2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 选修2-2第二章推理与证明 （B）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 选修2-2第二章推理与证明 （B）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 11:48:01 | ||
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文档简介
-1123950339725此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
选修2-2第二章推理与证明 （B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）
A．①综合法，②反证法 B．①分析法，②反证法
C．①综合法，②分析法 D．①分析法，②综合法
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至少有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
3．下面几种推理中是演绎推理的是（ ）
A．因为是指数函数，所以函数的图象经过定点
B．猜想数列，，，的通项公式为
C．由圆的面积为猜想出椭圆的面积为
D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
4．下面几种推理是合情推理的是（ ）
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是．
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
5．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．三角形的面积为，其中为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A．
B．
C．，（为四面体的高）
D．，（分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）
7．观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，，则三个数（ ）
A．都小于4 B．至少有一个不大于4
C．都大于4 D．至少有一个不小于4
9．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A． B．
C． D．
10．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加的代数式是
11．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设，且，求证”索的因应是（ ）
A． B．
C． D．
12．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，，…．记作数列，若数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在数列中，已知，．若，则______，______，______，进而猜想______．
14．某个命题与自然数n有关若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立，若时该命题不成立，则可推得当_____时，该命题不成立．
15．①用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，不等式的左边增加了项；
②一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数，如果，那为函数的极值点，因为满足，所以是函数的极值点，此三段论的结论错误是因为大前提错误；
③在直角中，若，，，则外接圆半径为．运用此类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为．
以上三个命题不正确的是________．
16．用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么
__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设、，．
（1）用分析法证明：；
（2）探索猜想，并将结果填写在括号内：（ ），（ ）；
（3）由（1）、（2）归纳出更一般的结论（不必证明）．
18．（12分）设有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．
（1）问10是该数列的第几项到第几项？
（2）求第100项；
（3）求前100项的和．
19．（12分）已知，，．
（1）求的取值范围；
（2）用反证法证明：，中至少有一个大于等于0．
20．（12分）当时，试用数学归纳法证明一定是整数．
21．（12分）编辑一个运算程序：，，．
（1）设，求；
（2）由（1）猜想的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．
22．（12分）如图所示，在中，，其中，，分别为角，，的对边，在四面体中，，，，分别表示，，，的面积，，，依次表示面，面，面与底面所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论．
推理与证明（B）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；
由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，
故选C．
2．【答案】B
【解析】题设条件为至少有一个角不大于，
所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于，即三角形的内角均大于，
故选B．
3．【答案】A
【解析】选项B为归纳推理，选项C和选项D为类比推理，选项A为演绎推理．
故选A．
4．【答案】C
【解析】①是类比推理；②④是归纳推理；∴①②④都是合情推理，
故答案为C．
5．【答案】C
【解析】，，，，，
由上述式子可以归纳：
左边每一个式子均有项，且第一项为，则最后一项为，右边均为的平方，故选C．
6．【答案】D
【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴，
故选D．
7．【答案】C
【解析】观察前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样，
则第三行或第三列也应具备这个特性，
即可知空格内应填“”，故选C．
8．【答案】D
【解析】假设三个数且且，
相加得，
由基本不等式得；；；
相加得，与假设矛盾；
所以假设不成立，
三个数、、至少有一个不小于4，
故选D．
9．【答案】B
【解析】依题意，记，
则，
又，
两式相加可得
，
