第十一章立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.
如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案A
解析因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AC,PA⊥AB.又AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,
所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,共4个.故选A.
2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是( )
A.
B.2
C.3
D.4
答案D
解析由题得PB=PC=,则P到BC的距离d=,即d==4.
3.下列命题中,正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.
②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.
③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.
④垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面.
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案C
解析②③④⑤正确,①中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内.
4.
如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列说法不正确的是( )
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
答案C
解析因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,即PA⊥平面ABC,又BC?平面ABC,所以PA⊥BC,故A正确;又C为圆上异于A,B的任一点,AB为圆O的直径,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故B,D均正确.故选C.
5.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于( )
A.40°
B.50°
C.90°
D.150°
答案B
解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.
6.
(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
答案ABC
解析∵BD∥B1D1,B1O1?平面CB1D1,故A正确;∵AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥平面ACC1,∴BD⊥AC1,故B正确;与B同理有AC1与B1D1,CB1垂直,则AC1⊥平面CB1D1,故C正确;D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°,故D错误.故选ABC.
7.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为 .?
答案垂直
解析如图,取AC的中点E,连接BE,DE.
由AB=BC,得AC⊥BE.
同理AC⊥DE,
所以AC⊥平面BED.
因此,AC⊥BD.
8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 .?
答案菱形
解析由于PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.
9.
如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.
(1)则MN与CD1所成的角为 .?
(2)则MN与AD所成的角为 .?
答案(1)60° (2)45°
解析(1)由图易知MN∥AD1,
∵△ACD1构成正三角形.
∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.
(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,
∴MN与AD成45°角.
10.
如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.
证明取AB的中点F,连接CF,DF(图略).
∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.
∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.
∵CD?平面CDF,∴AB⊥CD.
又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.
∵AH?平面ABE,∴CD⊥AH.
∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.
能力提升练
1.(2020江苏高一月考)已知α是一个平面,m,n是两条直线,有下列四个结论,正确的是( )
A.如果m∥α,m∥n,则n∥α
B.如果m⊥α,n∥α,则m⊥n
C.若直线m垂直于平面α内的无数条直线,则m⊥α
D.如果m⊥α,m∥n,则n⊥α
答案BD
解析对于A,如果m∥α,m∥n,则n∥α或n?α,所以不正确;对于B,若m⊥α,n∥α,那么m⊥n,所以正确;对于C,根据线面垂直的定义,直线m垂直于平面α内的任意直线,则m⊥α,而直线m垂直于平面α内的无数条直线,则m与α不一定垂直,所以不正确;对于D,根据平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直于这个平面,可得若m⊥α,m∥n,那么n⊥α,所以正确.
2.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是
( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案D
解析由AC⊥平面DBB1D1,BE?平面DBB1D1知A正确;由EF?平面A1B1C1D1,且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正确;由△BEF面积S=×1×.VA-BEF=知C正确;D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不等,故D错误.
3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是( )
A.EF⊥B1C
B.BC1∥平面EFG
C.A1C⊥平面EFG
D.异面直线FG,B1C所成角的大小为
答案ABC
解析如图,连接AD1,则EF∥AD1∥BC1,又BC1⊥B1C,
∴EF⊥B1C,故A正确;
∵BC1∥EF,EF?平面EFG,BC1?平面EFG,
∴BC1∥平面EFG,故B正确;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正确;
∵FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=,即异面直线FG,B1C所成角的大小为,故D错误.故选ABC.
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
解析
如图,取BC的中点E,连接AE,则AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=a,DE=a.所以tan∠ADE=.所以∠ADE=60°.
5.
如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
答案C
解析∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB,∴AB⊥PC.
又AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.
又CH?平面PCH,∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.
6.(2020上海高三专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,则与直线A1O垂直的立方体的截面为 .(写出一个即可)?
答案GBD(或AFC1H或ED1B1)
解析如图所示,
连接OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,故BD⊥平面ACC1A1,A1O?平面ACC1A1,故BD⊥A1O.设正方体边长为2,
则A1O=,OG=,A1G==3,
故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,
OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.
7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为 .?
答案45°
解析如图,
设C在平面α内的射影为点O,连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.
设AC=BC=1,则AB=,
∴CM=,CO=.∴sin∠CMO=,
∴∠CMO=45°.
8.△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2
cm,3
cm,4
cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为 .?
答案3
cm
解析如图,设A,B,C在平面α内的射影分别为A',B',C',△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,
又设E,G在平面α内的射影分别为E',G',
则E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=(A'A+B'B)=,CC'=4,CG∶GE=2∶1,
在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'的中点H,H',
设GG'=x1,HH'=x2,
则解得x1=3,即△ABC的重心到平面α的距离为GG'=3.
9.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.
(1)求证:PM⊥平面ABC;
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.
(1)证明∵PA=PC,M为AC的中点,
∴PM⊥AC.
①
又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴AM=MC=MB=AC=5.
在△PMB中,PB=13,MB=5.
PM==12.
∴PB2=MB2+PM2,
∴PM⊥MB.
②
由①②可知PM⊥平面ABC.
(2)解∵PM⊥平面ABC,
∴MB为BP在平面ABC内的射影,
∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角.
在Rt△PMB中,tan∠PBM=.
素养培优练
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
(1)证明设点O为AC,BD的交点.
由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.
(2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角.
由题意得OG=PA=.
在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO,所以∠ABO=∠ABC=60°,
所以AO=OC=AB·sin60°=.
在Rt△OCD中,OD==2.
在Rt△OGD中,tan∠OGD=.
所以DG与平面APC所成角的正切值为.
(3)解因为PC⊥平面BGD,OG?平面BGD,
所以PC⊥OG.
在Rt△PAC中,PC=.
所以GC=.
从而PG=,所以.
第十一章立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a?α,直线b?β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b( )
A.可能垂直,不可能平行
B.可能平行,不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.不可能垂直,也不可能平行
答案B
解析若a∥l,b∥l,则a∥b.假设a⊥b,在平面α内,过a上一点P作PM⊥l于点M,则PM⊥β,
所以PM⊥b.
又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.
2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ和l⊥m
B.α∥γ和m∥β
C.m∥β和l⊥m
D.α∥β和α⊥γ
答案A
解析由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.
3.下列说法正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③
B.②③
C.②③④
D.④
答案D
解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a?β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.④正确.
4.(2020山西高二月考)已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为圆柱下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有( )
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
答案B
解析因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC.又AD⊥圆柱的底面,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.
5.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为( )
A.5
B.5
C.3
D.2
答案B
解析∵三个平面两两垂直,
∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,
∴OP即为该长方体的体对角线,
∴OP==5.
