第一讲 讲末复习与小结
四、素质训练
A．基础巩固
1．伸缩变换的坐标表达式为
曲线C在此变换下变为椭圆x′2＋＝1，则曲线C的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x＋1)2＋＝1
C．(x＋1)2＋y2＝1
D．(x－1)2＋＝1
【答案】B 【解析】直接将代入方程x′2＋＝1，化简即可．
2．(2017年库尔勒校级期末)P点的直角坐标(－，1)化成极坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】ρ＝＝2，tan
θ＝－，θ∈，∴θ＝.∴点P的极坐标为.故选A．
3．(2017年滨州校级期中)极坐标方程ρ＝sin
θ＋cos
θ表示的曲线是( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】B 【解析】极坐标方程ρ＝sin
θ＋cos
θ，即ρ2＝ρ(sin
θ＋cos
θ)，化为x2＋y2＝x＋y，配方为2＋2＝，表示的曲线是以为圆心，为半径的圆．故选B．
4．已知点P的球坐标是，则点P的直角坐标是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
故点P的直角坐标为.
5．(2017年北京)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为__________．
【答案】1 【解析】设圆ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0为圆C，将圆C的极坐标方程化为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，再化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝1.如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为|AP|min＝|CP|－rC＝2－1＝1.故答案为1.
6．在极坐标系中，曲线ρcos
＝1与极轴的交点到极点的距离为________．
【答案】2 【解析】由曲线ρcos＝1展开可得ρ＝1，可得直角坐标方程x＋y＝2，令y＝0，可得x＝2.∴曲线ρcos＝1与极轴的交点到极点的距离为2.
7．在极坐标系中，设圆ρ＝2上的点到直线ρ(cos
θ＋sin
θ)＝6的距离为d，求d的最大值和最小值．
【解析】解法一：将圆的极坐标方程ρ＝2转化为直角坐标方程x2＋y2＝4，圆心为(0,0)，半径为r＝2，
直线的极坐标方程ρ(cos
θ＋sin
θ)＝6可化为直角坐标方程x＋y＝6，
所以圆心到直线的距离为d′＝＝3.
所以dmax＝d′＋r＝3＋2＝5，dmin＝d′－r＝3－2＝1.
解法二：将圆的极坐标方程ρ＝2转化为直角坐标方程
x2＋y2＝4，
直线的极坐标方程ρ(cos
θ＋sin
θ)＝6可化为直角坐标方程x＋y＝6.
在圆x2＋y2＝4上任取一点A(2cos
α，2sin
α)，则点A到直线的距离为
d＝＝|cos
α＋sin
α－3|
＝，
所以当sin＝－1时，dmax＝|2×(－1)－3|＝5；
当sin＝1时，dmin＝|2×1－3|＝1.
B．能力提升
8.(2018年长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N连线的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
【解析】(1)∵ρcos＝1，
∴ρcos
θ·cos
＋ρsin
θ·sin＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.
∴M(2,0)，N.
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.
(2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为，
∴P的极角为θ＝.
∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
PAGE第一讲 第7课时
A．基础巩固
1．(2017年宝鸡校级期中)设点M的柱坐标为，则其直角坐标是________．
【答案】(－1，－1，) 【解析】利用互化公式x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，z＝z.
2．(2017年珠海校级期中)已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．
【答案】(－2,2,2) 【解析】利用互化公式x＝rsin
φcos
θ，y＝rsin
φsin
θ，z＝rcos
φ.
3．球坐标系中点A，B的距离为__________________．
【答案】3 【解析】将A，B两点分别转化为空间直角坐标，(0,3,0)，利用两点间距离公式求解．
4．半径为2的球面上，纬度为45°，经度为60°的点的直角坐标为________________．
【答案】(1，，2) 【解析】即球坐标为，利用公式x＝rsin
φcos
θ，y＝rsin
φsin
θ，z＝rcos
φ化为空间直角坐标即可．
5．在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间什么曲面？方程z＝－1表示什么曲面？
【解析】方程ρ＝1表示以z轴为中心，以1为底面半径的圆柱面；
方程z＝－1表示与Oxy坐标面平行的平面且此平面与Oxy坐标面的距离为1，并在Oxy坐标面的下方．
6．在球坐标系中，方程r＝1表示什么曲面？方程φ＝表示什么曲面？
【解析】方程r＝1表示球心在原点的单位球面；方程φ＝表示顶点在原点，半顶角为的上半个圆锥面，中心轴为z轴．
B．能力提升
7．如下图，棱长为1的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，已知点P的球坐标P(r，φ，θ)，求r，tan
φ，sin
θ.