则，
故选B．
10．【答案】D
【解析】第一步应该验证当时不等式成立，所以A不正确；
因为，
所以从“到”左边需要增加的代数式是，
所以B不正确；
所以从“到”左边需要增加项，所以C不正确；
故选D．
11．【答案】C
【解析】由，且，得，，．
要证，只要证，
即证，即证，
即证，即证，
故求证“”索的因应是，故选C．
12．【答案】C
【解析】将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．
分组为（1），，，，，，
则第组个数且第组个数之和为，
设在第组中，则，解得，
即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，
则，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】3，4，5，
【解析】由题意可得，，
，
据此可猜想．
故答案为3，4，5，n．
14．【答案】4
【解析】如果当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，其逆否命题为：当时该命题不成立，则当时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，可推时该命题也不成立，故答案为4．
15．【答案】①③
【解析】对于①，当n＝k时，不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式左边为，
可得增加了项，故①错误；
对于②，如果，则不一定函数的极值点，若在处附近导数同号，就不是极值点，故②正确；
对于③，可将三棱锥补为以互相垂直的三条侧棱为边的长方体，可得长方体的对角线为外接球的直径，
可得该三棱锥外接球的半径为，故③错误，
故答案为①③．
16．【答案】
【解析】由题意得，，
所以
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）．
【解析】（1），
，，
知，成立，
．
（2）猜想当时，不等式的括号内分别填和．
（3）由此得到更一般性的结论：．
18．【答案】（1）该数列的第46项到第55项；（2）14；（3）945．
【解析】将已知数列分组：第一组一个“1”；第二组两个“2”；第三组三个“3”；
第四组四个“4”；…．
（1）易知“10”皆出现在第十组，由于前九组中共有 (项)，
因此10是该数列的第46项到第55项．
（2）由于，即使成立的最大自然数为13，
又，因此第100项为14．
（3）由（2）知，前100项的和为．
19．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）．
（2）证明：假设中没有一个不小于0，即，所以．
又，这与假设所得结论矛盾，
故假设不成立，
所以，a，b中至少有一个大于等于0．
20．【答案】证明见解析．
【解析】当时，是整数，
假设当时，是整数，
则当时，
，显然也是整数，
所以当时，一定是整数．
21．【答案】（1），，；（2）；（3）见解析．
【解析】（1），令，则，
由，，得，
再令，则，得，
再令，则，得，
，，．
（2）由（1）猜想：，
（3）证明：①当时，，另一方面，，
所以当时等式成立．
②假设当时，等式成立，即，此时，
那么，当时，，
所以当时等式也成立．
由①②知，等式对都成立．
22．【答案】在四面体中的结论为，证明见解析．
【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为．
证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，
连接，，，
就是平面与底面所成的二面角，则，
，，，
∴，同理，，
又，
∴．
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2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
选修2-2第二章推理与证明 （B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ）
A．①综合法，②反证法 B．①分析法，②反证法
C．①综合法，②分析法 D．①分析法，②综合法
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至少有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
3．下面几种推理中是演绎推理的是（ ）
A．因为是指数函数，所以函数的图象经过定点
B．猜想数列，，，的通项公式为
C．由圆的面积为猜想出椭圆的面积为
D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
4．下面几种推理是合情推理的是（ ）
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是．
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
5．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．三角形的面积为，其中为三角形的边长，为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）
A．
B．
C．，（为四面体的高）
D．，（分别为四面体的四个面的面积，为四面体内切球的半径）
7．观察如图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，，则三个数（ ）
A．都小于4 B．至少有一个不大于4
C．都大于4 D．至少有一个不小于4
9．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（ ）
A． B．
C． D．
10．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（ ）
A．第一步应该验证当时不等式成立
B．从“到”左边需要增加的代数式是
C．从“到”左边需要增加项
D．从“到”左边需要增加的代数式是
11．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设，且，求证”索的因应是（ ）
A． B．
C． D．
12．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，，…．记作数列，若数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在数列中，已知，．若，则______，______，______，进而猜想______．
14．某个命题与自然数n有关若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立，若时该命题不成立，则可推得当_____时，该命题不成立．
15．①用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，不等式的左边增加了项；
