(共31张PPT)
华师大版
八下数学
19.2.1菱形的性质
回顾旧知
平行四边形有哪些特征?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的特征?
平行四边形
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分
矩形
四个角是直角
对角线相等
试一试
将一张矩形的纸对折,再对折,然后沿着图中的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么样的图形?
四边形的四条边相等
探究新知
?
平行
四边形
矩形
有一个角是直角
有一组邻边相等
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
结论:这就是另一类特殊的平行四边形,即菱形.
总结
A
B
C
D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言:
注意:定义中的“平行四边形”
不能写成“四边形”。
观察
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
对角线互相平分且垂直
观察所示的菱形,将你的发现填入下表.
菱形有几条对称轴?
对称中心在哪里?
总结
如图,我们发现,菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴为它的对角线所在的直线.
由此,很容易猜想菱形所具有的特殊性质:
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直.
如何证明这两个猜想?
证明
已知:如图四边形ABCD是菱形
求证:菱形的四条边相等
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
(1)AB=BC=CD=DA
(2)AC⊥BD
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
求证:
证明(1)∵四边形ABCD是菱形
∴DA=DC(菱形的定义)
∵DA=BC,AB=DC
∴AB=BC=DC=DA
(2)在△DAC中,又∵AO=CO
∴DB⊥AC,
DB平分∠ADC(三线合一)
同理:DB平分∠ADC和∠ABC
AC平分∠DAB和∠DCB
归纳
A
B
C
D
O
(1)菱形具有平行四边形的一切性质;
(2)菱形的四条边都相等;
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
菱形的性质
例题解析
例1
如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小,并说明△ABC是等边三角形.
例题解析
解:
在菱形ABCD中,
∵∠B+∠BAD=180°,∠BAD=2∠B,
∴
∠B=60°
在菱形ABCD中,∵AB=BC(菱形的四条边都相等),∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
练一练
AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,试探究四边形AEDF是什么特殊四边形,说明理由.
理由如下:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形,
又∵AE∥DF,
∴∠1=∠3,而∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴AF=DF,
∴?AEDF为菱形.
解:平行四边形AEDF为菱形
例题解析
例2
如图,已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD=120°,对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
解
∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD,AB=AD(菱形的四条边都相等)
在△ABO和△ADO中,
∵AB=AD,AO=AO,OB=OD,
∴△ABO≌△ADO,
∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°
在△ABC中,∵AB=BC,∠BAC=60°,
∴△ABC为全等三角形,
∴AC=AB=2.
在菱形ABCD中,
∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),
∴△AOB为直角三角形,
∴BO===
∴BD=2BO=
(cm).
菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,已知
AB=5cm,
BO=4cm,则
对角线AC的长为____,
BD的长为_____
周长为_____
面积为_____
6cm
8cm
20cm
24cm2
练一练
例3
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分CD,垂足为点E.求∠BCD的大小.
例题解析
解
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD,
∴AC=AD,
∴AC=AD=DC=CB=BA,
即△ADC与△ABC都为等边三角形,
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°.
菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm,求菱形的周长和面积。
你有什么发现?
=4×
=4×
=
探究新知
菱形的面积公式
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
归纳
课堂练习
1.菱形具有的性质而矩形不一定具有的是( )
A.对角相等且互补 B.对角线互相平分
C.一组对边平行,另一组对边相等
D.对角线互相垂直
2.如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是( )
A.24
B.16
C.4
D.2
D
C
课堂练习
3、如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为
.
4.如图,四边形ABCD是菱形,AC=24,BD=10,DH⊥AB于点H,则线段BH的长为
.
(4,4)
课堂练习
5.如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?并说明理由.
(1)证明:连接AC,
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴BD垂直平分AC,
∴AE=EC;
(2)解:点F是线段BC的中点.
理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB,
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∵AE=EC,∴∠EAC=∠CEF=30°,
又∵∠BAF=∠BAC-∠EAC=30°=∠EAC,
∴AF是等边△ABC的角平分线,
∴BF=CF,∴点F是线段BC的中点.
6.
如图,已知菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC的长为8cm,求菱形的面积.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
解:∵菱形的周长为24cm,
∴AB=6cm,又AC=8cm,∴OA=4cm,
因为AC⊥BD,∴OB=
2(cm),
∴BD=4,
∴菱形ABCD的面积=AC·BD
=×8×4
=16(cm2)
课堂小结
菱形的判定:
(1)菱形具有平行四边形的一切性质;
(2)菱形的四条边都相等;
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
19.2.1菱形的性质导学案
课题
菱形的性质
单元
19
学科
数学
年级
八年级
知识目标
1.
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.
探索并证明菱形的性质定理.
3.
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
重点难点
重点:探索并证明菱形的性质定理.
难点:应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题
教学过程
知识链接
1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?
2.平行四边形和矩形之间的关系是什么?
合作探究
一、教材第110页
1.我们知道矩形是由平行四边形角的变化得到,如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
2.菱形的定义:有一组邻边_________的平行四边形叫做菱形.
二、教材第110页
按探究步骤剪下一个四边形:
①所得四边形为什么一定是菱形?
②菱形为什么是轴对称图形?
有
对称轴.
图中相等的线段有:
图中相等的角有:
三、教材第111页
你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?
,
。
四、教材第111页
例1
如图,在菱形ABCD中,∠BAD=2∠B,试求出∠B的大小,并说明△ABC是等边三角形.
五、教材第112页
例2
如图,已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD=120°,对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
六、教材第113页
例3
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分CD,垂足为点E.求∠BCD的大小.
自主尝试
1.如图,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是
(
)
A.10
B.12
C.15
D.20
2.
已知菱形的两条对角线分别为6
cm和8
cm,则这个菱形的高为( )
A.2.4
cm
B.4.8
cm
C.5
cm
D.9.6
cm
3.根据上图填一填:
(1)已知菱形ABCD的周长是12
cm,那么它的边长是
______.
(2)在菱形ABCD中,∠ABC=120
°,则∠BAC=_______.
(3)菱形ABCD的两条对角线长分别为6
cm和8
cm,则菱形的边长是_______.
(4)菱形的面积为64cm2,两条对角线的比为1∶2,则菱形最短的那条对角线长为______.
【方法宝典】
根据菱形的性质解题即可.
当堂检测
1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对角相等 B.对边相等 C.邻边相等 D.对边平行
2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )
A.25 B.20 C.15 D.10
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的边长是(
)
A.10cm
B.7cm
C.
5cm
D.4cm
4、菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为(
)
A.4:1
B.5:1
C.6:1
D.7:1
5.已知菱形的周长是12cm,那么它的边长是______.
6.菱形ABCD中∠ABC=60度,则∠BAC=_______.
7.如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD交于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于 .?
8.已知菱形两条对角线的长分别为12和16,则这个菱形的周长为 ,面积为 .?
9.如图,四边形ABCD是菱形,边长为10
cm,对角线AC,BD交于O,∠BAD=60°.
(1)求对角线AC,BD的长;
(2)求菱形的面积.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形,求证:BE=CE.
小结反思
通过本节课的学习,你们有什么收获?
参考答案:
当堂检测:
1.C 2.B 3、C
4、B
5、3cm
6、60度
7.4 8.40;96
9.
(1)在菱形ABCD中,AB=AD=10
cm,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=10
cm,
∴BO=BD=5
cm,
在Rt△AOB中,AO==5
cm,
∴AC=2AO=10(cm).
(2)菱形的面积为×10×10=50(cm2).
10.
∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,
∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BED=∠CEF,
在△DBE和△FCE中,
∴△DBE≌△FCE,∴BE=CE.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
(共
2
页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)