2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 选修2-2第一章导数及其运用（A）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷 选修2-2第一章导数及其运用（A）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 11:48:15 | ||
图片预览
文档简介
-1123950339725此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
选修2-2第一章导数及其运用 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
4．已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
5．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数恰好有三个不同的单调区间，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．给出下列四个命题：
①直线在点处“切过”曲线；
②直线在点处“切过”曲线；
③直线在点处“切过”曲线；
④直线在点处“切过”曲线．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数()，则下列结论错误的是（ ）
A．函数一定存在极大值和极小值
B．若函数在、上是增函数，则
C．函数的图象是中心对称图形
D．函数的图象在点()处的切线与的图象必有两个不同的公共点
9．定义在R上的偶函数的导函数为，若，都有
，则使成立的实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，若，，
则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______．
14．已知曲线与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为___________．
15．已知函数，对任意的，，当时，，则实数a的取值范围是________．
16．已知，，若对，，使得，则实数a的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）一边长为1米的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积表示为的函数；
（2）多大时，方盒的容积最大？
18．（12分）已知函数．
（1）求曲线的斜率等于的切线方程；
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
19．（12分）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值．
20．（12分）设函数，．
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）求函数的极值点．
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围．
22．（12分）已知函数有两个零点，且，
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
导数及其运用答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由，可知A、B均错；
由，可知D正确，
故选D．
2．【答案】C
【解析】，
所以该质点在末的瞬时速度为，故选C．
3．【答案】B
【解析】由导数的几何意义可知，，分别是切线在点A、B处切线的斜率，
由图象可知，故选B．
4．【答案】D
【解析】根据函数的图象可知：
当时，，即，因此当时，函数单调递增；
当时，，即，因此当时，函数单调递减，
显然当，函数有极小值，极小值为；
当时，，即，因此当时，函数单调递减；
当时，，即，因此当时，函数单调递增，
显然当，函数有极大值，极大值为，
由上可以判断D是正确的，故选D．
5．【答案】A
【解析】令，
当时，；当时，，
所以函数得极大值为，因为在定义域内只有一个极值，所以，
故选A．
6．【答案】D
【解析】由题意得，
函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是，故选D．
7．【答案】B
【解析】的导数为，可得切线方程为，即x轴，
而时，；时，，
∴直线在点处“切过”曲线，①正确；
由的导数为，可得切线方程为，
且的导数为，
当时，函数y递减；时，函数y递增，
可得处的最大值为0，则，
②直线在点处“切过”曲线，故②不正确；
的导数为，
可得在点处切线方程为，
由和直线可得切线穿过曲线，
直线在点处“切过”曲线，故③正确；
的导数为，可得在点处切线为，
令，则，
时，；时，，
即在上递减，在上递增，
∴时，，即，
直线在点处“切过”曲线，故④不正确，
故选B．
8．【答案】D
【解析】A选项，的恒成立，
故必有两个不等实根，不妨设为、，且，
令，得或；令，得，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，
A选项正确；
B选项，令，则，，易知，
∴，B选项正确；
C选项，易知两极值点的中点坐标为，
又，∴，
∴函数的图象关于点成中心对称，C选项正确；
D选项，令，得，在处切线方程为，
且有唯一实数解，即在处切线与图象有唯一公共点，D选项错误，
故选D．
9．【答案】D
【解析】当时，由可知：
两边同乘以得：，
设，则恒成立，
在单调递减，
由，，
即，即，
当时，函数是偶函数，同理得，
综上可知：实数的取值范围为，故选D．
10．【答案】D
【解析】由题可知，函数的定义域为．
∵，
∴，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的值域为．
要使的值域也为，则只要，
则，即，故选D．
11．【答案】C
【解析】，①，
，②，
由①②得，
在单调递增，，则，
，
令，则，
令，解得；令，解得，
故在单调递减，在单调递增，
，故选C．
12．【答案】A
【解析】根据函数的解析式可知，函数的图象如下：
要使方程有4个零点，则的图象与直线有4个不同的交点，
所以只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可．
由，得，设切点坐标为，则切线方程为，
又切线过，所以，解得，
故此时切线的斜率为，故，结合选项知，选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为
，
所以，
则曲线在点处的切线斜率为，即，
又，所以所求切线的倾斜角为，
故答案为．
14．【答案】或
【解析】，令，解得或．
当x发生变化时，，的变化情况如下表：
x
3
-
0
+
0
-
极小值
极大值
所以当时，有极小值，且极小值为；
当时，有极大值，且极大值为．
画出大致图象，要使的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图1）或极小值大于0（如图2），
