2021学年度高中数学必修3第三章概率双基精品试卷 概率（B）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2021学年度高中数学必修3第三章概率双基精品试卷 概率（B）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 11:54:11 | ||
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文档简介
2021学年度高中数学必修3第三章概率双基精品试卷
概率（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从1，2，3，…，30中任取一个数，它是偶数或能被3整除的数的概率（ ）
A． B． C． D．
2．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，
每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则命题，为假命题的概率（ ）
A． B． C． D．
6．从这四个数字中依次取（不放回）两个数字，使得成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在区间上随机地选择一个数，则方程有两个正根的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分．记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在正方形内任取一点，则的概率为（ ）
A． B．
C． D．以上均不对
11．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______．
14．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_______．
15．若，且，则称是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为__________．
16．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为的球)正好落入孔中的概率是________．(不作近似计算)
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
（2）从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．
18．（12分）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次．
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率．
19．（12分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（3）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
20．（12分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求取球2次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率．
21．（12分）的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数．
（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；
（2）求输出的（）的概率；
（3）求输出的的概率．
22．（12分）某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞．若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率．
概率（B）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】从1，2，3，…，30中任取一个数共有30种情况，
其中能被3整除的数共有10个，偶数共15个，
其中既能被3整除又是偶数的数有5个，
故是偶数或能被3整除的数共有个，
故所求概率，故选D．
2．【答案】D
【解析】小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为，故选D．
3．【答案】C
【解析】设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号．
三人可能拿到的卡片结果为，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为，故选C．
4．【答案】D
【解析】当十位上的数为时，共有个；
当十位上的数为时，共有个，共个，
故，故选D．
5．【答案】D
【解析】∵命题，为假命题，
即，为真命题，
①当时，原式显然成立；
②当时，对称轴大于0，只需，解得，
故当时，命题，为假命题，
故所求概率为，故选D．
6．【答案】C
【解析】因为，所以．
从这四个数字中依次取两个数字的样本空间，共12个样本点，
符合条件的样本点有，共6个，
所以所求概率为，故选C．
7．【答案】D
【解析】将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，则，
又，所以，
所以，故选D．
8．【答案】A
【解析】方程有两个正根，
则有，即解得或，
又，由几何概型概率公式可得方程有两个正根的概率为，故选A．
9．【答案】A
【解析】设圆的半径为，则区域Ⅰ的面积为；
区域Ⅱ的面积，
圆的面积为．
所以，故选A．
10．【答案】A
【解析】设正方形ABCD的边长为1，则该正方形的面积为1，
其中的点P在以AB为弦的弓形内，
由正弦定理得弓形所在扇形的半径，且该扇形的圆心角是，
所以弓形面积为，
故面积之比为，即概率为，故选A．
11．【答案】B
【解析】由题可得：①，正确；
②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，
所以②错误；
③，正确；
④表示靶被击中，所以④错误；
⑤，正确；
⑥互为对立事件，，正确；
⑦，所以⑦不正确，
综上：正确的是①③⑤⑥，故选B．
12．【答案】B
【解析】如图，原正六边形为，最小的正六边形为．
设，由已知得，则，
则，
即中间的正六边形的边长等于，
以此类推，最小的正六边形的边长等于，
由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为，故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得，，
又由函数在上为减函数，则，即，
当取1时，可取2，3，4，5，6；
当取2时，可取4，5，6；
当取3时，可取6，
共9种，
又因为的取值共36种情况，
所以所求概率为，故答案为．
14．【答案】
【解析】甲的平均成绩，
设被污损的数字为，则有，
由，得，
所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率，故答案为．
15．【答案】
【解析】∵，
∴集合的所有非空子集的个数为．
∵若，则；若，则；
若，则，2与成对出现；若，则，3与成对出现；
若，则，4与成对出现，
∴集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）．
∴在集合的所有非空子集中任选一个集合，
则该集合是“伙伴关系集合”的概率为，故答案为．
16．【答案】
【解析】随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，
则油滴球心在以圆面圆心为圆心，
半径为的圆内，即，
若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔边沿距离为的正方形内，
即，
所以概率是．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），平均时间为；（2）．
【解析】（1）由直方图可得，
所以，
学生的平均学习时间．
（2）由直方图可得：中有人，中有人，
根据分层抽样，需要从中抽取人分别记为，
从中抽取人分别记为，
再从这人中抽取人，所有的抽取方法有、、、、、、、、、、、、、、共15种，
其中恰有一人在组中的抽取方法有、、、、、、、共8种，
所以，从这人中抽取人，恰有人在组中的概率为．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】全体基本事件共有25种情形，
（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形，
故概率．
（2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球，
即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，
即．
19．【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】（1）甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，
所以概率．
（2）如果，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙，共有49种取法，
甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：，，，，，，，，，有10种取法，
所以概率．
（3）把组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，
可见当或时，与组数据方差相等．(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设事件A为“取球2次即终止”，
即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：
因此，．
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，
因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．
借助树状图求出相应事件的样本点数：
所以
．
21．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由已知可得程序框图所表示的函数表达式是．
（2）当时，若输出，
此时输出的结果满足，所以；
若输出，
此时输出的结果满足，所以 (不合题意)，
所以输出的时的范围是．
则使得输出的的概率为．
（3）当时，输出，
此时输出的结果满足，解得；
当时，输出，
此时输出的结果满足，解得，
综上，输出的时x的范围是，
则使得输出的y满足的概率为．
22．【答案】．
【解析】设一个细胞时它存活的概率为，则是与当前时间无关的，
