2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 必修4第二章平面向量（B）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 必修4第二章平面向量（B）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 11:31:31 | ||
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文档简介
-1123950339725此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
必修4第二章平面向量 （B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列关于向量的结论：
（1）若，则或；
（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量与同向，且，则．
其中正确的序号为（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
2．已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若两个非零向量、满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
10．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在三角形ABC中，E?F分别为AC?AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量与，若，则实数的值为_________．
14．已知，，，则________．
15．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________．
16．已知为所在平面内一点，且，若，则__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，．
（1）求出向量，的坐标；
（2）求与平行的单位向量的坐标．
18．（12分）如图，在菱形中，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求．
19．（12分）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．
（1）求的值；
（2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
20．（12分）在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点．
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值．
21．（12分）如图，D、E分别是的边BC的三等分点，设，，．
（1）用分别表示，；
（2）若，，求△ABC的面积．
22．（12分）已知在中，，．
（1）若的平分线与边交于点，求；
（2）若点为的中点，求的最小值．
平面向量（B）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】（1）若，由于，的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正确；
（2）由零向量与任何向量平行，当向量与平行时，不能得出与的方向相同或相反，故（2）不正确；
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量，故（3）正确；
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确，
故选D．
2．【答案】A
【解析】由，可得，所以，
所以，
而，则向量，夹角的大小为30°，故选A．
3．【答案】A
【解析】，，
所以，故选A．
4．【答案】B
【解析】∵，，且，
∴，∴，∴，
故选B．
5．【答案】D
【解析】，
，则，
所以，，故选D．
6．【答案】D
【解析】在等式两边同时平方可得，，
在等式两边同时平方可得，，
，
所以，，
，所以，，故选D．
7．【答案】B
【解析】设，
因为点是线段的中点，所以，
所以，所以，，即①
因为点为线段上靠近的三等分点，
所以，所以，
因为三点共线，所以②
由①②可解得，故选B．
8．【答案】B
【解析】由，得，
两边平方，得，即，
整理得，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
故选B．
9．【答案】B
【解析】在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，，
即，
，
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心，故选B．
10．【答案】D
【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，，，，
设点为，，，
，，
，，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，，故选D．
11．【答案】B
【解析】由题得，
即，解得，
即，故选B．
12．【答案】C
【解析】因为三点共线，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，，，
所以，所以，
因为共线，所以，，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，所以，解得，故答案为．
14．【答案】
【解析】，，即，
∴，∴，
故答案为．
15．【答案】
【解析】设点的坐标是，即，
因为向量，，
所以，，
，
当时，有最小值，此时点的坐标是，
故答案为．
16．【答案】8
【解析】如图所示，延长到点，使得，延长到点，
使得，
连接，，，
为所在平面内一点，且满足，
，
所以为的重心，
所以，，，
又，所以，
又，所以，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1）∵，，
∴，．
（2）∵，，∴，
∴，
∴与平行的单位向量或．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，
所以，
所以，，故．
（2）∵，
∴，
∵为菱形，∴，
∴，
即．
19．【答案】（1）1；（2），或且．
【解析】（1）．
（2）
，
因为与的夹角为锐角，所以，即，
解得或．
又由和共线，解得，
所以实数的取值范围是或且．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】解法1：（1）由已知，，
又，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，从而．
，
所以．
解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，
则，，，
因为D为边的中点，所以，，
所以．
（2）因为M为中线的中点，由（1）知，，
所以，
所以，，
所以．
21．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）根据向量的线性运算法则，可得
，
．
（2）由，
因为，可得，
即，
又由，
解得，
所以，
所以的面积．
22．【答案】（1）0；（2）．
【解析】（1）因为是角平分线，从而得到，
所以可得，
所以．
（2）在和由用余弦定理可得
，，
而，，
所以得到，
整理得，
，
当且仅当时，等号成立．
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
必修4第二章平面向量 （B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列关于向量的结论：
（1）若，则或；
（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量与同向，且，则．
其中正确的序号为（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
2．已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若两个非零向量、满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知单位向量，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
10．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在三角形ABC中，E?F分别为AC?AB上的点，BE与CF交于点Q且，，AQ交BC于点D，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量与，若，则实数的值为_________．
14．已知，，，则________．
15．已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________．
16．已知为所在平面内一点，且，若，则__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，．
（1）求出向量，的坐标；
（2）求与平行的单位向量的坐标．
18．（12分）如图，在菱形中，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求．
19．（12分）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．
（1）求的值；
（2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
20．（12分）在中，，，，D为边的中点，M为中线的中点．
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值．
21．（12分）如图，D、E分别是的边BC的三等分点，设，，．
（1）用分别表示，；
（2）若，，求△ABC的面积．
22．（12分）已知在中，，．
（1）若的平分线与边交于点，求；
（2）若点为的中点，求的最小值．
平面向量（B）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】（1）若，由于，的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正确；
（2）由零向量与任何向量平行，当向量与平行时，不能得出与的方向相同或相反，故（2）不正确；
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量，故（3）正确；
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确，
故选D．
2．【答案】A
【解析】由，可得，所以，
所以，
而，则向量，夹角的大小为30°，故选A．
3．【答案】A
【解析】，，
所以，故选A．
4．【答案】B
【解析】∵，，且，
∴，∴，∴，
故选B．
5．【答案】D
【解析】，
，则，
所以，，故选D．
6．【答案】D
【解析】在等式两边同时平方可得，，
在等式两边同时平方可得，，
，
所以，，
，所以，，故选D．
7．【答案】B
【解析】设，
因为点是线段的中点，所以，
所以，所以，，即①
因为点为线段上靠近的三等分点，
所以，所以，
因为三点共线，所以②
由①②可解得，故选B．
8．【答案】B
【解析】由，得，
两边平方，得，即，
整理得，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
故选B．
9．【答案】B
【解析】在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，，
即，
，
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心，故选B．
10．【答案】D
【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，，，，
设点为，，，
，，
，，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，，故选D．
11．【答案】B
【解析】由题得，
即，解得，
即，故选B．
12．【答案】C
【解析】因为三点共线，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，，，
所以，所以，
因为共线，所以，，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为，，所以，
因为，所以，解得，故答案为．
14．【答案】
【解析】，，即，
∴，∴，
故答案为．
15．【答案】
【解析】设点的坐标是，即，
因为向量，，
所以，，
，
当时，有最小值，此时点的坐标是，
故答案为．
16．【答案】8
【解析】如图所示，延长到点，使得，延长到点，
使得，
连接，，，
为所在平面内一点，且满足，
，
所以为的重心，
所以，，，
又，所以，
又，所以，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1）∵，，
∴，．
（2）∵，，∴，
∴，
∴与平行的单位向量或．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，，
所以，
所以，，故．
（2）∵，
∴，
∵为菱形，∴，
∴，
即．
19．【答案】（1）1；（2），或且．
【解析】（1）．
（2）
，
因为与的夹角为锐角，所以，即，
解得或．
又由和共线，解得，
所以实数的取值范围是或且．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】解法1：（1）由已知，，
又，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，从而．
，
所以．
解法2：（1）以点A为原点，为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建系，
则，，，
因为D为边的中点，所以，，
所以．
（2）因为M为中线的中点，由（1）知，，
所以，
所以，，
所以．
21．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）根据向量的线性运算法则，可得
，
．
（2）由，
因为，可得，
即，
又由，
解得，
所以，
所以的面积．
22．【答案】（1）0；（2）．
【解析】（1）因为是角平分线，从而得到，
所以可得，
所以．
（2）在和由用余弦定理可得
，，
而，，
所以得到，
整理得，
，
当且仅当时，等号成立．