6.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知在矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为AB的中点,沿着DE将△ADE翻折到△PDE,使平面PDE⊥平面EBCD,则PC的长为( )
A.2
B.2
C.4
D.6
答案A
解析如图,画出矩形ABCD沿着DE折叠后的几何图形,
因为四边形ABCD是矩形,AB=2BC=4,E为AB的中点,
所以DE==2,
EC==2.
因为DE2+CE2=DC2,所以CE⊥DE.
因为平面PDE⊥平面EBCD,平面PDE∩平面EBCD=DE,
所以CE⊥平面PDE,所以CE⊥PE.
因为PE就是AE,AE=AB=2,
所以PE=2,PC==2.
7.下列说法:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
答案B
解析对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为所作射线不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的.故选B.
8.已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.
(1)当满足条件 时,有m∥β;?
(2)当满足条件 时,有m⊥β.(填序号).?
答案③⑤ ②⑤
9.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
上面命题中,真命题的序号是 (填序号).?
答案①②
解析①由面面平行的判定定理可得,该命题正确.
②由线面平行的判定定理可得,该命题正确.
③如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为 .?
答案30°
解析连接AC交BD于点O,连接C1O,
∵C1D=C1B,O为BD中点,
∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,
∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
在Rt△C1CO中,C1C=,可以计算C1O=2,
∴sin∠C1OC=,∴∠C1OC=30°.
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.
(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
证明(1)连接BD.
在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.
又∵E,F为棱AD,AB的中点,
∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.
又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1,
∴EF∥平面CB1D1.
(2)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1?平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.
又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,∴B1D1⊥平面CAA1C1.
又∵B1D1?平面CB1D1,
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
能力提升练
1.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为( )
A.12
B.12
C.6
D.6
答案D
解析如图,连接AC交BD于点O.则PA⊥BD,AO⊥BD.
所以BD⊥平面PAO.
所以PO⊥BD,故PO为P到BD的距离.
在Rt△AOP中,PA=12,AO=6.
所以PO=6.
2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案D
解析在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ADB=∠ABD=45°.
因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在题图②中,此关系仍成立.
因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.
因为BA?平面ADB,所以CD⊥AB.
因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.
因为BA?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
3.如图,A,B,C,D为空间四点,在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=( )
A.
B.2
C.
D.1
答案B
解析取AB的中点E,连接DE,CE(图略).因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE?平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=,CE=1,故在Rt△DEC中,CD==2.
4.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下列四个结论正确的是( )
A.BC∥平面AGF
B.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面BCD
D.平面ABF⊥平面BCD
答案ABD
解析∵F,G分别是CD,DB的中点,∴GF∥BC,
则BC∥平面AGF,故A正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵EG∥CD,
∴EG⊥平面ABF,故B正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,
∵CD?面BCD,
∴平面ABF⊥平面BCD,故D正确;对于选项C,假设平面AEF⊥平面BCD,
由平面AEF∩平面BCD=EF,CD?平面BCD,CD⊥AF,∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,与CD,EF夹角为60°矛盾,故C错误.故选ABD.
5.(多选题)(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)如图所示,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,则下列四个结论正确的是( )
A.动点A'在平面ABC内的射影在AF上
B.恒有平面A'GF⊥平面BCED
C.三棱锥A'-FED的体积有最大值
D.直线A'E与BD不可能垂直
答案ABC
解析对于A选项,在等边三角形ABC中,F为BC的中点,则AF⊥BC.∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥BC,则DE⊥AF,翻折后,对应地有DE⊥AF,DE⊥A'G,∵AF∩A'G=G,∴DE⊥平面A'GF.
∵DE?平面BCED,∴平面A'GF⊥平面BCED,且平面A'GF⊥平面BCED=AF,由面面垂直的性质定理可知,动点A'在平面ABC内的射影在AF上,故A,B正确.由于△DEF的面积为定值,当三棱锥A'-FED的高取得最大值时,即当平面A'DE⊥平面BCED时,三棱锥A'-FED的体积有最大值,故C正确.在翻折的过程中,∠A'EF有可能为直角,∵E,F分别为AC,BC的中点,则EF∥AB,即EF∥BD,∴异面直线A'E与BD所成的角为∠A'EF或其补角,则直线A'E与BD可能垂直,故D选项错误.
6.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC= .?
答案7
解析取AB的中点E,连接PE.
∵PA=PB,∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,
∴PE⊥平面ABC.连接CE,
∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=2,PE=,CE=,PC==7.
7.(2020山东邹城第一中学高三月考)三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC⊥平面ABC,则AC= ;若球O与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切,则球O的半径为 .?
答案-1
解析如图,设M为AC的中点,
因为PA=PC,所以PM⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,所以由面面垂直的性质定理得PM⊥平面ABC,所以PM⊥MB.因为,所以PM=MB,
从而可得PM=,AC=.设O1,O2分别为对应面的内心,分别过O1,O2作MP,MB的平行线,交于点O,即O为所求的球心,易知OO1MO2是正方形,设Rt△PAC内切圆的半径为r,球O的半径为R,由图可知OM=R=r,而r=,所以R=-1.
8.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 .?
答案
解析如图,
过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,
∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,
∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.∴t的取值范围是.
素养培优练
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明如图所示,连接BD,
由ABCD是菱形且∠BCD=60°,可知△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
又因为AB∥CD,
所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又因为BE?平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,
所以PB⊥BE.
又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,所以∠PBA=60°,
故二面角A-BE-P的大小是60°.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)设α,β为两个不重合的平面,则下列条件能得到α∥β的是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.平面α,β平行于同一平面
C.平面α,β平行于同一条直线
D.α内有两条相交直线与β平行
答案BD
解析对于A,若这无数条直线为无数条平行线,则无法得到α∥β,A错误;
对于B,平面α,β平行于同一平面,此时α∥β,B正确;
对于C,平面α,β平行于同一条直线,此时平面α,β可以相交,C错误;
对于D,由面面平行的判定定理可知,D正确.
2.(多选题)(2020全国高一课时练习)已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β
B.若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β
C.若a∥α,a∥β,则α∥β
D.若a?α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
答案BD
解析对于A,若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β或者α与β相交,故A错误.
对于B,若a,b相交且都在α,β外,则a,b可以确定一个平面,记为γ,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,可得γ∥α,γ∥β,由面面平行的传递性可知α∥β,故B正确.
对于C,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,故C错误.
对于D,由a?α,a∥β,α∩β=b,由线面平行的性质定理知a∥b,故D正确.
