广东省深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属中学2020-2021学年高二下学期3月开学考试数学试题 Word版含答案

2020~2021学年广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属
中学高二下学期开学考试数学试卷
一、单选题
（本大题共8小题）
1．若命题false，false，则false为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
false false false false
2．已知复数false，若i为虚数单位，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
3．抛物线false的焦点坐标是（ ）．
A．false B．false C．false Dfalse
4．等差数列false的首项为1，公差不为0，若false，false，false成等比数列，则false前6项的和为（ ）．
A．false B．false C．3 D．8
5．已知在正方体false中，E是false的中点，F是底面false的中心，则异面直线AF与DE所成角的余弦值为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
6．已知函数false，若false存在唯一的零点false，且false，则a的取值范围是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
7．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则二马相逢时，良马比驾马多走了多少路程（ ）．
A．440里 B．540里 C．630里 D．690里
8．双曲线false的左、右焦点分别为false，false，渐近线分别为false，false，过点false且与false垂直的直线l交false于点P，交false于点Q，若false，则双曲线的离心率为（ ）．
A．false В．false C．2 D．3
二、多选题
（本大题共4小题）
9．下列叙述中不正确的是（ ）．
A．若a，b，false，则“false”的充要条件是“false”
B．若a，b，false，则“false”的充要条件是“false”
C．“false”是“方程false有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
D．“false”是“false”的充分不必要条件
10．已知曲线false（ ）．
A．若false，则C是椭圆，其焦点在y轴
B．若false，则C是圆，其半径为false上
C．若false，则C是双曲线，其渐近线方程
D．若false，则C是两条直线为false
11．已知无穷等差数列false的前几项和为false，false，且false，则（ ）．
A．在数列false中，false最大 B．在数列false中，false或false最大
C．false D．当false时，false
12．已知双曲线false的离心率等于false，过C的右焦点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若以OA为直径的圆M过点B（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）．
A．双曲线的渐近线方程为false B．直线AB的倾斜角为false
C．圆M的面积等于false D．false与false的面积之比为false
三、填空题
（本大题共4小题）
13．已知实数x，y满足不等式组false，则false的最大值是_______．
14．曲线false在点false处的切线方程为_______．
15．已知数列false的前n项和false，数列false的前n项和false，false则正整数n的最大值为______．
16．已知直线false与抛物线false相交于A，B两点，F为C的焦点，若
false，则k的值等于_______．
四、解答题
（本大题共6小题）
17．设数列false满足false．
（1）求false的通项公式；
（2）求数列false的前n项和．
18．如图所示，椭圆false的左、右焦点分别为false，false，一条直线经过false与椭圆交于A、B两点．
（1）求false的周长．
（2）若直线的倾斜角为false，求false的面积．
19．如图，三棱柱false中，侧面false为菱形，false．
（1）证明：false．
（2）若false，false，false，false，求二面角false的正弦值．
20．设false是等差数列，false是等比数列，公比大于0．已知false，false，false．
（1）求false和false的通项公式．
（2）设数列false满足false，求false．
21．设椭圆false的左、右焦点分别为false，false，下顶点为A，椭圆C的离心率是false，false的面积是false．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）直线l与椭圆C交于B，D两点（异于A点），若直线AB与直线AD的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
22．已知函数false．
（1）求函数false的单调区间．
（2）若false，关于x的方程false有三个不同的实根，求m的取值范围．
false学年广东深圳龙岗区华中师范大学龙岗附属
中学高二下学期开学考试数学试卷（详解）
一、单选题（本大题共8小题）
1．【答案】C
【解析】因为false，false
所以false，false
故选C．
2．【答案】B
【解析】由复数false
所以false
false
false
false
故选B．
3．【答案】C
【解析】
抛物线false的标准方程为false，其焦点在y轴正半轴，且false，false，
故拋物线false的焦点坐标为false．
故选C．
4．【答案】A
【解析】设等差数列false的公差为d，
则由若false，false，false成等比数列得false，
即false，
解得false（舍去）或false，
false数列false的前6项和false．
故选A．
5．【答案】D
【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系false，
设该正方体的棱长为1，
可得false，false，false，false，
所以false，false，
所以false．
故选：D．
6．【答案】C
【解析】（1）当false时，显然false有两个零点，不符合题意．
（2）当false时，false，令false，解得false．
当false时，false，所以函数false在false上
为增函数，在false上为减函数，因为false存在唯一零点false，且false，
则false，即false，不成立
当false时，false，所以函数false在false和false上
为减函数，在false上为增函数，因为false存在唯一零点false，且false，则
false，即false，解得false或false，又因为false，
故a的取值范围为false．选C．
7．【答案】B
【解析】设良马每天所行路程为false，则false是以103为首项，
以13为公差的等差数列，其前n项和为false，
驽马每天所行路程为false，则false是以97为首项，
以false为公差的等差数列，其前项为false，
设共用n天二马相逢，则false，
所以false，
化简得false，解得false，
false
false
所有false．
故选B．
8．【答案】B
【解析】记O为坐标原点．由题意可得false，
不妨设false，则直线：false．
联立false，
解得false，得false，
故false，false．因为false，所以false，
所以false，false，
则false．
因为false，
所以false，
所以false，
整理得false，
则false，
解得false．
