(共22张PPT)
华师大版
八下数学
19.1.2矩形的判定
回顾旧知
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形
问题1：什么样的图形是矩形？
有一个角是直角
平行四边形
矩形
情景导入
思考
：工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，你知道这是为什么吗？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
探究新知
1.有一个角是直角的四边形是矩形吗？
2.有两个角是直角的四边形是矩形吗？
3.有三个角是直角的四边形是矩形吗？
如图，作一个三个角都是直角的四边形.
步骤：
1.任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2.过点B作垂直于AB的直线l；
3.过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD
A
D
B
C
m
l
试一试
矩形的判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
归纳
你能证明这个结论吗？
探究新知
A
B
C
D
AC=BD
A
B
C
D
AC=BD
1、对角线相等的四边形是矩形吗？
2、需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗?
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。
如图，作一个对角线相等的平行四边形。
步骤：
1.任意作两条相交的直线，交点记为O；
2.以点O为圆心、适当的长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条
线段OA、OB、OC、OD；
3.顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD.
O
D
A
C
B
证明
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵AB
=
DC,BC
=
CB,AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
,
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
归纳
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
例题解析
例4、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.
求证：四边形EFGH是矩形.
例题解析
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∵AE＝BF＝CG＝DH,
∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵EO＋OG＝FO＋OH，
即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四
边形是矩形).
证明：
例题解析
例5、如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD
的中点.
求证:四边形BMDN是矩形.
证明：
∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°.
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°,
∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形
是矩形).
例题解析
例6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.
求证：四边形ADCE是矩形.
∵
AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝∠CAF＝(∠B＋∠ACB)
＝∠B，
∴AE∥BC.
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∴AC＝DE，AE＝DC.
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形）.?
证明：
课堂练习
1．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所组成的四边形是( )
A．四边形
B．一般平行四边形
C．矩形
D．梯形
2．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是( )
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
C
C
课堂练习
3、如图所示，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中．能说明?ABCD是矩形的有
(填写序号)．
4．四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形是
．
①④
矩形
课堂练习
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC、DE，AC＝AB，DE∥AB，求证：四边形AECD是矩形．
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE，AB＝DE
.∵点E是BC的中点，
∴EC＝BE＝AD，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴DE＝AC，
∴四边形AECD是矩形．
课堂小结
判定定理1
平行四边形的判定
有一个角是直角(定义)
对角线互相平分且相等
平行四边形
矩形
四边
形
判定定理2
(有三个角是直角)
(对角线相等)
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19.1.2矩形的判定导学案
课题
矩形的判定
单元
19
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1.经历矩形判定定理的探索过程，理解矩形的判定定理。
2.能运用矩形的判定定理进行简单的推理证明。
重点难点
重点：理解矩形的判定定理
难点：能运用矩形的判定定理进行简单的推理证明
教学过程
知识链接
1.四边形的内角和为_______.
2.矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.
平行四边形矩形边角对角线
合作探究
一、教材第102页
1.作图：作一个三个角都是直角的四边形。
2.猜想：四边形ABCD是什么形状的四边形？
3.证明上述猜想：（提示：利用矩形的定义）
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形
4.结论：矩形的判定定理1：
。
二、教材103页
1.作图：作一个对角线相等的平行四边形。
2.猜想：四边形ABCD是什么形状的四边形？
3.证明上述猜想：（提示：利用矩形的定义）
已知：
求证：
证明：
4.结论：矩形的判定定理2：
。
三、教材第104页
例4、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
四、教材第105页
例5、如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD
的中点.
求证:四边形BMDN是矩形.
例6、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，
DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
自主尝试
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是
（ ）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
2.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□
ABCD是矩形的是
（ ）
A．AC=BD
B．AC=BC
C．AD=BC
D．AB=AD
3.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、
∠MCA、∠
ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是
（
）
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
【方法宝典】
根据矩形的判定定理解题即可.
当堂检测
1.如图1,要使平行四边形ABCD是矩形,可添加的条件是
(
)
A.OA=OC,OB=OD
B.AC=BD
C.AB=BC
D.AC⊥BD
2.如图所示,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件中,不能判定四边形ABCD是矩形的是
(
)
A.AB=CD,AD=BC,∠BAD=90°
B.OA=OB=OC=OD
C.AB∥CD且AB=CD,AC=BD
D.AB∥CD且AB=CD,OA=OC,OB=OD
3.如图3,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形,则四边形ABCD必须满足的条件是
(
)
A.AD⊥CD
B.AD=CD
C.AC⊥BD
D.AC=BD
4.如图，在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连结EB,EC,DB.请你添加一个条件:
,使四边形DBCE是矩形
5.如图所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架,AB=8
cm,AD=6
cm,现固定AB,转动AD,当∠DAB=
时,?ABCD的面积最大,此时四边形ABCD是
,面积是
.
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6
cm,E是斜边AB上任意一点,则点E到两直角边的距离之和为
cm.
7.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点.求证:四边形EFGH是矩形.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O是斜边AB上的点,∠A=∠ABF,EF∥BC.
求证:四边形BCEF是矩形.
9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,∠B和∠BCD互补,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4
cm,四边形ABCD的周长为32
cm,求AE的长.
10.如图,在平行四边形ABCD中,O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E,连结BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=
°时,四边形BECD是矩形.
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案：
当堂检测：
1.D
2.
D
3.
C
4.
EB=DC(答案不唯一)
5.
90°
矩形
48
cm2
6.
6
7.证明:∵E是OA的中点,G为OC的中点,
∴OE=OA,OG=OC.
∵在矩形ABCD中,OA=OC,∴OE=OG.
同理OF=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵OE=OA,OG=OC,
∴EG=OE+OG=AC.
同理FH=BD.
又在矩形ABCD中,AC=BD,∴EG=FH,
∴四边形EFGH是矩形.
8.证明:∵EF∥BC,∴∠AEO=∠C=90°,
∴∠CEF=90°.
∵∠A=∠ABF,∴BF∥AC,
∴∠CBF=180°-∠C=90°,
∴四边形BCEF是矩形.
9.解:∵AD∥BC,∠D=90°,
∴∠BCD=90°.
∵∠B和∠BCD互补,
∴∠B=90°,
∴四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.
∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°.
而∠DCE+∠DEC=90°,
∴∠AEF=∠DCE.
又∵∠A=∠D=90°,EF=CE,
∴△AEF≌△DCE,
∴AE=CD.
∵四边形ABCD的周长为32
cm,AD=AE+DE,
∴2(AE+AE+4)=32,解得AE=6(cm).
10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥DC,
∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO.
∵O是边BC的中点,∴BO=CO,
∴△EBO≌△DCO,∴EO=DO.
又∵BO=CO,
∴四边形BECD是平行四边形.
(2)100
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精品试卷·第
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