所以或，解得或，
故实数a的取值范围为或．
故答案为或．
15．【答案】
【解析】由题意，分式的几何意义为：
表示点与连线的斜率，
因为实数在区间内，故和在区间内，
不等式恒成立，
所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
由函数满足，即定义域为，
即在内恒成立，即在内恒成立，
设函数，根据二次函数的性质，
可得函数在上是单调增函数，
可得，所以，
即实数的取值范围是．
16．【答案】
【解析】因为在为增函数，且，，
所以，．
因为，所以，，为增函数．
，，故，．
因为对，，使得，
所以，解得，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可得方盒的底面边长为，高为，
无盖方盒的容积．
（2）因为，所以，
令，得（舍）或，
当时，；当时，，
因此是函数V的极大值点，也是最大值点，
故当时，方盒的容积最大．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为，即．
（2）显然，
因为在点处的切线方程为，
令，得；令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得；由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为．
19．【答案】（1）函数的增区间是，单调减区间是，；（2）．
【解析】（1）由已知得函数的定义域为，
函数，
当时，，所以函数的增区间是；
当且时，，所以函数的单调减区间是，．
（2）因在上为减函数，且，
故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以，于是，故a的最小值为．
20．【答案】（1）1；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，所以在上是增函数，
当时，取得最小值，
所以在上的最小值为1．
（2），则，
令，
①当时，在上恒成立，此时，
所以在上单调递增，
此时，函数没有极值点；
②当时，当，即时，在上恒成立，
此时，所以在上单调递增，
此时，函数没有极值点；
当，即时，令，则，
当时，，即；
当或时，，即，
所以当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点，
综上，当时，函数没有极值点；
当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点．
21．【答案】（1）；（2）最大值，最小值是；（3）．
【解析】（1）时，，，
，，
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）时，，，
由，得．
当时，；当时，，
在上单调递增；在上单调递减．
又，又，
函数在区间上的最大值是；最小值是．
（3），
当时，的值域是，
的定义域为，．
①当时，，在定义域为上单调递增，且值域是，
所以，对任意的，均存在，使得，
②当时，由，得，
当时，；当时，，
当时，取得最大值，
所以“对任意的，均存在，使得”等价于，即，解得，
综合①，②得的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）令，，
令，，
当与相切时，如图所示：
设切点为，则，，，
即切点坐标是，把代，解得，
若有两个零点，即，有个交点，
只需即可，即，
的范围是．
（2）由题意知：，，
即，，
①
，即②
要证成立，即证成立，
即证，
由①知：即证，即证，
又由②知：即证，即证，
即证，
令，则，即证，
设，，，
在上单调递减，
，
即成立，故得证．
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020-2021学年度高中数学单元双基精品试卷
选修2-2第一章导数及其运用 （A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的图象如图所示，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
4．已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
5．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数恰好有三个不同的单调区间，
则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点处与曲线C相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．给出下列四个命题：
①直线在点处“切过”曲线；
②直线在点处“切过”曲线；
③直线在点处“切过”曲线；
④直线在点处“切过”曲线．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数()，则下列结论错误的是（ ）
A．函数一定存在极大值和极小值
B．若函数在、上是增函数，则
C．函数的图象是中心对称图形
D．函数的图象在点()处的切线与的图象必有两个不同的公共点
9．定义在R上的偶函数的导函数为，若，都有
，则使成立的实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，若，，
则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______．
14．已知曲线与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为___________．
15．已知函数，对任意的，，当时，，则实数a的取值范围是________．
16．已知，，若对，，使得，则实数a的取值范围为_________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）一边长为1米的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积表示为的函数；
（2）多大时，方盒的容积最大？
18．（12分）已知函数．
（1）求曲线的斜率等于的切线方程；
（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
19．（12分）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值．
20．（12分）设函数，．
（1）若，求函数在上的最小值；
（2）求函数的极值点．
21．（12分）已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围．
22．（12分）已知函数有两个零点，且，
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
导数及其运用答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】由，可知A、B均错；