3.已知直线a,b,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥a,则b∥α
B.若a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥β
D.若α∥β,a?α,则a∥β
答案D
解析本题考查线面、面面平行的判定和性质.若a∥α,b∥a,则b∥α或b?α,故A错误;由面面平行的判定定理知B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b?β,故C错误.故选D.
4.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:
①?a∥b;②?a∥b;③?α∥β;
④?α∥β;⑤?a∥α;⑥?a∥α.
其中正确的命题是( )
A.②③
B.①④⑤
C.①④
D.①③④
答案C
解析本题考查直线、平面的平行.由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b可能相交、平行或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.
5.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
答案A
解析如图易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.
又E1G1∩G1F=G1,E1G1,G1F?平面E1FG1.
所以平面E1FG1∥平面EGH1.即选项A符合,其他都相交.故选A.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是
( )
A.矩形
B.菱形
C.平行四边形
D.正方形
答案C
解析因为平面和左右两个侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.故选C.
7.下列说法正确的是( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
D.若三条直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行
答案B
解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错;B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,所以C不正确;因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行,所以D不正确.故选B.
8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .?
答案l∥A1C1
解析因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
9.
如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,= .?
答案
解析,而EF=FG,
∴EF=,
∴.
能力提升练
1.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是( )
A.α∩β=a,b?α?a∥b
B.α∩β=a,a∥b?b∥α,且b∥β
C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
答案D
解析选项A,α∩β=a,b?α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;
选项B,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;
选项C,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;
选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.
2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A,B如何移动都共面
答案D
解析由面面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上.
3.
(2020全国高二)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上,平面AEF∥平面BD1G,则=( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,∴EF∥BD1,
∵G在CC1上,且平面AEF∥平面BD1G,
∴AF∥BG,∴.
4.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若,则=( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',,
所以,故选D.
5.
(多选题)(2020福建南安侨光中学高一月考)如图是正四棱锥P-ABCD的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,P1,P2,P3,P4是顶点P对应的四个点,E,F,G,H分别为P1A,P4D,P2C,P2B的中点.在正四棱锥P-ABCD中,给出下列结论,其中正确的是
( )
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.直线PA∥平面BDG
C.直线EF∥平面PBC
D.直线EF∥平面BDG
答案ABC
解析作出立体图形如图所示.
连接E,F,G,H四点构成平面EFGH.对于A,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD.又EF?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理,EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF?平面EFGH,EH?平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;
对于B,连接AC,BD,DG,BG,设AC的中点为M,则M也是BD的中点,所以MG∥PA,又MG?平面BDG,PA?平面BDG,所以PA∥平面BDG,故B正确;
对于C,由A中的分析知EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,因为EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,故C正确;
对于D,根据C中的分析可知EF∥BC,再结合图形可得,BC∩BD=B,则直线EF与平面BDG不平行,故D错误.
6.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.
则在四棱锥P-ABCD中,AP与平面EFG的位置关系为 .?
答案平行
解析在四棱锥P-ABCD中,∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.
∵EF?平面PAB,AB?平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP?平面PAB,AP?平面EFG,∴AP∥平面EFG.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是 .直线MD与平面BCC1B1的位置关系是 .?
答案
相交 平行
解析因为M是A1D1的中点,所以直线DM与直线AA1相交,所以DM与平面A1ACC1有一个公共点,所以DM与平面A1ACC1相交.
取B1C1中点M1,MM1?C1D1,C1D1?CD,
所以四边形DMM1C为平行四边形,所以DM?CM1,所以DM∥平面BCC1B1.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.
证明证法一:如图,作ME∥BC交B1B于点E,作NF∥AD交AB于点F,连接EF,
则EF?平面AA1B1B.
∴.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,
∴B1M=BN.
又B1M=BN,B1C=BD,
∴.
∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,
∴四边形MEFN为平行四边形.
∴MN∥EF,∴MN∥平面AA1B1B.
证法二:如图,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P.
则B1P?平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP,∴.
又CM=DN,B1C=BD,
∴.
∴MN∥B1P.
∵B1P?平面AA1B1B,
∴MN∥平面AA1B1B.
素养培优练
如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
解当点F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.
证明:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.
∵FM?平面AEC,CE?平面AEC,∴FM∥平面AEC,由EM=PE=ED,得E是MD的中点.
连接BM,BD,设BD∩AC=O,
则O是BD的中点,∴BM∥OE.
∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,
∴BM∥平面AEC.
∵FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.
又BF?平面BFM,∴BF∥平面AEC.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.2 直线与平面平行
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中两个为条件,余下的一个为结论,可构成三个命题:①②?③,②③?①,①③?②,其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案C
解析本题考查线线平行与线面平行的判定和相互转化.m?α,n?α,m∥n,m∥α?n∥α,即①②?③;同理可得①③?②;由m∥α且n∥α,显然推不出m∥n,所以②③①.所以正确命题的个数为2,故选C.
2.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案D
解析如图正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.故选D.
3.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案C
解析如图,由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.故选C.
4.
(多选题)(2020江苏高一期中)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是
( )
A.OM∥PD
B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA
D.OM∥平面PBA
答案ABC
解析由题意知,OM是△BPD的中位线,
∴OM∥PD,故A正确;PD?平面PCD,OM?平面PCD,
∴OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA和平面PBC都相交,故D不正确.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
答案A
解析由长方体性质知,EF∥平面ABCD,
∵EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH,又EF∥AB,∴GH∥AB.故选A.
6.下列两个命题,在“ ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为 .①?l∥α;②?l∥α.?
答案l?α
解析①由线面平行的判定定理知应填“l?α”;②易知应填“l?α”.
7.
(2020江西南昌新建一中高二期中)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,N是平面ABCD外一点,设AC∩BD=O,P为NC上一点,若OP∥平面NEF,则NP∶PC= .?
答案1∶2
解析设AC∩EF=H,连接NH.
因为OP∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,
所以OP∥NH,
所以NP∶PC=HO∶OC.
在正方形ABCD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.
8.在如图所示的四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是 .(填序号)?
答案①④
解析本题考查空间直线与平面平行的判定.①中,记点B正上方的顶点为C,连接AC,图略,则易证平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中AB∥NP,根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP;②③中,AB均与平面MNP相交.
9.如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .?
答案平面ABC、平面ABD
解析连接AM并延长,交CD于点E,连接BN,并延长交CD于点F,图略,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
10.
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.
证明如图,取A1B1的中点为F1.连接FF1,C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1,
所以F1∈平面FCC1.
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连接A1D,F1C,由于A1F1?D1C1?DC,
所以四边形A1DCF1为平行四边形,
因此,A1D∥F1C.
又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.
而EE1?平面FCC1,F1C?平面FCC1.
故EE1∥平面FCC1.
