≤2,0≤μ≤1.设＝cos
θ，μ＝sin
θ，
则λ＋μ＝2cos
θ＋sin
θ
＝sin(θ＋φ).
因为0≤θ≤，所以φ≤θ＋φ≤＋φ，
因为tan
φ＝2，φ为锐角，所以φ＞，
所以sin≤sin(φ＋θ)≤1，
即≤sin(θ＋φ)≤1，所以sin(θ＋φ)∈[1，]，
即λ＋μ∈[1，]．
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．(2018年4月学考)已知函数f(x)＝2sin＋1，则f(x)的最小正周期是________，f(x)的最大值是________．
答案　π　3
解析　T＝＝π，sin≤1，
∴f(x)max＝2×1＋1＝3.
20.如图所示，过点M(2,0)的直线与函数y＝tan(0＜x＜4)的图象交于A，B两点，则·(＋)＝________.
答案　8
解析　函数y＝tan(0＜x＜4)的图象关于点M对称，所以线段AB的中点是点M，由向量加法的平行四边形法则可知，＋＝2，因此·(＋)＝22＝8.
21．在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围是________．
答案　
解析　以点C为坐标原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系如图所示．则A(2,0)，B(0,2)，
斜边AB所在直线为x＋y＝2，
x∈[0,2]，
∵MN＝，则可设M(x,2－x)，N(x＋1,1－x)，
x＋1∈[0,2]，
∴x∈[0,1]．
此时，·＝x(x＋1)＋(2－x)(1－x)＝2x2－2x＋2＝22＋，x∈[0,1]．
当x＝时，·取得最小值，当x＝0或1时，
·取得最大值2.
∴·的取值范围是.
22．函数f(x)＝－2sin2x＋sin
2x＋1，给出下列四个命题：
①f(x)在区间上是减函数；
②直线x＝是函数图象的一条对称轴；
③函数f(x)的图象可由函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到；
④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．
其中正确命题的序号是________．
答案　①②
解析　由f(x)＝－2sin2x＋sin
2x＋1＝sin
2x＋cos
2x＝sin.
对于①，由x∈，得2x∈，
∴2x＋∈，
则f(x)在区间上是减函数，①正确；
对于②，由x＝，得2x＋＝，
∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，②正确；
对于③，函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，
得到g(x)＝sin＝sin，
③错误；
对于④，由x∈，得2x＋∈，
则f(x)的值域是[－1，]，④错误．
∴正确的命题是①②.
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．(10分)已知函数
f(x)＝1－2sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数f的值域．
解　(1)函数f(x)
＝1－2sin
＝1－2sin2＋2sincos
＝cos＋sin＝sin
＝cos
2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)可知f＝cos.
由于x∈，
所以2x＋∈，
所以cos∈，
则f∈[－1，]，
所以f的值域为[－1，]．
24．(10分)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f＝1.
(1)求φ的值；
(2)若函数F(x)＝f(x)·f－m在上存在零点，求实数m的取值范围．
解　(1)由f＝2sin＝1，得cos
φ＝.
又－＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)得F(x)＝f(x)·f－m
＝2sin·2sin
2x－m
＝4sin
2x－m
＝2sin22x－2sin
2xcos
2x－m
＝1－cos
4x－sin
4x－m
＝1－m－2sin，
由F(x)在上有零点，得
m＝1－2sin在上有解，
因为x∈，
所以－＜4x＋＜，则－＜sin≤1，
所以实数m的取值范围为[－1,2)．
25．(11分)已知a＝(sin
x，cos
x)，b＝(sin
x，k)，c＝(－2cos
x，sin
x－k)．
(1)当x∈时，求|b＋c|的取值范围；
(2)若g(x)＝(a＋b)·c，求当k为何数时，g(x)的最小值为－.
解　(1)b＋c＝(sin
x－2cos
x，sin
x)，
|b＋c|2＝(sin
x－2cos
x)2＋sin2x
＝2sin2x－4sin
xcos
x＋4cos2x
＝2cos2x－4sin
xcos
x＋2
＝cos
2x－2sin
2x＋3＝＋3
＝cos(2x＋φ)＋3，
其中cos
φ＝，sin
φ＝，
又∵x∈，∴2x＋φ∈，
∴cos(2x＋φ)在上单调递减，
∴|b＋c|2∈[1,4]，∴|b＋c|∈[1,2]．
(2)a＋b＝(2sin
x，cos
x＋k)，
g(x)＝(a＋b)·c＝－4sin
xcos
x＋(cos
x＋k)(sin
x－k)
＝－3sin
xcos
x＋k(sin
x－cos
x)－k2.
令t＝sin
x－cos
x＝sin，
则t∈[－，]，
且t2＝sin2x＋cos2x－2sin
xcos
x＝1－2sin
xcos
x，
∴sin
xcos
x＝.
∴g(x)可化为h(t)＝(－3)×＋kt－k2
＝t2＋kt－k2－，t∈[－，]，
对称轴t＝－＝－.
①当－＜－，即k＞3时，
g(x)min＝h(－)＝(－)2＋k(－)－k2－
＝－k2－k＋，
由－k2－k＋＝－，
得k2＋k－3＝0，
∴k＝，
∵k＞3，∴此时无解．
②当－≤－≤，即－3≤k≤3时，
g(x)min＝h＝2＋k－k2－
＝－k2－.
由－k2－＝－，
得k＝0∈[－3，3]．
③当－＞，即k＜－3时，
g(x)min＝h()＝×()2＋k－k2－
＝－k2＋k＋.
由－k2＋k＋＝－，
得k2－k－3＝0，
∴k＝.
∵k＜－3，∴此时无解．
综上所述，当k＝0时，g(x)的最小值为－.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)