【解析】因为|OA|＝1，
所以|OB′|＝.
所以r＝|OP|＝|OB′|＝.
因为φ＝∠D′OB′，所以tan
φ＝＝＝.
因为θ＝∠AOB＝，sin
θ＝，
所以r＝，tan
φ＝，sin
θ＝.
PAGE第一讲 第6课时
A．基础巩固
1．(2017年北京模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρcos
θ＝1
B．ρsin
θ＝1
C．ρ＝cos
θ
D．ρ＝sin
θ
【答案】A 【解析】在直角坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是x＝1，其极坐标方程为ρcos
θ＝1.故选A．
2．(2017年庆阳期末)在极坐标系中与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos
θ＝2
B．ρsin
θ＝2
C．ρ＝4sin
D．ρ＝4sin
【答案】A 【解析】ρ＝4sin
θ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，ρcos
θ＝2的普通方程为x＝2.
圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．
3．(2017年朔州校级期末)在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(ρ∈R)( )
A．关于直线θ＝对称
B．关于直线θ＝对称
C．关于点中心对称
D．关于极点中心对称
【答案】B 【解析】∵曲线ρ＝4sin(ρ∈R)，∴ρ＝4cos，即ρ＝4cos.该方程表示以为圆心，以2为半径的圆，∴曲线关于直线θ＝成轴对称．故选B．
4．在极坐标平面内，集合P＝与集合S＝之间的关系是( )
A．P?S
B．P?S
C．P＝S
D．P∩S＝{(0,0)}
【答案】C 【解析】P表示两条直线θ＝(ρ∈R)和θ＝－(ρ∈R)，S表示两条直线θ＝(ρ∈R)和θ＝－(ρ∈R)．而θ＝(ρ∈R)和θ＝(ρ∈R)表示同一条直线，故P＝S.
5．(2017年北京模拟)在极坐标系中，设曲线ρ＝－2sin
θ和直线ρsin
θ＝－1交于A，B两点，则|AB|＝_________.
【答案】2 【解析】曲线ρ＝－2sin
θ，即ρ2＝－2ρsin
θ，可得直角坐标方程x2＋y2＝－2y.直线ρsin
θ＝－1，化为直角坐标方程y＝－1，代入圆的方程可得x2＝1，解得x＝±1.设A(1，－1)，B(－1，－1)，则|AB|＝2.
6．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，则点A到直线l的距离为________．
【答案】 【解析】直线l的极坐标为2ρsin＝，对应的直角坐标方程为y－x＝1，点A的极坐标为，它的直角坐标为(2，－2)．点A到直线l的距离为＝.
7.(2018年大连双基训练)已知两点A，B的极坐标分别为，.
(1)求A，B两点间的距离；
(2)求直线AB的极坐标方程.
【解析】(1)∠AOB＝－＝，OA＝OB＝4，则△OAB为正三角形，故AB＝4.
(2)设O在直线AB上的射影为H，则H的坐标为.
设P(ρ，θ)为直线AB上任一点，由△OPH为直角三角形，
得ρcos＝2，即为所求的直线AB的极坐标方程.
B．能力提升
8.在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos
θ＋sin
θ)＝2的距离为d，求d的最大值．
【解析】将极坐标方程ρ＝3转化为普通方程x2＋y2＝9，ρ(cos
θ＋sin
θ)＝2可化为x＋y＝2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.
PAGE第一讲 第5课时
A．基础巩固
1．极坐标系中，以为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( )
A．ρ＝18cos
B．ρ＝－18cos
C．ρ＝18sin
D．ρ＝9cos
【答案】A 【解析】将点转化为直角坐标.所以圆的直角坐标方程为2＋2＝81，即x2＋y2－9x－9y＝0.所以圆的极坐标方程是ρ＝18cos.故选A．
2．(2017年北京二模)在极坐标系中，圆ρ＝sin
θ的圆心的极坐标是( )
A．
B．(1,0)
C．
D．
【答案】C 【解析】圆ρ＝sin
θ即ρ2＝ρsin
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝y，配方得x2＋2＝.可得圆心C，可得圆心的极坐标是.故选C．
3．在极坐标系中，方程ρ＝cos
θ(θ∈[0，π]，ρ∈R)表示的曲线是( )
A．以为圆心，半径为的上半个圆
B．以为圆心，半径为的圆
C．以(1,0)为圆心，半径为的上半个圆
D．以为圆心，半径为的圆
【答案】B 【解析】当ρ≥0，θ∈时，方程ρ＝cos
θ表示以为圆心，半径为的上半个圆；当ρ≤0，θ∈时，方程表示以为圆心，半径为的下半个圆．
4．(2017年遂宁期末)在极坐标系中，若过点(2,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝8cos
θ于A，B两点，则|AB|＝( )
A．4
B．2
C．2
D．2
【答案】A 【解析】由ρ＝8cos
θ化为ρ2＝8ρcos
θ，∴x2＋y2＝8x，化为(x－4)2＋y2＝16.把x＝2代入可得y2＝12，解得y＝±2.∴|AB|＝4.故选A．
5.(2018年大连双基训练)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，则圆C的极坐标方程为 .