能力提升练
1.(2020江西南昌二中高二期末)有下列四个条件:①a?β,b?β,a∥b;②b?β,a∥b;③a∥b∥c,b?β,c?β;④a,b是异面直线,a∥c,b?β,c?β.其中能保证直线a∥平面β的条件是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
答案C
解析对于①,∵a?β,b?β,a∥b,由线面平行的判定定理可知直线a∥平面β;对于②,∵b?β,a∥b,则直线a∥平面β或直线a?平面β;对于③,∵a∥b∥c,b?β,c?β,则直线a∥平面β或直线a?平面β;对于④,∵a,b是异面直线,b?β,则a?β,∵a∥c,c?β,∴直线a∥平面β.
2.下列命题:
①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行;
②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行;
③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案B
解析①直线不在平面内,可能直线与平面相交.有②正确.③中直线与某些直线异面.故选B.
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是边AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.在平面内
D.异面
答案
A
解析如图,由,得AC∥EF.
又EF?平面DEF,AC?平面DEF,
∴AC∥平面DEF.故选A.
4.有一正方体木块如图所示,点P在平面A'B'C'D'内,棱BC平行于平面A'B'C'D',要经过P和棱BC将木块锯开,锯开的面必须平整,有N种锯法,则N为( )
A.0
B.1
C.2
D.无数
答案B
解析∵BC∥平面A'B'C'D',
∴BC∥B'C',
在平面A'C'上过点P作EF∥B'C',则EF∥BC,
∴沿EF,BC所确定的平面锯开即可.
又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.
5.(2020宁夏石嘴山第三中学高三质检)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,有下列四个结论:
①AP与CM是异面直线;
②AP,CM,DD1相交于一点;
③MN∥BD1;④MN∥平面BB1D1D.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④
B.②④
C.①④
D.②③④
答案B
解析如图,连接MP.
∵MP∥AC,MP≠AC,
∴AP,CM是相交直线,设AP∩CM=G,则G∈平面ADD1A1,且G∈平面C1CDD1,又平面ADD1A1∩平面C1CDD1=DD1,∴AP,CM,DD1相交于一点,故①不正确,②正确;设AC∩BD=O,连接ON,OD1,则有ON?D1M,∴四边形ONMD1为平行四边形,则MN∥OD1,∴③不正确;
又MN?平面BB1D1D,OD1?平面BB1D1D,
∴MN∥平面BB1D1D,则④正确.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于 .?
答案
解析∵EF∥平面AB1C,EF?平面AC,平面AB1C∩平面AC=AC,∴EF∥AC,又E为AD的中点,点F在CD上,∴F是CD的中点,∴EF=AC=.
7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过点P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ= .?
答案a
解析∵MN∥平面ABCD,平面PMN∩平面ABCD=PQ,MN?平面PMN,∴MN∥PQ.
易知DP=DQ=a,故PQ=a=a.
8.
如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件 时,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点.(填上一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况)?
答案M与H重合(答案不唯一,又如M∈FH)
解析∵H,N分别是CD和CB的中点,连接HN,BD,图略,易知BD∥HN.
又BD?平面B1BDD1,HN?平面B1BDD1,
故HN∥平面B1BDD1,
故取M点与H点重合便符合题意.
素养培优练
如图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
(1)证明因为BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.
(2)解平行.取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且NE=AM.
可知四边形AMNE为平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为MN?平面APD,AE?平面APD,
所以MN∥平面APD.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
课后篇巩固提升
1.如果直线a,b相交,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b∥α或b与α相交
C.b与α相交
D.b在α内
答案B
2.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.空间中既不平行也不相交的两条直线
答案D
解析对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.∴A应排除.对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除.
对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除.只有D符合定义.故选D.
3.(多选题)(2020江苏西亭高级中学高一期中)a,b,c是空间中的三条直线,下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交
C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面
D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面
答案AC
解析由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是( )
A.直线GH和MN平行,GH和EF相交
B.直线GH和MN平行,MN和EF相交
C.直线GH和MN相交,MN和EF异面
D.直线GH和EF异面,MN和EF异面
答案B
解析易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为中点,由平面基本事实3可知EF,DC,MN交于一点.故选B.
5.已知a,b为异面直线,且a?α,b?β,若α∩β=l,则直线l( )
A.与a,b都相交
B.与a,b都不相交
C.至少与a,b之一相交
D.至多与a,b之一相交
答案C
解析若a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C.
6.已知直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上都有可能
答案D
解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交.
因为A1B1与AA1相交,
所以AB∥A1B1.
因为AD与AA1相交,所以AB与AD相交.
因为A1D1与AA1相交,
所以AB与A1D1异面.故选D.
7.已知a,b,c均是直线,则下列命题一定成立的是( )
A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若a与b异面,b与c异面,则a与c也是异面直线
答案C
解析A中a,c可以平行或相交,A不正确;B中a,c可以平行或异面,B不正确;由平行直线的传递性可知C正确,D中a,c可以平行或相交.故选C.
8.设a,b,c表示直线,给出以下四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题 .?
答案④①?②
解析由两平行线中一条直线垂直一条直线,则另一直线也垂直这条直线,即④①?②.
9.空间中角A的两边和另一个角B的两边分别平行,A=70°,则B= .?
答案70°或110°
解析∵角A的两边和角B的两边分别平行,
∴A=B或A+B=180°.
又A=70°,∴B=70°或110°.
10.已知a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,且a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为 .?
答案θ
解析本题考查空间中直线的夹角问题.因为a∥b,所以a,b与c的夹角相等.因为a与c的夹角为θ,所以b与c的夹角也为θ.
11.
如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.
证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又四边形EFGH是矩形,∴EH⊥GH.故AC⊥BD.第十一章立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
课后篇巩固提升
基础达标练
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.一个三角形
D.三个点
答案C
2.(2020黑龙江牡丹江一中高一月考)下列命题正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
答案C
解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面,故B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的一条直线,故C正确;如果两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故D错误.
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
答案C
解析应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
4.(多选题)(2020江苏响水中学高一月考)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.如果l?α,A∈l,则A?α
C.如果A∈α,A∈l,l?α,则l∩α=A
D.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
答案ACD
解析对于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据平面的基本事实2,可得l?α,所以A正确;对于B,由l?α,A∈l,根据直线与平面的位置关系,则A?α或A∈α,所以B不正确;对于C,由A∈α,A∈l,l?α,根据直线与平面位置关系,则l∩α=A,所以C正确;对于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,根据平面的基本事实3,可得α∩β=AB,所以D正确.
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
答案D
解析连接A1C1,AC,由于平面A1C∩平面C1BD=OC1,故有C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共面,C1,O,A,M四点共面,而D1,D,O,M四点不共面.故选D.