一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是，
变成两个细胞后有存活的概率会变成，
类推可得方程，
整理得，解得或（舍去），
所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为．
概率（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从1，2，3，…，30中任取一个数，它是偶数或能被3整除的数的概率（ ）
A． B． C． D．
2．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，
每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则命题，为假命题的概率（ ）
A． B． C． D．
6．从这四个数字中依次取（不放回）两个数字，使得成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在区间上随机地选择一个数，则方程有两个正根的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点在以为直径的圆上，且满足，圆内的弧线是以为圆心，为半径的圆的一部分．记三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在正方形内任取一点，则的概率为（ ）
A． B．
C． D．以上均不对
11．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为，第二次朝上一面的点数为，则函数在上为减函数的概率是_______．
14．甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_______．
15．若，且，则称是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为__________．
16．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为的球)正好落入孔中的概率是________．(不作近似计算)
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
（2）从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．
18．（12分）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次．
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率．
19．（12分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．
（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（3）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
20．（12分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（1）求取球2次即终止的概率；
（2）求甲取到白球的概率．
21．（12分）的取值范围为，给出如图所示程序框图，输入一个数．
（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；
（2）求输出的（）的概率；
（3）求输出的的概率．
22．（12分）某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞．若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率．
概率（B）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】从1，2，3，…，30中任取一个数共有30种情况，
其中能被3整除的数共有10个，偶数共15个，
其中既能被3整除又是偶数的数有5个，
故是偶数或能被3整除的数共有个，
故所求概率，故选D．
2．【答案】D
【解析】小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为，故选D．
3．【答案】C
【解析】设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号．
三人可能拿到的卡片结果为，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为，故选C．
4．【答案】D
【解析】当十位上的数为时，共有个；
当十位上的数为时，共有个，共个，
故，故选D．
5．【答案】D
【解析】∵命题，为假命题，
即，为真命题，
①当时，原式显然成立；
②当时，对称轴大于0，只需，解得，
故当时，命题，为假命题，
故所求概率为，故选D．
6．【答案】C
【解析】因为，所以．
从这四个数字中依次取两个数字的样本空间，共12个样本点，
符合条件的样本点有，共6个，
所以所求概率为，故选C．
7．【答案】D
【解析】将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，则，
又，所以，
所以，故选D．
8．【答案】A
【解析】方程有两个正根，
则有，即解得或，
又，由几何概型概率公式可得方程有两个正根的概率为，故选A．
9．【答案】A
【解析】设圆的半径为，则区域Ⅰ的面积为；
区域Ⅱ的面积，
圆的面积为．
所以，故选A．
10．【答案】A
【解析】设正方形ABCD的边长为1，则该正方形的面积为1，
其中的点P在以AB为弦的弓形内，
由正弦定理得弓形所在扇形的半径，且该扇形的圆心角是，
所以弓形面积为，
故面积之比为，即概率为，故选A．
11．【答案】B
【解析】由题可得：①，正确；
②事件“靶被击中”，表示甲乙同时击中，，
所以②错误；
③，正确；
④表示靶被击中，所以④错误；
⑤，正确；
⑥互为对立事件，，正确；
⑦，所以⑦不正确，
综上：正确的是①③⑤⑥，故选B．
12．【答案】B
【解析】如图，原正六边形为，最小的正六边形为．
设，由已知得，则，
则，
即中间的正六边形的边长等于，
以此类推，最小的正六边形的边长等于，
由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为，故选B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得，，
又由函数在上为减函数，则，即，
当取1时，可取2，3，4，5，6；
当取2时，可取4，5，6；
当取3时，可取6，
共9种，
又因为的取值共36种情况，
所以所求概率为，故答案为．
14．【答案】
【解析】甲的平均成绩，
设被污损的数字为，则有，
由，得，
所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率，故答案为．
15．【答案】
【解析】∵，
∴集合的所有非空子集的个数为．
∵若，则；若，则；
若，则，2与成对出现；若，则，3与成对出现；
若，则，4与成对出现，
∴集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）．
∴在集合的所有非空子集中任选一个集合，
则该集合是“伙伴关系集合”的概率为，故答案为．
16．【答案】
【解析】随机向铜钱上滴一滴油，且油滴整体落在铜钱内，
则油滴球心在以圆面圆心为圆心，
半径为的圆内，即，
若油滴整体正好落入孔中，则油滴在与正方形孔边沿距离为的正方形内，
即，
所以概率是．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），平均时间为；（2）．
【解析】（1）由直方图可得，
所以，
学生的平均学习时间．
（2）由直方图可得：中有人，中有人，
根据分层抽样，需要从中抽取人分别记为，
从中抽取人分别记为，
再从这人中抽取人，所有的抽取方法有、、、、、、、、、、、、、、共15种，
其中恰有一人在组中的抽取方法有、、、、、、、共8种，
所以，从这人中抽取人，恰有人在组中的概率为．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】全体基本事件共有25种情形，
（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形，
故概率．
（2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球，
即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形，
即．
19．【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】（1）甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，
所以概率．
（2）如果，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙，共有49种取法，
甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：，，，，，，，，，有10种取法，
所以概率．
（3）把组数据调整为，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，，
可见当或时，与组数据方差相等．(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设事件A为“取球2次即终止”，
即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：
因此，．
（2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，
因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．
借助树状图求出相应事件的样本点数：
所以
．
21．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由已知可得程序框图所表示的函数表达式是．
（2）当时，若输出，
此时输出的结果满足，所以；
若输出，
此时输出的结果满足，所以 (不合题意)，
所以输出的时的范围是．
则使得输出的的概率为．
（3）当时，输出，
此时输出的结果满足，解得；
当时，输出，
此时输出的结果满足，解得，
综上，输出的时x的范围是，
则使得输出的y满足的概率为．
22．【答案】．
【解析】设一个细胞时它存活的概率为，则是与当前时间无关的，
一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是，
变成两个细胞后有存活的概率会变成，
类推可得方程，
整理得，解得或（舍去），
所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为．