由，可知D正确，
故选D．
2．【答案】C
【解析】，
所以该质点在末的瞬时速度为，故选C．
3．【答案】B
【解析】由导数的几何意义可知，，分别是切线在点A、B处切线的斜率，
由图象可知，故选B．
4．【答案】D
【解析】根据函数的图象可知：
当时，，即，因此当时，函数单调递增；
当时，，即，因此当时，函数单调递减，
显然当，函数有极小值，极小值为；
当时，，即，因此当时，函数单调递减；
当时，，即，因此当时，函数单调递增，
显然当，函数有极大值，极大值为，
由上可以判断D是正确的，故选D．
5．【答案】A
【解析】令，
当时，；当时，，
所以函数得极大值为，因为在定义域内只有一个极值，所以，
故选A．
6．【答案】D
【解析】由题意得，
函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是，故选D．
7．【答案】B
【解析】的导数为，可得切线方程为，即x轴，
而时，；时，，
∴直线在点处“切过”曲线，①正确；
由的导数为，可得切线方程为，
且的导数为，
当时，函数y递减；时，函数y递增，
可得处的最大值为0，则，
②直线在点处“切过”曲线，故②不正确；
的导数为，
可得在点处切线方程为，
由和直线可得切线穿过曲线，
直线在点处“切过”曲线，故③正确；
的导数为，可得在点处切线为，
令，则，
时，；时，，
即在上递减，在上递增，
∴时，，即，
直线在点处“切过”曲线，故④不正确，
故选B．
8．【答案】D
【解析】A选项，的恒成立，
故必有两个不等实根，不妨设为、，且，
令，得或；令，得，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，
A选项正确；
B选项，令，则，，易知，
∴，B选项正确；
C选项，易知两极值点的中点坐标为，
又，∴，
∴函数的图象关于点成中心对称，C选项正确；
D选项，令，得，在处切线方程为，
且有唯一实数解，即在处切线与图象有唯一公共点，D选项错误，
故选D．
9．【答案】D
【解析】当时，由可知：
两边同乘以得：，
设，则恒成立，
在单调递减，
由，，
即，即，
当时，函数是偶函数，同理得，
综上可知：实数的取值范围为，故选D．
10．【答案】D
【解析】由题可知，函数的定义域为．
∵，
∴，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的值域为．
要使的值域也为，则只要，
则，即，故选D．
11．【答案】C
【解析】，①，
，②，
由①②得，
在单调递增，，则，
，
令，则，
令，解得；令，解得，
故在单调递减，在单调递增，
，故选C．
12．【答案】A
【解析】根据函数的解析式可知，函数的图象如下：
要使方程有4个零点，则的图象与直线有4个不同的交点，
所以只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可．
由，得，设切点坐标为，则切线方程为，
又切线过，所以，解得，
故此时切线的斜率为，故，结合选项知，选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】因为
，
所以，
则曲线在点处的切线斜率为，即，
又，所以所求切线的倾斜角为，
故答案为．
14．【答案】或
【解析】，令，解得或．
当x发生变化时，，的变化情况如下表：
x
3
-
0
+
0
-
极小值
极大值
所以当时，有极小值，且极小值为；
当时，有极大值，且极大值为．
画出大致图象，要使的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图1）或极小值大于0（如图2），
所以或，解得或，
故实数a的取值范围为或．
故答案为或．
15．【答案】
【解析】由题意，分式的几何意义为：
表示点与连线的斜率，
因为实数在区间内，故和在区间内，
不等式恒成立，
所以函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，
由函数满足，即定义域为，
即在内恒成立，即在内恒成立，
设函数，根据二次函数的性质，
可得函数在上是单调增函数，
可得，所以，
即实数的取值范围是．
16．【答案】
【解析】因为在为增函数，且，，
所以，．
因为，所以，，为增函数．
，，故，．
因为对，，使得，
所以，解得，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可得方盒的底面边长为，高为，
无盖方盒的容积．
（2）因为，所以，
令，得（舍）或，
当时，；当时，，
因此是函数V的极大值点，也是最大值点，
故当时，方盒的容积最大．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为，即．
（2）显然，
因为在点处的切线方程为，
令，得；令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得；由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为．
19．【答案】（1）函数的增区间是，单调减区间是，；（2）．
【解析】（1）由已知得函数的定义域为，
函数，
当时，，所以函数的增区间是；
当且时，，所以函数的单调减区间是，．
（2）因在上为减函数，且，
故在上恒成立．
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以，于是，故a的最小值为．
20．【答案】（1）1；（2）见解析．
【解析】（1）当时，，则，
当时，，所以在上是增函数，
当时，取得最小值，
所以在上的最小值为1．
（2），则，
令，
①当时，在上恒成立，此时，
所以在上单调递增，
此时，函数没有极值点；
②当时，当，即时，在上恒成立，
此时，所以在上单调递增，
此时，函数没有极值点；
当，即时，令，则，
当时，，即；
当或时，，即，
所以当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点，
综上，当时，函数没有极值点；
当时，是函数的极大值点；是函数的极小值点．
21．【答案】（1）；（2）最大值，最小值是；（3）．
【解析】（1）时，，，
，，
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）时，，，
由，得．
当时，；当时，，
在上单调递增；在上单调递减．
又，又，
函数在区间上的最大值是；最小值是．
（3），
当时，的值域是，
的定义域为，．
①当时，，在定义域为上单调递增，且值域是，
所以，对任意的，均存在，使得，
②当时，由，得，
当时，；当时，，
当时，取得最大值，
所以“对任意的，均存在，使得”等价于，即，解得，
综合①，②得的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）令，，
令，，
当与相切时，如图所示：
设切点为，则，，，
即切点坐标是，把代，解得，
若有两个零点，即，有个交点，
只需即可，即，
的范围是．
（2）由题意知：，，
即，，
①
，即②
要证成立，即证成立，
即证，
由①知：即证，即证，
又由②知：即证，即证，
即证，
令，则，即证，
设，，，
在上单调递减，
，
即成立，故得证．