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
答案D
解析A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确.
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
答案C
解析由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.故选C.
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
答案C
解析因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l?β,所以C∈β,所以AB∩β=C.
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
答案6
解析如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
答案②③
解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.
11.
如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
答案(1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B (4)CD?α (5)α∩β=BD
12.(2020江苏南京师大附中高一期中)(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线l在平面α内;②直线m不在平面α内;③直线m与平面α交于点A;④直线l不经过点A.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,F为棱CC1的三等分点,画出由D1,E,F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)
解(1)l?α;m?α;m∩α=A;A?l;示意图如下:
(2)如图,直线IL即为所求.
能力提升练
1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.两条平行直线共面
C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
答案BC
解析对A,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,故A不正确;对B,两条平行直线共面,故B正确;对C,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,则一定有无数个公共点,故C正确;对D,过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面,但若三个点共线,不能确定一个平面,故D不正确.综上所述,只有C正确.
2.下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析①错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;
②错,两条异面直线不能确定一个平面;
③对;
④错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
答案ABD
解析若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α,由平面的基本事实2,可得A正确;
由平面的基本事实2,知AB?α,AB?β,即α∩β=AB,可得B正确;
若l?α,A∈l,则A∈α或A?α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本事实1和过A,B,C确定一平面且与α,β重合,可得D正确.故选ABD.
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
答案D
解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a?α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图,
∵a∥b,P∈b,∴P?a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b?α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
答案AC
解析若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序号).?
答案①③
解析图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.
7.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
(1)解延长AB交平面α于点P,如图所示.
(2)证明平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE.故D,E,P三点共线.
8.
如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.
因为PQ?平面PQR,所以M∈平面PQR.
又因为M∈直线CB,CB?平面BCD,
所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.
同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.
素养培优练
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BB'C'C内,CC',AA'同在平面AA'C'C内.
因为P∈AA',AA'C'C?平面AA'C'C,所以P∈平面AA'C'C.同理点P∈平面BB'C'C,所以点P在平面AA'C'C与平面BB'C'C的交线上,而平面AA'C'C∩平面BB'C'C=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课后篇巩固提升
基础达标练
1.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案A
解析由题意,V=(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.
2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A.1
B.
C.
D.
答案D
解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=.故选D.
3.(2020全国高一课时练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π
B.
C.
D.
答案B
解析绘制圆柱的轴截面如图所示,
由题意可得AC=1,AB=,所以圆柱的底面半径r=,所以圆柱的体积是V=πr2h=π××1=π.
4.
(2020全国高一课时练习)如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案D
解析由题意,设球的半径为r,作出球的组合体的轴截面(图略),可得一个半径为r的圆内切于一个边长为4的正三角形,此时正三角形的高为h=2,根据三角形重心的性质可得,球的半径为r=h=,所以球的体积为V=πr3=π×π,即溢出溶液的体积为π.
5.(2020全国高一课时练习)《算数书》中记载有求“盖”的体积的方法:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意,L=2πr,πr2h=(2πr)2h,
所以π=π2,即π的近似值为,故选B.
6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析设两球的半径分别为R,r(R>r),则由题意得解得故R-r=1.故选A.
7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论正确的是( )
A.AC⊥平面BEF
B.AE,BF始终在同一个平面内
C.EF∥平面ABCD
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
答案ACD
解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,
∴A对;
∵EF∥BD,BD?面ABCD,EF?面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C对;
∵S△BEF=×1=,设AC,BD交于点O,
AO⊥平面BB1D1D,AO=
∴VA-BEF=,∴D对;
∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,B错误.
故选ACD.
8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r= .?
答案
解析设底面半径为r,则πr2×4=4π,解得r=,即底面半径为.
9.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是 .?
答案10
解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120.因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=CD·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.
10.一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上,则正方体的表面积为 .?
答案8
解析由πR3=π,得R=1.
设正方体的棱长为a,则a=2R,所以a=,
故正方体的表面积S表=6a2=6×=8.
11.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9
g/cm3),每个钢球的质量为145
kg,并且外径等于50
cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1
cm,2.243≈11.240
98).
解由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×π×≈516792(g),
街心花园中钢球的质量为145000g,而145000<516792,
所以钢球是空心的.
设球的直径为2xcm,那么球的质量为7.9×=145000.
解得x3≈11240.98,
∴x≈22.4,2x≈45.
即钢球是空心的,其内径约为45cm.
能力提升练
1.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
答案B
解析设底面圆半径为R,米堆高为h.
∵米堆底部弧长为8尺,
∴·2πR=8,∴R=.
∴体积V=·πR2h=×π××5.
∵π≈3,∴V≈(尺3).
∴堆放的米约为≈22(斛).
2.
三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是( )
答案A
解析V=S△AMC·NO=·(8-2x)=-(x-2)2+2,x∈[0,3].故选A.
3.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )
A.π∶6
B.π∶2
C.π∶2
D.5π∶12
答案B
解析作出过正方体的对角面的截面,如图所示,
设球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC=,在Rt△C'CO中,得CC'2+OC2=OC'2,即a2+=R2,解得R=a,所以半球的体积为V1=πR3=π×πa3,正方体的体积为V2=a3,所以半球与正方体的体积比为πa3∶a3=π∶2,故选B.
4.有64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( )
A.V甲>V乙且S甲>S乙
B.V甲C.V甲=V乙且S甲>S乙
D.V甲=V乙且S甲=S乙
答案C
解析计算得V甲=πa3,S甲=4πa2,V乙=πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲>S乙.故选C.
5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球面面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
答案CD
解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,A错误;圆锥的母线长为R,故圆锥的侧面积为πR×R=πR2,B错误;球面面积为4πR2,等于圆柱的侧面积,C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,
∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,D正确.
6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1
cm和半径为3
cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20
cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28
cm,则这个几何体的总高度为
cm.?
答案29
解析设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.
7.(2019全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .?
图1
图2
答案26 -1
解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=x,所以GH=2×x+x=(+1)x=1,解得x=-1,即该半正多面体的棱长为-1.
8.(2020全国高一课时练习)在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.
解①如图所示,
由题意知OA=OB=OC=OD=15.设H为△BCD的中心,则A,O,H三点在同一条直线上.
∵HB=HC=HD=×12=12,
∴OH==9.
∴正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.
又S△BCD=×(12)2=108,
∴VA-BCD=×108×24=864.
②如图所示,同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,
S△BCD=108,∴VA-BCD=×108×6=216.
综上,正三棱锥A-BCD的体积为864或216.
素养培优练
如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6
cm,圆柱筒高为2
cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2
500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
解(1)因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,
所以两个半球的体积之和为
V球=πR3=π·27=36π(cm3).
