(共24张PPT)
华师大版
八下数学
19.1.1矩形的性质
回顾旧知
复行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
?AB∥CD,
AD∥BC
?AB=CD,
AD=BC
?AB∥CD,
AB=CD
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
情景导入
独木桥
当独木桥前后运动时，四边形ABCD是什么形状？
当独木桥最后停下时，四边形ABCD有什么特殊的变化？
当独木桥静止时，四边形ABCD是什么图形？
A
B
C
D
图中的长方形是平行四边形吗？它有什么特点呢？
观察
探究新知
如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上并轻轻推动，你会发现什么？
D
C
B
A
角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状.
总结
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。
矩形的定义：
矩形是特殊的平行四边形。
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形的一般性质：
1.矩形的两组对边分别平行
2.矩形的两组对边分别相等
矩形是中心对称图形，对角线的交点就是它的对称中心。
3.矩形的两组对角分别相等
4.矩形的两条对角线互相平分
5.矩形的邻角互补
归纳
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
B
A
D
C
总结：矩形的四个角都是直角．
当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其它角
想一想
探究新知
矩形的对角线相等．
当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其对角线AC、BD的长度有何变化？
B
A
D
C
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC
=BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC
=
∠DCB
=
90°
又∵AB
=
DC
，
BC
=
CB
∴△ABC≌△DCB
∴AC
=
BD
即矩形的对角线相等
探究新知
归纳
1.
矩形具有平行四边形的所有性质.
2.
矩形特有的性质：
①
矩形的四个角都是直角；
②
矩形的对角线相等.
3.
矩形是中心对称图形，也是轴对称图形.
综上所述可得矩形的性质：
例题解析
例1、如下图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？
A
B
C
D
O
解
∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86cm，
∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD)
=AB+BC+CD+DA+2(AC+BD)=86.
又∵AC=BD=13(矩形的对角线相等)，
∴AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34cm，
即矩形ABCD的周长等于34cm.
例题解析
例2
如下图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.
解
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
AC=
=
=5.
又∵S△ABC
=
AB·BC=
AC·BE，
∴BE=
.
练一练
如图，在矩形ABCD中，BF＝CE，求证：AE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∵BF＝CE，
∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF，∴△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF.
练一练
如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E.求证：AC＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵CE∥BD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD＝CE，
∴AC＝CE.
例题解析
例3
如下图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=15cm.求AC、AB的长.
解
∵四边形ABCD是矩形，
∴
AC=BD=15(矩形对角线相等).
∴
AO
=AC
=
7.5.
∵AE垂直平分BO，
∴AB=AO=7.5.
即AC的长为15cm，AB的长为7.5cm.
课堂练习
1.如图，一张矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
2．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为( )
A．6
B．8
C.10
D．12
C
C
课堂练习
3.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.若∠BAG=20°,则∠DAE= °.
4、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=10cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，则四边形AEFD的面积为
.
20
24cm2
课堂练习
5.矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．
求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)∵四边形AFCE是平行四边形，
∴CE∥AF，
∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF，
∵AD∥BC，
∴∠EDG＝∠FBH，
在△DEG和△BFH中，
∴△DEG≌△BFH(AAS)，
∴EG＝FH.
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
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19.1.1矩形的性质导学案
课题
矩形的性质
单元
19
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；
2.探索并证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
重点难点
重点：理解矩形的概念及性质
难点：证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题
教学过程
知识链接
1.平行四边形的定义是什么？它有哪些性质？
2．用四根木条做的平行四边形有稳定性吗？
合作探究
一、教材第98页
1.当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其对角线AC、BD的长度有何变化？
矩形定义：有一个角是
的平行四边形是矩形，矩形是特殊的
.
二、教材第99页
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有什么特殊的性质？
【对称性】：矩形既中心对称图形，又是
图形；
【
边
】：矩形的对边平行且相等；
【
角
】：矩形的对角相等，且四个角都是
；
【对角线】：矩形的对角线
且相互平分.
三、教材第99页
例1、如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86
cm，矩形的对角线长是13
cm，那么该矩形的周长是多少？
四、教材第100页
例2、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长．
五、教材第101页
例3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝15
cm.求AC、AB的长．
自主尝试
1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，若AB=6，AD=8，则AC＝_____
，OB=_____.
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两对角线所夹锐角度数为
.
4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
【方法宝典】
根据矩形的性质解题即可.
当堂检测
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是
(
)
A.∠ABC=90°
B.AC=BD
C.OA=OB
D.OA=AD
2.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC的长(
)
A.5
B.4
C.3.5
D.3
3.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长分别为
(
)
A.2和3
B.3和2
C.4和1
D.1和4
4.如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F.已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为(
)
A.31°
B.28°
C.62°
D.56°
5.如图5,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处.若∠EAC=∠ECA,则AC的长是
(
)
A.3
B.6
C.4
D.5
6.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB,CB均落在对角线BD上,折痕为BE,BF,则∠EBF的度数为
.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把△CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的点F处,则CE的长为
.
8.如图,已知O为矩形ABCD对角线的交点,DF平分∠ADC交AC于点E,交BC于点F,∠BDF=15°,则∠COF=
°.
图9.如图9,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连结DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP=
.
10.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=1
cm,求矩形对角线的长和矩形的面积.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.D
2.
B
3.
B
4.D
5.B
6.
45°
7.
8.
75
9.
10.解:∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO.
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AO=AB=1
cm,∴AC=2AO=2
cm,
即AC=BD=2
cm.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1
cm,AC=2
cm,
由勾股定理得BC=
cm,
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=1×=(cm2).
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精品试卷·第
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