2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 选修1-2第二章推理与证明（A）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 选修1-2第二章推理与证明（A）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 11:35:03 | ||
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文档简介
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
选修1-2第二章推理与证明 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①，这与三角形内角和为180°相矛盾，不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设．
正确顺序的序号为（ ）
A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①
3．已知的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知：若三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．观察下列式子：，，，…，则可归纳出小于（ ）
A． B． C． D．
5．已知为等比数列，，则．若为等差数列，，则的类似结论为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，均为正数，且，以下有两个命题：
命题一：，，，中至少有一个数小于3；
命题二：若，则，，，中至少有一个数不大于1．
关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）
A．命题一错误?命题二错误 B．命题一错误?命题二正确
C．命题一正确?命题二错误 D．命题一正确?命题二正确
7．欲证成立，只需证（ ）
A． B．
C． D．
8．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲?乙?丙?丁?戊?己?庚?辛?壬?癸被称为“十天干”，子?丑?寅?卯?辰?巳?午?未?申?酉?戌?亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子?乙丑?丙寅?…?癸酉?甲戌?己亥?丙子?…?癸未?甲申?乙酉?丙戌?…?癸巳?…，共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）
A．庚子年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
9．一次竞赛考试，老师让学生甲?乙?丙?丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．将正整数排成下图所示的数阵，其中第行有个数，如果2 021是表中第行的第个数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为
，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为（ ）
A．201 B．411 C．465 D．565
12．科克曲线（Kochcurve）（如图）是一种典型的分形曲线．它是科克（Koch，H．von）于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形．取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的变得比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“___________”．
14．如果，则应满足的条件是__________．
15．我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将题中“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关需收税金为_________．
16．分形儿何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（BenoitBMandelbrot）在世纪年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则第行的空心圆点的个数是_______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．
18．（12分）用综合法或分析法证明：
（1）已知三角形中，边的中点为D，求证：向量．
（2）已知，且，求证：．
19．（12分）已知，证明：．
20．（12分）（1）已知，，求证：；
（2）已知，，，求证：，，．
21．（12分）观察下列各等式：
；
；
．
（1）尝试再写出一个相同规律的式子；
（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；
（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．
22．（12分）（1）用分析法证明：若，则．
（2）用反证法证明：若，则函数无零点．
推理与证明（A）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确；
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推法，故③④正确；
由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故反证法是间接证法，故⑤正确，
由定义可知①②③④⑤都正确，故选D．
2．【答案】B
【解析】反证法的步骤为：假设结论不成立，推导出矛盾，得到结论，据此知顺序为③①②．
故选B．
3．【答案】C
【解析】的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，
由等面积法可得，．
类比这个结论：
三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，
由等体积法可得，，故选C．
4．【答案】C
【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，
即，
，故选C．
5．【答案】D
【解析】已知为等比数列，，则．
将乘法类比为加法，将等比中项类比为等差中项．
对应地，在等差数列中，，则．
故选D．
6．【答案】D
【解析】，，，均为正数，
假设，，，都大于，则，
与已知矛盾，即命题一正确；
假设，，，均大于，
设 ，
即
，
则
，
又，，
则与已知矛盾，即命题二正确，
故选D．
7．【答案】C
【解析】要证，
因为不等式两边为负数，故变形为证明：，
此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证：即可，
故选C．
8．【答案】B
【解析】天干的周期为10，地支的周期为12，
因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，
从2014年到2021年，经过了7年，
所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，
故选B．
9．【答案】C
【解析】显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误，故选C．
10．【答案】A
【解析】，，
因此2021在第11行，即，
又，即，所以，故选A．
11．【答案】C
【解析】200的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为，
所以200的所有正约数之和为，
所以200的所有正约数之和为465，故选C．
12．【答案】B
【解析】由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，
后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，
故面积之差为，故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】或
【解析】结论：且的否定是或．
故答案为或．
14．【答案】，且
【解析】由，得，
所以应满足的条件是，且．
故答案为，且．
15．【答案】
【解析】第关收税金，第关收税金，
第关收税金，…，第关收税金，
故答案为．
16．【答案】
【解析】由图知：从第三行起，每一行的空心圆点数是前两项空心圆点数之和，
第行中空心圆点数为，
则，，
当时，，
所以各行中空心圆点数分别为，，，，，，，，，，，，
所以第行的空心圆点的个数是，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】证明见解析．
【解析】证明：假设与都大于或等于2，即，
因为，，故可化为，两式相加，得，
与已知矛盾，
所以假设不成立，即原命题成立．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1），，
，
，
．
（2）要证，只要证，
即证，即，
又因为，即证，
即证，即证，
又因为，，即证，
又因为，即证，即证，
又由已知，，故原不等式成立．
19．【答案】证明见解析．
【解析】证明：要证，
只需证．
因为，，所以，
所以只需证，
即，
只需证．
因为，显然成立，当时等号成立，
所以要证的不等式成立．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）证明：，要证，
只要证，只要证，
即证，
而恒成立，故成立．
（2）假设不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设，
下面分和两种情况讨论，
如果，则与矛盾，不可能；
如果，那么由，可得，
又，，于是，这和已知相矛盾，
因此，也不可能，
综上所述，，同理可证，，所以原命题成立．
21．【答案】（1）；（2）若，则；（3）证明见解析．
【解析】（1）例如：．
（2）若，则．
（3）证明：，
又因为，
，
化简即可得．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）因为，所以要证，
只需证，即证，