又圆柱筒的体积为
V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).
所以这种“浮球”的体积是
V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),
又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为
S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为
S=(m2).
因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为
2500S=2500×=12π(m2).
因为每平方米需要涂胶100克,
所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面的面积是2S,则它的一个底面的面积是( )
A.
B.
C.S
D.πS
答案A
解析设底面半径为r,则4r2=2S,故底面面积=πr2=π·.故选A.
2.(多选题)(2020全国高一课时练习)下列关于球体的说法正确的是( )
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
答案BC
解析空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面,所以A错误,B正确;由球体的定义,知C正确;
球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以D错误.
3.
(2020河北高一期中)在长方形ABCD中挖掉半圆O,得到如图所示的图形,则将该图形绕着AB所在的直线旋转一周后得到的几何体为( )
A.一个长方体内部挖去一个球
B.一个长方体内部挖去半个球
C.一个圆柱体内部挖去一个球
D.一个圆柱体内部挖去半个球
答案C
解析根据空间几何体的结构得知,将该图形绕着AB所在的直线旋转一周后得到的几何体为一个圆柱体内部挖去一个球.故选C.
4.(2020四川泸县第四中学二模)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.3πa2
B.6πa2
C.12πa2
D.24πa2
答案B
解析长方体的长,宽,高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线就是外接球的直径,所以球的直径长为a,所以球的半径为a,所以球的表面积是4π=6πa2,故选B.
5.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( )
A.8
B.
C.
D.
答案B
解析易知2πr=4,则2r=,所以轴截面面积=×2=.故选B.
6.(2020广西壮族自治区一模)我国古代数学名著《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺”(注:1丈等于10尺)( )
A.29尺
B.24尺
C.26尺
D.30尺
答案C
解析由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条边(即木棍的高)长24尺,另一条边长5×2=10尺,因此葛藤长=26尺,故选C.
7.下列说法正确的是 .(填序号)?
①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面;
④圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长.
答案④
解析根据圆柱母线的定义,①错误;以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台,以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台,故②错误;圆锥只有一个底面,故③错误;根据圆锥母线的定义,④正确.
8.
(2020全国高一课时练习)图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼接形成,若将它绕直线l旋转形成一个组合体,下面说法不正确的是 (填序号).?
①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球;
②该组合体中的圆锥和球只有一个公共点;
③该组合体中的球和半球只有一个公共点.
答案①
解析该组合体可以分割成圆锥、球、半球、圆柱、圆台,故①错,②③正确.
9.一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形,则其表面积为 .?
答案πa2
解析由题知,圆锥的底面半径r=,母线长l=a,则其表面积为S表=πr(r+l)=π·πa2.
10.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的半径.
解如图,设球O的半径为R,则
由AH∶HB=1∶2得HA=·2R=R,
所以OH=.
因为截面面积为π=π·(HM)2,所以HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
所以R2=R2+HM2=R2+1,
所以R=,即球O的半径为.
11.
(2020全国高一课时练习)如图所示,已知圆柱的高为80
cm,底面半径为10
cm,表面上有P,Q两点,若P,Q两点在轴截面ABB1A1上,且PA=40
cm,B1Q=30
cm,一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程.
解将
圆柱侧面沿母线AA1展开,得到如图所示的矩形.
设圆柱的底面半径为r,则r=10cm.
∴A1B1=×2πr=πr=10π(cm).过点Q作QS⊥AA1于点S,在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10π(cm).
∴PQ==10(cm),
即蚂蚁爬过的最短路径长是10cm.
能力提升练
1.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
解析设圆锥的底面半径是r,
母线长是l.如图所示,2πr=πl,
所以2r=l.所以.
所以轴截面对应的等腰三角形的底角为60°.故选C.
2.(2020河北邢台第八中学高二期中)一个四面体各棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.3π
D.6π
答案A
解析把正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,扩展后正方体的棱长为1,所以正方体对角线的长度就是外接球的直径,所以球的半径为,所以球的表面积为4πR2=4π×=3π,故选A.
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,∴S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).又S侧=h2=4π2r2,∴.故选A.
4.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面图形可能是( )
答案ABC
解析当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A,但无论如何都不能截出D.
5.一个圆台上、下底面的半径分别为3
cm和8
cm,若两底面圆心的连线长为12
cm,则这个圆台的母线长为
cm,表面积为 cm2.?
答案13 216π
解析如图,
过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12cm,BC=8-3=5cm,所以AB==13(cm).
表面积为S=π(33+82+3×13+8×13)=216π(cm2).
6.
如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么截面图形可能是图中的 .(填序号)?
答案①③
解析在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面位置的变化,截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴时,所截得的图形是图①.当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图③.而图②④是不会出现的.
7.定义如图所示的几何体为斜截圆柱(由不平行圆柱底面的平面截圆柱得到),已知斜截圆柱底面的直径为40
cm,母线长最短为50
cm、最长为80
cm,则斜截圆柱侧面展开图的面积S=
cm2.?
答案2
600π
解析把斜截圆柱补成底面半径20cm,高130cm的圆柱,则侧面展开可得斜截圆柱侧面展开圆面积S=(50+80)×40π=2600π(cm2).
8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,且两截面位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
解如图,
设这两个截面的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球半径为R.则π=5π,π=8π,∴=5,=8.
∵R2=,
∴=8-5=3,
即(d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,∴
解得∴R==3.
素养培优练
(2020四川高一期末)如图,已知在直角三角形ABC中,AC⊥BC,BC=2,tan
∠ABC=2.
(1)若以直线AC为轴,直角三角形ABC旋转一周,试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.
(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬行的最短距离.
解(1)在直角三角形ABC中,由BC=2,tan∠ABC=2,即tan∠ABC==2,得AC=4.若三角形ABC以直线AC为轴旋转一周,
形成的几何体为以BC=2为半径,高AC=4的圆锥,
则AB==6,其表面积为S=π×22+π×2×6=16π.
(2)由问题(1)的圆锥,要使蚂蚁爬行的距离最短,则沿过点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形,如图所示,
所求最短距离就是点B到点B1的距离,∠BAB1=,在△ABB1中,由余弦定理得BB1==6.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列四种说法:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中,正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.
2.(2020山东高一期中)下列命题正确的是( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
C.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分一定是棱柱
D.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
答案B
解析对于A,如图①所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是四边形,该几何体不是棱柱,故A不正确;对于B,由棱柱的定义可知正确;对于C,分成的两部分不一定是棱柱,故C不正确;对于D,如图②所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是平行四边形,该几何体不是棱柱.