【答案】ρ2－4ρcos－1＝0 【解析】将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcos
θ－1)2＋(ρsin
θ－)2＝5，即ρ2－4ρcos－1＝0，即为所求的圆C的极坐标方程.
6．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos
θ上的动点P与定点Q的最近距离等于________．
【答案】－1 【解析】将ρ＝2cos
θ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为A(1,0)，r＝1，Q化为直角坐标为(0,1)，可得点Q在圆外，所以P与定点Q的最近距离为－r＝－1.
7.
圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－4sin
θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程．
【解析】(1)
将ρ＝4cos
θ两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos
θ，利用平面直角坐标和极坐标互化公式可得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.同理圆O2的直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.
(2)解法一：由
解得即圆O1和圆O2交于点(0,0)和(2，－2)，则过这两点的直线方程为x＋y＝0.
解法二：将两圆方程x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0相减得x＋y＝0，因圆O1和圆O2的交点坐标都满足方程x＋y＝0，即圆O1和圆O2的交点的直线方程为x＋y＝0.
B．能力提升
8．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．直线θ＝对称
B．直线θ＝对称
C．点对称
D．极点对称
【答案】B 【解析】∵ρ＝4sin＝2sin
θ－2cos
θ，∴ρ2＝2ρsin
θ－2ρcos
θ，即普通方程为x2＋y2＝2y－2x.∴圆的圆心坐标为(－，1)，经过圆的圆心与原点的直线的倾斜角为.∴在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于直线θ＝对称．故选B．
PAGE第一讲 第4课时
A．基础巩固
1．(2017年林芝期末)点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A．
B．
C．
D．(k∈Z)
【答案】C 【解析】由ρ2＝x2＋y2，得ρ2＝4，ρ＝2，由ρcos
θ＝x得cos
θ＝－，结合点在第二象限得θ＝，则点M的极坐标为.故选C．
2.
(2017年阳江期末)点P的极坐标为，则它的直角坐标是( )
A．(1，－)
B．(－1，)
C．(，－1)
D．(－，1)
【答案】D 【解析】根据题意，设P的直角坐标为(x，y)，点P极坐标为，则有解得即P的直角坐标为(－，1)．故选D．
3．已知A，B(－1，π)，则＝( )
A．5
B．2
C．
D．4
【答案】C 【解析】可利用余弦定理，也可转化为平面直角坐标，利用两点间距离公式．A，B(－1，π)化为直角坐标为(3,3)，(1,0)，＝＝.
4.
(2017年宝鸡校级月考)在极坐标系中，A，B，C，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
【答案】C 【解析】B，∴OA＝5，OB＝8，OC＝3，∴∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，∠AOC＝－＝，在△AOB中，由余弦定理可得AB＝＝7，同理可得BC＝＝7，AC＝＝7，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．故选C．
5．(2017年滨州校级期中)将点的极坐标化为直角坐标为__________．
【答案】(，1) 【解析】∵点的极坐标，∴x＝2cos
＝，y＝2sin
＝1，∴将点的极坐标化为直角坐标为(，1)．
6.
已知A，B两点的极坐标A，B，则线段AB的中点的极坐标为
________.
【答案】
【解析】可知A，B，极点三点共线，所以点B的坐标也可以写成，则AB的中点的极坐标为.也可化成直角坐标，利用中点坐标公式求出．
7．将点N的直角坐标化成极坐标．
【解析】即N点的极坐标为.