二、多选题
（本大题共4小题）
9．【答案】AB
【解析】A选项：需要先讨论a是不是0．
B选项：如果false，则false无法推出false．
C选项：“方程false有一个正根和一个负根”的充要条件是false，所以，false是必要不充分条件，D选项：若false，则false，若false，则false或false，
false“false”是“false”的充分不必要条件．
故选AB．
10．【答案】ACD
【解析】解：A．若false，则false，则根据椭圆定义，知false表示焦点
在y轴上的椭圆，故A正确；
B．若false，则方程为false，表示半径为false的圆，故B错误；
C．若false，则方程为false，表示焦点在y轴上的双曲线，故此时渐近线方程为false
若false，则方程为false，表示焦点在x轴上的双曲线，故此时渐
近线方程为false，故C正确；
D．当false时，则方程为false，表示两条直线，故D正确．
故选：ACD．
11．【答案】AD
【解析】由于false，false，
所以false，false，
所以数列false是递减的等差数列，最大项为false，
所以A对B错误D正确；false，故C错误
故选AD
12．【答案】ACD
【解析】A选项：根据题意可得，false，解得false，
所以双曲线的方程为false，
所以双曲线的渐近线方程为false，故A正确；
B选项：因为以OA为直径的圆M过点B，所以false，根据（1）渐近线为
false，可得渐近线倾斜角false，易知false
所以false，所以直线AB的倾斜角为false或false，故B错误；
C选项：
根据双曲线的对称性，不妨设直线AB的倾斜角为false，由false可得直线AB的
方程为false，分别与渐近线方程false或false联立，解得
false或false，则false，false．此时
false，
故圆M的半径false，其面积false，故C正确；
D选项：因为OF为false与false的公共边，所以false与false的面积之
比等于false，故D正确
故选ACD．
三、填空题
（本大题共4小题）
13．【答案】3
【解析】作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，
平移直线false可知，目标函数false在点A处取得最大值，联立
false．得false，将点A代入目标函数false，得false．
14．【答案】false
【解析】由题得false，
false，
又false
false由点斜式得切线方程为false，
即false．
故答案为：false．
15．【答案】3
【解析】：false数列false的前n项和false，
false，得false，
当false，false时，
false，
false，得false，
false数列false是首项为1，公比为2的等比数列，
false，
false，
令false，
则false，
false，
false，
false，
false，
falsefalse随着n的增大而增大且false
false正整数n的最大值为3．
16．【答案】false
【解析】设false，false，
联立直线false与抛物线false，
化为false，false．
false①，false②
false，false，false，
false③
化为false．
联立①②③，解得false
故答案为：false
四、解答题
（本大题共6小题）
17．【答案】（1）false；
（2）false
【解析】
（1）数列false满足false．
false时，falsefalse．
false
false
当false时，false，上式也成立，
false
（2）false，
false数列false的前n项和
false
18．（1）16．
（2）false．
【解析】（1）在椭圆false中，
false
false的周长为：
false
false
false
false
（2）当直线l的倾斜角为false时，
false，且过焦点false，
false直线方程为false，
false
消去x，得false，
整理得false，
false，
false，
false，
false，
false，
false的面积：
false
false
false．
19．【答案】（1）证明见解析．
（2）false．
【解析】（1）连接false，交false于点O，因为侧面false为菱形，
所以false，且O为false与false的中点，false，
false，
又false，
所以false平面ABO，
故false．
（2）在false中，
false，
false，
结合（1）可知，false，false，OA三条直线两两垂直，
因为，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系false．
在false中，
false，
false，
又因为O为false的中点，
所以false．
因为false，所以false为等边三角形，
因为false，所以false，false．
所以false，false，false，false，
false，false，
设false是平面ABC的一个法向量，
则false，即false，所以可取false，则
false．
同理，平面false一个法向量false
则false，所以false．
20．【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】（1）解：false是等差数列，false是等比数列，公比大于0．
设等差数列false的公差为d，等比数列false的公比为false．
由题意可得：false；false，
解得：false，false．
故false，false．
（2）解：数列false满足false，
false
false
false
false，
令false①，
则false②，
①-②得：false
false
false．
故false
false．
21．【答案】（1）false．
（2）证明见解析，定点为false．
【解析】（1）由题意知：false，
解得：false，false，
所以椭圆的标准方程为：false．
（2）由（1）得，false，
当直线l的斜率不存在时，设直线为：false，代入椭圆中：false，
设false，false，
由题意得：false，所以false；
false，
当直线BD的斜率存在时，设直线为：false，
设false，
联立与椭圆的方程整理得：
false，
false，
false，false
false，false，false
false
false
false
false
false
false，
由题意知：false，
所以直线为false，
当false时，false，即过false，
综上所述，直线恒过点false．
22．【答案】（1）当false时，false的增区间为false，减区间为false；当false时，false的增区间为false和false，减区间为false．
（2）false．
【解析】（1）函数false的定义域是false．
false
false
false
false．
①当false时，false在false上恒成立，false在false上恒成立．
false时，false的增区间为false，减区间为false．
②当false时，false在false上恒成立，
false在false和false上恒成立．
false时，false的增区间为false和false，减区间为false．
综上所述：当false时，false的增区间为false，减区间为false；
当false时，false的增区间为false和false，减区间为false．
（2）若false，false，
由（1）可得false．
false和false时，false；
false时，false．
因此false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增．
当false时，false；
false
false
当false时，false．
false可画出false图像：
false的图象与直线false有三个交点时m的取值范围是false．