陕西省陕师大附中11-12学年高二上学期期末试题数学理

陕西师大附中2011-2012学年度第一学期
期末考试高二年级数学试题(理科)
一、选择题（每小题4分,共40分）
1．椭圆的离心率为( )
（A） (B) （C） (D)
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是( ) （A） （B） (C) (D)
．复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4．若曲线在点处的切线方程是，则( )
（A） (B)
（C） (D)
5．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则的值为( )
（A）　　　 (B)　　 （C）　　 (D)
6．函数的单调递减区间为( )
（A） (B) （C） (D)
7．已知椭圆的两个焦点为，，是椭圆上一点，
若，，则该椭圆的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
8．下列命题中，是正确的全称命题的是( )
（A）对任意的，都有；
(B) 菱形的两条对角线相等；
（C）存在实数使得；
(D) 对数函数在定义域上是单调函数。
9．观察下列各式:则的末四位数字
为 ( )
（A）3125 (B) 5625 （C）0625 (D) 8125
10．函数的图象在点()处的切线的倾斜角为( )
（A） (B) （C）钝角 (D)锐角
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．已知R，命题“若，则”的否命题是_______.
12．“”是“一元二次方程”有实数解的 条件． (选填“充要”， “充分不必要”，“必要不充分”中的一个)
13．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
14. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则 太贝克．
15．已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是 ____.
陕西师大附中2011-2012学年度第一学期
期末考试高二年级数学答题纸（理科）
一、选择题（每小题4分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. . 12. .
13. . 14. .
15. .
三、解答题（5个小题，共60分）
16．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（II）求平面QBP与平面BPC夹角的余弦值．
17．（本小题满分12分）当时，
.
（I）;（II）.
18. （本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角.
19．(本小题满分12分)已知函数在区间
上的最大值为，最小值为．
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．
20．(本小题满分12分)证明函数只有一个零点．
陕西师大附中2011-2012学年度第一学期
期末考试高二年级数学题答案（理科）
一、选择题（每小题4分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C B C D A C
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.若，则 12.充分不必要 13.
14. 150 15.
三、解答题（5个小题，共60分）
16．（本小题满分12分）解：
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分
（II）依题意有B（1，0，1），
设是平面PBC的法向量，则
因此可取
设是平面PBQ的法向量，则
可取
故平面QBP与平面BPC夹角的余弦值为 ………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（I），
，
（II）猜想： 即：
（n∈N*）
下面用数学归纳法证明
时，已证
假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：
则
由①，②可知，对任意，都成立.
18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由，得.
再由，解得.
由题意可知，即.
解方程组得.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，
直线的斜率为k.则直线的方程为y=k（x+2）.
于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线的倾斜角为或.
19．(本小题满分12分)解：(Ⅰ)
(Ⅱ)　　
由，知
， 即
20．(本小题满分12分)证明函数只有一个零点．
证明：，其定义域是，
令，
即，解得或． ∵x>0，舍去．
当时，；当时，．
∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即． ∴函数只有一个零点．