B．能力提升
8.(2018年珠海阶段性测试)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin
θ与ρcos
θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为( )
A.(－1，－2)
B.(－1,2)
C.(1，－2)
D.(1,2)
【答案】D 【解析】将2ρcos2θ＝sin
θ两边同乘以ρ，得2(ρcos
θ)2＝ρsin
θ，化为直角坐标方程为2x2＝y，① C2：ρcos
θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，② 联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).
PAGE第一讲 第3课时
A．基础巩固
1．以下各点坐标与点M不同的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】点M的极坐标为，由于和－是终边相同的角，故点M的坐标也可表示为，D选项正确；再根据和或－是终边在反向延长线的角，故点M的坐标也可表示为，，B，C选项正确．故选A．
2．(2017年唐山校级期中)在极坐标系中，点M(1,0)关于极点的对称点为( )
A．(1,0)
B．(－1，π)
C．(1，π)
D．(1,2π)
【答案】C 【解析】∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M(1,0)关于极点的对称点为(1，π)．故选C．
3．在极坐标系中，点P(ρ，θ)关于极点对称的点的一个坐标是( )
A．(－ρ，－θ)
B．(ρ，－θ)
C．(ρ，π－θ)
D．(ρ，π＋θ)
【答案】D 【解析】把点P(ρ，θ)绕极点逆时针旋转π弧度，即可得到点P关于极点对称的点，故点P(ρ，θ)关于极点对称的点的一个坐标是
(ρ，θ＋π)，故选D．
4.
(2017年珠海校级期中)设点P对应的复数为1＋i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】P的直角坐标为(1,1)，∴ρ＝|OP|＝，θ＝.故选A．
5．在极坐标中，已知点A(4,1)，B，则线段AB的长度是( )
A．1
B．
C．7
D．5
【答案】D 【解析】设极点为O，因为点A(4,1)，B，所以OA⊥OB．所以|AB|＝＝5.故选D．
6．在极坐标系中，点和的位置关系是________．
【答案】关于过极点且垂直于极轴的直线对称 【解析】点与关于极轴对称，
点与关于极点对称，所以点和关于过极点且垂直于极轴的直线对称．
7．在极轴上求与点A距离为5的点M的坐标．
【解析】可设点M(r,0)，∵A.
∴＝
＝＝5.
即r2－8r＋7＝0，解得r＝1或r＝7.
∴点M的坐标为(1,0)或(7,0)．
B．能力提升
8．(2017年赤峰校级期中)下列结论中不正确的是( )
A．与关于极轴对称
B．与关于极点对称
C．与关于极轴对称
D．与关于极点对称
【答案】D 【解析】与是同一个点，因此D不对．故选D．
PAGE第一讲 第2课时
A．基础巩固
1．(2017年天水校级月考)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋4y′2＝1，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1
D．x2＋y2＝1
【答案】A 【解析】把代入曲线x′2＋4y′2＝1，可得(5x)2＋4(3y)2＝1，化简得25x2＋36y2＝1.故选A．
2．在平面直角坐标系中，直线2x－y＝3经过伸缩变换φ作用后得到直线x′－2y′＝6，则φ是( )
A．φ：
B．φ：
C．φ：
D．φ：
【答案】A 【解析】设坐标变换公式为φ：即将其代入直线方程2x－y＝3，得x′－y′＝3，将其与x′－2y′＝6，即x′－y′＝3比较，得?即
3．(2017年宜昌期末)将曲线y＝sin
2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(
)
A．y′＝3sin
2x
B．y′＝3sin
x′
C．y′＝3sin
x′
D．y′＝sin
2x′
【答案】B 【解析】根据题意，由得又由y＝sin
2x，则有＝sin，即y′＝3sin
x′.故选B．
4.
已知f1(x)＝cos
x，f2(x)＝cos
ωx(ω＞0)，f2(x)的图象可以看作是f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为( )
A．
B．2
C．3
D．
【答案】C 【解析】可直接根据三角函数图象的变换规律得到：f1(x)＝cos
x
f2(x)＝cos
3x，得ω＝3.也可将坐标变换公式
即
代入f1(x)＝cos
x
得f2(x)＝cos
3x，得ω＝3.
5．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________________．
【答案】
【解析】设坐标变换公式为
即将其代入直线方程2x＋3y－1＝0，
得x′＋y′－1＝0，将其与6x＋6y－1＝0比较，
得k＝，h＝.
