2021学年度高中数学选修2-3第一章计数原理双基精品试卷 计数原理（A）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2021学年度高中数学选修2-3第一章计数原理双基精品试卷 计数原理（A）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-23 11:57:15 | ||
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文档简介
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2021学年度高中数学选修2-3第一章计数原理双基精品试卷
计数原理（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
其中是排列问题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
3．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶?一个有害垃圾桶?一个厨余垃圾桶?一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E?F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
7．化简：（ ）
A． B． C． D．
8．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）种．
A．60 B．90 C．120 D．150
9．牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（ ）种．
A．444 B．1776 C．1440 D．1560
10．的所有可能的值是（ ）
A．7 B．4或7
C．7或11 D．4或7或11
11．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有（ ）条．
A．36 B．21 C．12 D．6
12．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192种 B．336种 C．600种 D．624种
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为________．
14．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个．
15．设常数，如果的二项展开式中项的系数为，那么______．
16．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，求：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（12分）名班委有种不同的职务，甲、乙、丙三人在名班委中，现对名班委进行职务具体分工．
（1）若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案?
（2）若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分工方案?
19．（12分）一条铁路有个车站，为适应客运需要，新增了个车站，且知，客运车票增加了62种，问原来有多少个车站?现在有多少个车站?
20．（12分）一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
21．（12分）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)
（1）个不同的小球放入个不同的盒子；
（2）个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）个不同的小球放入个不同的盒子，恰有个空盒．
22．（12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
（4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？
（答题要求：先列式，后计算，结果用具体数字表示．）
计数原理（A）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；
②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；
③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；
④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题，
故选B．
2．【答案】B
【解析】二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，故选B．
3．【答案】C
【解析】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法，
所以不同的摆放方法共有种，故选C．
4．【答案】A
【解析】由已知得，可知，故选A．
5．【答案】D
【解析】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，，
，
展开式中常数项为的常数项与含的系数和，
展开式的通项为，
令，得；令，无整数解，
展开式中常数项为，故选D．
6．【答案】D
【解析】当E，F排在前三位时，有种安排方案；
当E，F排在后三位时，有种安排方案：
当E，F排中间两位时，有种安排方案，
综上，不同的安排方案共有(种)，故选D．
7．【答案】B
【解析】，
故选B．
8．【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①、将5项工作分成3组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则将5项工作分成3组，有种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，
则有种不同的分组方法，故选D．
9．【答案】B
【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，
所以只需在生、史、地、政四选一有种；
然后对语文、外语排课进行分类，
第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共种；
第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择，语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，也可一科在上午任一节一科在下午第二节，其他三科可以全排列，共，
所以总共有种．
10．【答案】D
【解析】由组合数的条件可知，即，故n=2，3，4．
当时，；
当时，；
当时，，
故选D．
11．【答案】B
【解析】考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，故选B．
12．【答案】C
【解析】由题意，点E，F，G分别有4，3，2种涂法，
（1）当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法；
②若C与F不同，则D有2种涂色方法．
故此时共有种涂色方法；
（2）当A与G相同时，A有1种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法；
②若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法．
故此时共有种涂色方法；
（3）当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法．
①若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法；
②若B与F不同，则B有1种涂色方法，
（i）若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；
（ii）若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法，
故此时共有种涂色方法，
综上，共有种涂色方法，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】54
【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，
根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为．
14．【答案】
【解析】正方体的个顶点中任取个共有个，
不能组成四面体的个顶点有，已有个面，对角面有个，
所以，以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个，
故答案为．
15．【答案】
【解析】的二项展开式的通项公式，
令，解得，
∴，解得，
故答案为．
16．【答案】7
【解析】展开式中二项式系数的最大值为，
展开式中二项式系数的最大值为，
因为，所以，
即，解得．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】令，则①，
令，则②，
令，则③，
（1）②-①，得．
（2）(②-③)，得．
（3）(②+③)，得．
（4）．
18．【答案】（1）种；（2）种．
【解析】（1）先排正、副班长，有种方法，再安排其余职务有种方法，
由分步乘法计数原理知共有种不同的分工方案．
（2）人中任意分工，有种不同的分工方案，
甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种，
因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有种．
19．【答案】15；17．
【解析】原来个车站有车票种，新增了个车站，有车票种，
由题意得，即，
整理得，∴，
由从而有，∴．
又∵，解得，即，
当时，均不为整数，只有时，符合题意，
∴，故原来有15个车站，现在有17个车站．
20．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法．
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为．
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
21．【答案】（1）4096；（2）1560；（3）10；（4）2160．
【解析】（1）．
（2）．
（3）或．
（4）．
22．【答案】（1）100800个；（2）14400个；（3）5760个；（4）28800个．
【解析】（1）分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有种情况；
第二步在五个奇数中取四个，可有种情况；
第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有种情况，
所以符合题意的七位数有个．
（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有．
（3）上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有个．
（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空档，
共有个．
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2021学年度高中数学选修2-3第一章计数原理双基精品试卷
计数原理（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数
其中是排列问题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
3．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶?一个有害垃圾桶?一个厨余垃圾桶?一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E?F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）
A．240种 B．188种 C．156种 D．120种
7．化简：（ ）
A． B． C． D．
8．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）种．
A．60 B．90 C．120 D．150
9．牡丹江一中2019年将实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照17年北大高考招生选考科目要求物、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表有（ ）种．
A．444 B．1776 C．1440 D．1560
10．的所有可能的值是（ ）
A．7 B．4或7
C．7或11 D．4或7或11
11．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有（ ）条．
A．36 B．21 C．12 D．6
12．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192种 B．336种 C．600种 D．624种
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为________．
14．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个．
15．设常数，如果的二项展开式中项的系数为，那么______．
16．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，求：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（12分）名班委有种不同的职务，甲、乙、丙三人在名班委中，现对名班委进行职务具体分工．
（1）若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案?