3.下列命题中正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
答案D
解析A中的平面不一定平行于底面,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.故选D.
4.
(2020河北衡水中学高三月考)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1
cm,高为5
cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )
A.12
B.13
C.
D.15
答案C
解析将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,
再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×1=6,宽等于5,由勾股定理d=.
5.(多选题)(2020全国高一课时练习)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台
B.②是圆台
C.③是棱锥
D.④是棱柱
答案CD
解析题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是棱台;
题图②中的几何体上、下两个面不平行,所以②不是圆台;题图③中的几何体是三棱锥;题图④中的几何体前、后两个面平行,其他面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以④是棱柱.
6.如图是正方体外面朝上的展开图,则在这个正方体中:①AF与CN是异面直线;②BM与AN平行;③AF与BM成60°角;④BN与DE平行.以上四个命题中,所以正确命题的序号是( )
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
答案A
解析将
正方体的展开图还原为正方体EFMN-ABCD,如图所示,可得AF与CN是异面直线,故①正确;连接AN,则BM与AN平行,故②正确;因为BM∥AN,
所以∠NAF是异面直线AF与BM所成的角,因为△NAF为等边三角形,所以∠NAF=60°,故③正确;BN与DE是异面直线,故④错误.
7.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8
cm
和18
cm,侧棱长为13
cm,则其表面积为 .?
答案1
012
cm2
解析由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h==12(cm),
所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1012(cm2).
8.(2020上海高三专题练习)若A={四棱柱},B={平行六面体},C={直平行六面体},D={正方体},E={正四棱柱},F={长方体},则它们之间的包含关系为 .?
答案D?E?F?C?B?A
解析四棱柱:底面是四边形的柱体是四棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体;长方体:底面是长方形的直平行六面体是长方体;正四棱柱:底面是正方形的长方体是正四棱柱;正方体:各个面都是正方形的正四棱柱.根据以上概念,可得D?E?F?C?B?A.
9.(2020山东烟台理工学校高一期中)已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为4,则这个棱锥的斜高为 ,高为 .?
答案2 2
解析如图所示,
由题意知,正四棱锥底面边长为4,又侧棱长为4,所以侧面为等边三角形,取G为CD的中点,在等边三角形VCD中,VG=VC=2,V在平面ABCD的投影为正方形ABCD的中心O,在Rt△BCD中,DB==4.
则DO=DB=2,所以在Rt△VOD中,VO==2.
10.如图,M是棱长为2
cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.?
答案
解析由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.
11.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.
解(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台.
(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥.
(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱.
(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱.
能力提升练
1.
(2020陕西咸阳实验中学高一月考)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
答案A
解析根据正方体礼品盒的表面展开图的对面是相同的图案可知,展开图同图案不能相邻,B,C,D中都有相同的图案相邻,故选A.
2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是( )
A.1
B.0
C.快
D.乐
答案B
解析如图得到正方体,从图中可以看到“1”在正方体的后面,“快”在正方体的右面,“乐”在前面,下面、左面均为“0”.故选B.
3.(多选题)正方体截面的形状有可能为( )
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案ABD
解析画出截面图形如图,
可以画出正三角形但不是直角三角形(如图①);可以画出正方形(如图②);经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图③);正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形(如图④).故选ABD.
4.(2020河北沧州一中高一期末)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( )
A.8(6+6)
B.6(8+8)
C.8(6+6)
D.6(8+8)
答案A
解析由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该几何体的表面积为S=6×[(2+2)2-4×]+8××2×=8(6+6).故选A.
5.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有 条.?
答案10
解析在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.
6.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC(即正四面体S-ABC),则其表面积为 .?
答案a2
解析由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以S△SBC=a2sin60°=a2.
因此,四面体S-ABC的表面积S=4×a2=a2.
7.中国古代,建筑工匠们非常注重在建筑中体现数学美,方形和圆形的应用比比皆是.在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在∶1的比例关系,这是当时工匠们着意设计的常见比例,今天,A4纸之所以流行的重要原因之一,就是它的长与宽的比无限接近∶1,我们称这种满足了∶1的矩形为“优美”矩形.现有一长方体ABCD-A1B1C1D1,AD1=2,AC=2,AC1=2,则此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为 .?
答案4
解析由题意,
该长方体如图所示,∵AD1=2,AC=2,AC1=2,
∴CC1==2,AD==4,
CD==2,
∴AB=CD=2,AA1=CC1=2,∴.
=2,∴此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为4.
8.
(2020全国高一课时练习)正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;
(2)若大棱锥的侧棱长为12
cm,小棱锥的底面边长为4
cm,求截得的棱台的侧面积与全面积.
解(1)设小棱锥的底面边长为a,斜高为h,则大棱锥的底面边长为2a,斜高为2h,∴S大棱锥侧=6××2a×2h=12ah,S小棱锥侧=6×ah=3ah,
∴棱台的侧面积为12ah-3ah=9ah,因此,大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4∶1∶3.
(2)∵小棱锥底面边长为4cm,∴大棱锥底面边长为8cm.∵大棱锥的侧棱长为12cm,
∴其斜高为=8(cm),
∴S大棱锥侧=6××8×8=192(cm2),
∴棱台的侧面积为×192=144(cm2),S棱台上底面=6××42=24(cm2),S棱台下底面=6××82=96(cm2),
∴S棱台全=144+120(cm2).故棱台的侧面积为144cm2,全面积为(144+120)cm2.
素养培优练
在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?
解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.
(3)①不对.只有一条棱着地水面才是矩形;②不对.只有一条棱着地水才是棱柱.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课后篇巩固提升
1.(2020江西南昌新建一中高二开学考试)若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b?α,则a与b的位置关系一定是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或异面
答案D
解析当A∈b时,a与b相交,当A?b时,a与b异面.
2.“a,b是异面直线”是指:
①a∩b=?,且a,b不平行;②a?平面α,b?平面β,且a∩b=?;③a?平面α,b?平面β,且α∩β=?;④a?平面α,b?平面α;⑤不存在平面α,使a?α,且b?α成立.上述说法中正确的是( )
A.①④⑤
B.①③④
C.②④
D.①⑤
答案D
解析说法①等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.①正确;②③④中a与b可能平行,都不正确;说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内,即a,b异面,⑤正确.
3.(多选题)下列命题中,不正确的命题为( )
A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α
B.若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C.若a?α,则a与α有无数个公共点
D.若a?α,则a与α没有公共点
答案ABD
解析AD中,a与α可相交;B中a与α内的直线可异面;故ABD不正确,C正确.