6．(2017年朔州校级期中)在伸缩变换φ：作用下，点P(1，－2)变换为P′的坐标为__________．
【答案】(2，－1)
【解析】根据题意，点P(1，－2)，即x＝1，y＝－2，x′＝2x＝2，y′＝y＝－1，故P′的坐标为(2，－1)．
7．已知平面直角坐标系中三点A(2,0)，B(0,3)，C(0,0),
经过伸缩变换
后分别变为A′，B′，C′，求△A′B′C′的面积．
【解析】
将A，B，C三点坐标代入
得A′(4,0)，B′(0,6)，C′(0,0)，则S△A′B′C′＝×4×6＝12.
B．能力提升
8．将圆x2＋y2＝4按向量a＝(－1,2)平移后再按坐标变换公式进行伸缩变换，求伸缩变换后所得的方程．
【解析】圆x2＋y2＝4按向量a＝(－1,2)平移后所得的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4.
设圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4上任意一点的坐标为(x，y)，伸缩变换后对应点的坐标为(x′，y′)，
∵坐标变换公式为
①
∴ ②
将②代入方程(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
得(2x′＋1)2＋(3y′－2)2＝4，
化简，得2＋＝1，
即2＋＝1为所求的方程．
PAGE第一讲 第1课时
A．基础巩固
1．以A(1,2)，B(2,3)，C(2,1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D 【解析】可利用两点间距离公式求出三边长度＝，＝2，＝，得＝，2＋2＝2，则△ABC为等腰直角三角形．
2.
平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1),
则D的坐标是( )
A．(9，－1)
B．(－3,1)
C．(1,3)
D．(2,2)
【答案】C 【解析】可利用向量解决．设D(x，y)，则＝(4，－2)，＝(5－x,1－y)，＝?
?所以D的坐标是(1,3)．
3．(2017年石嘴山校级期中)已知点A(7，－4)，B(－5,6)，则线段AB垂直平分线方程是( )
A．6x－5y－1＝0
B．5x＋6y＋1＝0
C．6x＋5y－1＝0
D．5x－6y－1＝0
【答案】A 【解析】由A(7，－4)，B(－5,6)可得线段AB的中点为C(1,1)，直线AB的斜率k＝＝－，∴线段AB垂直平分线的斜率为.∴所求直线的方程为y－1＝(x－1)，即6x－5y－1＝0.故选A．
4．点P(3,4)与圆(x－1)2＋y2＝25的位置关系是( )
A．在圆外
B．在圆上
C．在圆内
D．不能确定
【答案】C 【解析】利用点P(3,4)到圆心(1,0)的距离与半径的大小关系．d＝＝＜5，所以点在圆内．
5．已知A(－1,3)，B(3,1),
点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，
则满足条件的C的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C 【解析】若点C在x轴上，设点C为(x,0)，由∠ACB＝90°，得2＝2＋2，∴(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1，解得x1＝0，x2＝2.∴点C坐标为(0,0)或(2,0)．若点C在y轴上，设点C为(0，y)，由∠ACB＝90°，得2＝2＋2，∴(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(y－3)2＋(0－3)2＋(y－1)2，解得y1＝0，y2＝4.∴C点坐标为(0,0)或(0,4)．∴这样的点C有(0,0)，(2,0)，(0,4)，共3个．
6.
已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点，点Q分线段OP为OQ∶QP＝1∶2，则点Q的轨迹方程是( )
A．2x＋4y＋1＝0
B．2x＋4y＋3＝0
C．2x＋4y＋2＝0
D．x＋4y＋3＝0
【答案】
A 【解析】可利用定比分点公式，也可利用向量解决．Q(x，y)，P(x′，y′)，＝(x，y)，＝(x′－x，y′－y)，＝2?
?又点P在直线l上，所以2x′＋4y′＋3＝0，即2×3x＋4×3y＋3＝0，即2x＋4y＋1＝0.
7．求函数y＝＋的最小值．
【解析】y＝＋
＝＋，
令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题可以转化为x轴上求一点P(x,0)，使得＋取得最小值．
∵A(0,1)关于x轴的对称点为A′(0，－1)，
∴(＋)min＝＝.
故函数y的最小值为.
B．能力提升
8．若直线y＝x＋k与曲线x＝恰有一个公共点，则k的取值范围是( )
A．k＝±
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．(－，)
D．k＝－或－1【答案】D 【解析】曲线x＝是半圆x2＋y2＝1(x≥0)，直线y＝x＋k的斜率为1，与半圆的相交情况如下图，可知，当纵截距－1＜k≤1或k＝－时有一个公共点．
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