（2）若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分工方案?
19．（12分）一条铁路有个车站，为适应客运需要，新增了个车站，且知，客运车票增加了62种，问原来有多少个车站?现在有多少个车站?
20．（12分）一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
21．（12分）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)
（1）个不同的小球放入个不同的盒子；
（2）个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）个相同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）个不同的小球放入个不同的盒子，恰有个空盒．
22．（12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
（4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？
（答题要求：先列式，后计算，结果用具体数字表示．）
计数原理（A）答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；
②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；
③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；
④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题，
故选B．
2．【答案】B
【解析】二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，故选B．
3．【答案】C
【解析】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有种选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法，
所以不同的摆放方法共有种，故选C．
4．【答案】A
【解析】由已知得，可知，故选A．
5．【答案】D
【解析】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，
，，
，
展开式中常数项为的常数项与含的系数和，
展开式的通项为，
令，得；令，无整数解，
展开式中常数项为，故选D．
6．【答案】D
【解析】当E，F排在前三位时，有种安排方案；
当E，F排在后三位时，有种安排方案：
当E，F排中间两位时，有种安排方案，
综上，不同的安排方案共有(种)，故选D．
7．【答案】B
【解析】，
故选B．
8．【答案】D
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①、将5项工作分成3组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则将5项工作分成3组，有种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，
则有种不同的分组方法，故选D．
9．【答案】B
【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三，且物、化必选，
所以只需在生、史、地、政四选一有种；
然后对语文、外语排课进行分类，
第1类：语文外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课任意一节，剩下的四科可全排列，共种；
第2类：语文外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择，语文和外语可都安排在上午，可以是上午第一、三，上午一、四、上午二、四节3种，也可一科在上午任一节一科在下午第二节，其他三科可以全排列，共，
所以总共有种．
10．【答案】D
【解析】由组合数的条件可知，即，故n=2，3，4．
当时，；
当时，；
当时，，
故选D．
11．【答案】B
【解析】考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，故选B．
12．【答案】C
【解析】由题意，点E，F，G分别有4，3，2种涂法，
（1）当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法；
②若C与F不同，则D有2种涂色方法．
故此时共有种涂色方法；
（2）当A与G相同时，A有1种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法；
②若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法．
故此时共有种涂色方法；
（3）当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法．
①若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法；
②若B与F不同，则B有1种涂色方法，
（i）若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；
（ii）若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法，
故此时共有种涂色方法，
综上，共有种涂色方法，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】54
【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，
根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为．
14．【答案】
【解析】正方体的个顶点中任取个共有个，
不能组成四面体的个顶点有，已有个面，对角面有个，
所以，以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个，
故答案为．
15．【答案】
【解析】的二项展开式的通项公式，
令，解得，
∴，解得，
故答案为．
16．【答案】7
【解析】展开式中二项式系数的最大值为，
展开式中二项式系数的最大值为，
因为，所以，
即，解得．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】令，则①，
令，则②，
令，则③，
（1）②-①，得．
（2）(②-③)，得．
（3）(②+③)，得．
（4）．
18．【答案】（1）种；（2）种．
【解析】（1）先排正、副班长，有种方法，再安排其余职务有种方法，
由分步乘法计数原理知共有种不同的分工方案．
（2）人中任意分工，有种不同的分工方案，
甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种，
因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有种．
19．【答案】15；17．
【解析】原来个车站有车票种，新增了个车站，有车票种，
由题意得，即，
整理得，∴，
由从而有，∴．
又∵，解得，即，
当时，均不为整数，只有时，符合题意，
∴，故原来有15个车站，现在有17个车站．
20．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法．
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为．
（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．
21．【答案】（1）4096；（2）1560；（3）10；（4）2160．
【解析】（1）．
（2）．
（3）或．
（4）．
22．【答案】（1）100800个；（2）14400个；（3）5760个；（4）28800个．
【解析】（1）分步完成：第一步在四个偶数中取三个，可有种情况；
第二步在五个奇数中取四个，可有种情况；
第三步三个偶数，四个奇数进行排列，可有种情况，
所以符合题意的七位数有个．
（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有．
（3）上述七位数中，三个偶数排在一起，四个奇数也排在一起的有个．
（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把四个奇数排好，再将三个偶数分别插入5个空档，
共有个．