4.已知异面直线a与b满足a?α,b?β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是( )
A.c与a,b都相交
B.c至少与a,b中的一条相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条平行
答案B
解析∵a?α,c?α,∴a与c相交或平行.同理,b与c相交或平行.若c∥a,c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾.∴a,b不能都与c平行,即直线a,b中至少有一条与c相交.
5.(多选题)给出的下列四个命题中,其中不正确的命题是( )
A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面不一定平行
B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行
C.平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行
D.若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合
答案BCD
解析如图,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A,在平面A1D1DA中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题A正确.对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题B错误.对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AA1,DD1,BB1,CC1的中点E,F,G,H,A1,B,C到平面EFHG的距离相等,而△A1BC与平面EFHG相交,故命题C错误.对于D,两平面位置关系中不存在重合,若重合则为一个平面,故命题D错误.
6.(2020上海高三专题练习)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案D
解析如图,
构建长方体ABCD-A1B1C1D1,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4;若l4=C1D,则l1与l4相交;若取l4=BA,则l1与l4异面;若取l4=C1D1,则l1与l4相交且垂直,因此l1与l4的位置关系不能确定.
7.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是 ,表示直线GH,MN平行的图形是 .(填序号)?
答案②④ ①
解析①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④中GH,MN为异面直线.
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1、面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有 个.?
答案3
解析如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
9.A,B是直线l外两点,过A,B且与l平行的平面有 个.?
答案0,1或无数
解析当直线AB与l相交时,有0个;当直线AB与l异面时,有1个;当直线AB∥l时,有无数个.
10.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系.
解B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是:B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D,B1C与平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.
D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020北京八十中高一期中)下列说法正确的是( )
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案D
解析等腰三角形的两底角相等,但在直观图中不相等,故A错误.正方形的两邻边相等,但在直观图中不相等,故B错误.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°也可以是135°,故C错误.故选D.
2.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是等边三角形A'B'C',则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
答案C
解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.
3.
如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A.6
cm
B.8
cm
C.(2+3)cm
D.(2+2)cm
答案B
解析直观图中,O'B'=,OB=2.原图形中OC=AB==3,OA=BC=1,∴原图形的周长是2×(3+1)=8(cm).
4.
如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
答案D
解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
答案D
解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm.故选D.
6.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积是( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
答案D
解析如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②,建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,由直观图画法知:A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,过点C'作C'D'⊥O'x'于点D',则C'D'=O'C'=a.所以△A'B'C'的面积是S=·A'B'·C'D'=·a·a=a2.
7.
如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为 .?
答案正方形
解析因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因四边形A'B'C'D'为平行四边形,且AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
8.(2020天津高一期末)用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图时,以射线AB,AD分别为x轴、y轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图A'B'C'D',则该直观图的面积为 .?
答案
解析设原图的面积为S,直观图的面积为S',则S=2S',即S'=S.
因为正方形ABCD的面积为S=2×2=4,所以其直观图的面积为S'=S=×4=.
9.
如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为 .?
答案10
解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
10.
(2020天津滨海新区塘沽第三中学高一期中)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为 .?
答案
解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,C=90°,
∴AB==5,因此,AB边上的中线的长度为AB=.
11.
(2020全国高一课时练习)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4
cm,CD=2
cm,∠DAB=30°,AD=3
cm,试画出它的直观图.
解第一步:如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在直线为x轴,A为原点,建立平面直角坐标系xOy;如图②所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°;
第二步:在图①中,过点D作DE⊥x轴,垂足为点E;在图②中,在x'轴上取A'B'=AB=4cm,A'E'=AE=≈2.598(cm),过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=ED==0.75(cm),再过点D'作D'C'∥x'轴,且使D'C'=DC=2cm;
第三步:连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.
能力提升练
1.(2020河南周口郸城实验高中高一月考)下列说法正确的是( )
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
答案D
解析A项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误.
B项,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段也不会平行,所以梯形的直观图不可能为平行四边形,故B项错误.
C项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行,所以矩形的直观图中对边仍然平行,所以矩形的直观图可能为平行四边形而不可能为梯形.故C项错误,故D项正确.
2.
(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)如图,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图为直角梯形O'A'B'C',且O'A'=2,O'C'=1,A'B'平行于y'轴,则这个平面图形OABC的面积为( )
A.5
B.5
C.
D.
答案B
解析
根据斜二测画法的规则可知,水平放置的平面图形OABC为直角梯形,由题意可知上底为OA=2,高为AB=2,下底为BC=2+1=3,所以这个平面图形OABC的面积为S=×(3+2)×2=5.
3.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为( )
A.2
B.4
C.2
D.4
答案D
解析设△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=2S直观图,所以×OB×h=2×O'B'×2,
又OB=O'B',所以h=4.
4.
如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
答案C
解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD,所以OC==6=OA,所以原图形是菱形.
5.
如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',在直观图中梯形的高为 ,面积为 .?
答案 2
解析因为OA=6,CB=2,所以OD=2.
又因为∠COD=45°,
所以CD=2.梯形的直观图如图,则C'D'=1.所以梯形的高C'E'=.面积为=2.
6.(2020黑龙江鸡西第一中学高一期末)如图是水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',则△AOB的周长是 .?
答案4+4
解析根据直观图画出原图如图所示,
根据原图和直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==2,所以△AOB的周长是4+2×2=4+4.
7.
如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形,那么原△ABC的面积为 .?
答案a2
解析法一:过C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于M'.
过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于D',则C'D'=a.
所以∠C'M'D'=45°,所以C'M'=a.
所以原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2.
法二:因为S△A'B'C'=×a×a=a2.
由S直观图=S原图得,
S△ABC=S△A'B'C'=a2=a2.
8.(2020全国高一课时练习)画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
解第一步:画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;
第二步:按x'轴、y'轴,画正六边形的直观图ABCDEF;
第三步:过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于棱AB的长;
第四步:顺次连接A',B',C',D',E',F',去掉辅助线及字母,将被遮挡的部分改为虚线,就得到所求作的正六棱柱的直观图.
素养培优练
一个圆锥的底面直径是1.6
cm,在它的内部有一个底面直径为0.7
cm,高为1
cm的内接圆柱.
(1)画出它们的直观图;
(2)求圆锥的母线长.
解(1)①画轴.取x轴、y轴、z轴,记坐标原点为O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°(如图①所示).
②画底面.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于1.6cm的圆的直观图.
③画内接圆柱.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于0.7cm的圆的直观图,然后在z轴上取线段OO'=1cm,过点O'作平行于x轴的x'轴,平行于y轴的y'轴,再以O'为中心,利用x'轴、y'轴画一个直径为0.7cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切.
④成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图②所示).
(2)设圆锥的高为h,则,解得h=.
所以圆锥的母线长为
l=.