②一段演绎推理的“三段论”是这样的：对于可导函数，如果，那为函数的极值点，因为满足，所以是函数的极值点，此三段论的结论错误是因为大前提错误；
③在直角中，若，，，则外接圆半径为．运用此类比推理，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为a，b，c，则该三棱锥外接球的半径为．
以上三个命题不正确的是________．
16．用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么
__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设、，．
（1）用分析法证明：；
（2）探索猜想，并将结果填写在括号内：（ ），（ ）；
（3）由（1）、（2）归纳出更一般的结论（不必证明）．
18．（12分）设有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．
（1）问10是该数列的第几项到第几项？
（2）求第100项；
（3）求前100项的和．
19．（12分）已知，，．
（1）求的取值范围；
（2）用反证法证明：，中至少有一个大于等于0．
20．（12分）当时，试用数学归纳法证明一定是整数．
21．（12分）编辑一个运算程序：，，．
（1）设，求；
（2）由（1）猜想的通项公式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想．
22．（12分）如图所示，在中，，其中，，分别为角，，的对边，在四面体中，，，，分别表示，，，的面积，，，依次表示面，面，面与底面所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论．
推理与证明（B）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；
由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，
故选C．
2．【答案】B
【解析】题设条件为至少有一个角不大于，
所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于，即三角形的内角均大于，
故选B．
3．【答案】A
【解析】选项B为归纳推理，选项C和选项D为类比推理，选项A为演绎推理．
故选A．
4．【答案】C
【解析】①是类比推理；②④是归纳推理；∴①②④都是合情推理，
故答案为C．
5．【答案】C
【解析】，，，，，
由上述式子可以归纳：
左边每一个式子均有项，且第一项为，则最后一项为，右边均为的平方，故选C．
6．【答案】D
【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，将O与四顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，
∴，
故选D．
7．【答案】C
【解析】观察前两行与前两列都是两个黑的和一个空心的图形，且图形各不一样，
则第三行或第三列也应具备这个特性，
即可知空格内应填“”，故选C．
8．【答案】D
【解析】假设三个数且且，
相加得，
由基本不等式得；；；
相加得，与假设矛盾；
所以假设不成立，
三个数、、至少有一个不小于4，
故选D．
9．【答案】B
【解析】依题意，记，
则，
又，
两式相加可得
，
则，
故选B．
10．【答案】D
【解析】第一步应该验证当时不等式成立，所以A不正确；
因为，
所以从“到”左边需要增加的代数式是，
所以B不正确；
所以从“到”左边需要增加项，所以C不正确；
故选D．
11．【答案】C
【解析】由，且，得，，．
要证，只要证，
即证，即证，
即证，即证，
故求证“”索的因应是，故选C．
12．【答案】C
【解析】将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．
分组为（1），，，，，，
则第组个数且第组个数之和为，
设在第组中，则，解得，
即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，
则，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】3，4，5，
【解析】由题意可得，，
，
据此可猜想．
故答案为3，4，5，n．
14．【答案】4
【解析】如果当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，其逆否命题为：当时该命题不成立，则当时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，可推时该命题也不成立，故答案为4．
15．【答案】①③
【解析】对于①，当n＝k时，不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式左边为，
可得增加了项，故①错误；
对于②，如果，则不一定函数的极值点，若在处附近导数同号，就不是极值点，故②正确；
对于③，可将三棱锥补为以互相垂直的三条侧棱为边的长方体，可得长方体的对角线为外接球的直径，
可得该三棱锥外接球的半径为，故③错误，
故答案为①③．
16．【答案】
【解析】由题意得，，
所以
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）．
【解析】（1），
，，
知，成立，
．
（2）猜想当时，不等式的括号内分别填和．
（3）由此得到更一般性的结论：．
18．【答案】（1）该数列的第46项到第55项；（2）14；（3）945．
【解析】将已知数列分组：第一组一个“1”；第二组两个“2”；第三组三个“3”；
第四组四个“4”；…．
（1）易知“10”皆出现在第十组，由于前九组中共有 (项)，
因此10是该数列的第46项到第55项．
（2）由于，即使成立的最大自然数为13，
又，因此第100项为14．
（3）由（2）知，前100项的和为．
19．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）．
（2）证明：假设中没有一个不小于0，即，所以．
又，这与假设所得结论矛盾，
故假设不成立，
所以，a，b中至少有一个大于等于0．
20．【答案】证明见解析．
【解析】当时，是整数，
假设当时，是整数，
则当时，
，显然也是整数，
所以当时，一定是整数．
21．【答案】（1），，；（2）；（3）见解析．
【解析】（1），令，则，
由，，得，
再令，则，得，
再令，则，得，
，，．
（2）由（1）猜想：，
（3）证明：①当时，，另一方面，，
所以当时等式成立．
②假设当时，等式成立，即，此时，
那么，当时，，
所以当时等式也成立．
由①②知，等式对都成立．
22．【答案】在四面体中的结论为，证明见解析．
【解析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为．
证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，
连接，，，
就是平面与底面所成的二面角，则，
，，，
∴，同理，，
又，
∴．