所以只需证．
因为，所以，
故得证．
令，则等价于，
又因为已证明，所以，
故．
（2）假设函数有零点，
则方程在上有解，即在上有解．
设，，
当时，；当时，，
所以，所以，但这与条件矛盾，
故假设不成立，即原命题得证．
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
选修1-2第二章推理与证明 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①，这与三角形内角和为180°相矛盾，不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设．
正确顺序的序号为（ ）
A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①
3．已知的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，则，类比这一结论可知：若三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．观察下列式子：，，，…，则可归纳出小于（ ）
A． B． C． D．
5．已知为等比数列，，则．若为等差数列，，则的类似结论为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，均为正数，且，以下有两个命题：
命题一：，，，中至少有一个数小于3；
命题二：若，则，，，中至少有一个数不大于1．
关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）
A．命题一错误?命题二错误 B．命题一错误?命题二正确
C．命题一正确?命题二错误 D．命题一正确?命题二正确
7．欲证成立，只需证（ ）
A． B．
C． D．
8．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲?乙?丙?丁?戊?己?庚?辛?壬?癸被称为“十天干”，子?丑?寅?卯?辰?巳?午?未?申?酉?戌?亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子?乙丑?丙寅?…?癸酉?甲戌?己亥?丙子?…?癸未?甲申?乙酉?丙戌?…?癸巳?…，共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）
A．庚子年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
9．一次竞赛考试，老师让学生甲?乙?丙?丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．将正整数排成下图所示的数阵，其中第行有个数，如果2 021是表中第行的第个数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为
，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为（ ）
A．201 B．411 C．465 D．565
12．科克曲线（Kochcurve）（如图）是一种典型的分形曲线．它是科克（Koch，H．von）于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形．取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的变得比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设x，，用反证法证明命题“如果，那么且”时，应先假设“___________”．
14．如果，则应满足的条件是__________．
15．我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将题中“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关需收税金为_________．
16．分形儿何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（BenoitBMandelbrot）在世纪年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则第行的空心圆点的个数是_______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．
18．（12分）用综合法或分析法证明：
（1）已知三角形中，边的中点为D，求证：向量．
（2）已知，且，求证：．
19．（12分）已知，证明：．
20．（12分）（1）已知，，求证：；
（2）已知，，，求证：，，．
21．（12分）观察下列各等式：
；
；
．
（1）尝试再写出一个相同规律的式子；
（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；
（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．
22．（12分）（1）用分析法证明：若，则．
（2）用反证法证明：若，则函数无零点．
推理与证明（A）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确；
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推法，故③④正确；
由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故反证法是间接证法，故⑤正确，
由定义可知①②③④⑤都正确，故选D．
2．【答案】B
【解析】反证法的步骤为：假设结论不成立，推导出矛盾，得到结论，据此知顺序为③①②．
故选B．
3．【答案】C
【解析】的边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，
由等面积法可得，．
类比这个结论：
三棱锥的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，三棱锥的体积为，
由等体积法可得，，故选C．
4．【答案】C
【解析】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，
即，
，故选C．
5．【答案】D
【解析】已知为等比数列，，则．
将乘法类比为加法，将等比中项类比为等差中项．
对应地，在等差数列中，，则．
故选D．
6．【答案】D
【解析】，，，均为正数，
假设，，，都大于，则，
与已知矛盾，即命题一正确；
假设，，，均大于，
设 ，
即
，
则
，
又，，
则与已知矛盾，即命题二正确，
故选D．
7．【答案】C
【解析】要证，
因为不等式两边为负数，故变形为证明：，
此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证：即可，
故选C．
8．【答案】B
【解析】天干的周期为10，地支的周期为12，
因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，
从2014年到2021年，经过了7年，
所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，
故选B．
9．【答案】C
【解析】显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误，故选C．
10．【答案】A
【解析】，，
因此2021在第11行，即，
又，即，所以，故选A．
11．【答案】C
【解析】200的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为，
所以200的所有正约数之和为，
所以200的所有正约数之和为465，故选C．
12．【答案】B
【解析】由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，
后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，
故面积之差为，故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】或
【解析】结论：且的否定是或．
故答案为或．
14．【答案】，且
【解析】由，得，
所以应满足的条件是，且．
故答案为，且．
15．【答案】
【解析】第关收税金，第关收税金，
第关收税金，…，第关收税金，
故答案为．
16．【答案】
【解析】由图知：从第三行起，每一行的空心圆点数是前两项空心圆点数之和，
第行中空心圆点数为，
则，，
当时，，
所以各行中空心圆点数分别为，，，，，，，，，，，，
所以第行的空心圆点的个数是，故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】证明见解析．
【解析】证明：假设与都大于或等于2，即，
因为，，故可化为，两式相加，得，
与已知矛盾，
所以假设不成立，即原命题成立．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1），，
，
，
．
（2）要证，只要证，
即证，即，
又因为，即证，
即证，即证，
又因为，，即证，
又因为，即证，即证，
又由已知，，故原不等式成立．
19．【答案】证明见解析．
【解析】证明：要证，
只需证．
因为，，所以，
所以只需证，
即，
只需证．
因为，显然成立，当时等号成立，
所以要证的不等式成立．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）证明：，要证，
只要证，只要证，
即证，
而恒成立，故成立．
（2）假设不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设，
下面分和两种情况讨论，
如果，则与矛盾，不可能；
如果，那么由，可得，
又，，于是，这和已知相矛盾，
因此，也不可能，
综上所述，，同理可证，，所以原命题成立．
21．【答案】（1）；（2）若，则；（3）证明见解析．
【解析】（1）例如：．
（2）若，则．
（3）证明：，
又因为，
，
化简即可得．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）因为，所以要证，
只需证，即证，
所以只需证．
因为，所以，
故得证．
令，则等价于，
又因为已证明，所以，
故．
（2）假设函数有零点，
则方程在上有解，即在上有解．
设，，
当时，；当时，，
所以，所以，但这与条件矛盾，
故假设不成立，即原命题得证．