第一章三角形的证明单元测试卷（Word版 含答案）

第一章　三角形的证明单元测试卷
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．满足下列条件的三角形不是直角三角形的是( )
A．三个内角之比为3∶4∶5
B．三边之比为3∶4∶5
C．三个内角之比为1∶2∶3
D．三边之比为1∶2∶
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠BDC等于( )
A．44° B．60° C．67° D．77°
3．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是(　　)
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是(　　)
A．30° B．35° C．40° D．45°
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
7． 如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处测得灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(　　)
A．45海里 B．35海里
C．50海里 D．25海里
8．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是(　　)
A．直角三角形 B. 钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC＝3，BC＝4，则DE等于( )
A．2 B. C. D.
10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是(　　)
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11． 已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设__________．
12. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是__ __(填“真”或“假”)命题．
13． 如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是_________________．(只需写出一个)
14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．
15． 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．

16．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为______________
17．如图，圆柱形容器的高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_________．(容器厚度忽略不计)
18． 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是_____________．(填序号)
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分) 如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．(保留作图痕迹，不必写作法)
20．(8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO＝CO.
21．(8分) 如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且交角为90°，某仓库G设在A区，已知仓库到公路PQ与铁路MN的距离相等，且到点O的距离为200 m.
(1)请用尺规作图，按图中的比例标出仓库G的位置；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求出仓库G到铁路的实际距离．(精确到0.1 m)
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22．(10分) 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
23．(10分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
(1)作线段AB的垂直平分线DE，垂足为点E，交AC于点D，要求用尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不要求写作法和证明；
(2)连接BD，求∠CBD的度数；
(3)如果△BCD的面积为4，请求出△BAD的面积．
24．(10分) 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F.求证：
(1)BF＝AC；
(2)CE＝BF.
25．(12分) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.
(1)求点B的坐标．
(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．
参考答案
1-5 ACAAC 6-10BDDCD
11．∠B＝∠C 12．真 13．AC＝DF(答案不唯一) 14．45°　 15.2 16． 130°或90°
17. 1.3m 18. ①②③④
19．解：图略，过点D作∠CDF＝∠CBA，延长FD交线段BD的垂直平分线于点E，则DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．
20. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△BCE和△CBD中，∴△BCE≌△CBD(AAS)， ∴∠BCE＝∠CBD，∴BO＝CO.
21. 解：(1)仓库G的位置如图所示．
(2)过点G作DG⊥MN，垂足为D.由(1)得，OG平分∠QON. ∵∠QON＝90°，∴∠OGD＝∠GOD＝45°. ∴OD＝DG.∵DO2＋DG2＝40 000，解得OD＝DG＝100≈141.4 m. ∴仓库到铁路的实际距离约为141.4 m.
22．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6 cm，∴t＝＝3. ∴AP＝3 cm. ∴BP＝AB－AP＝3 cm＝AP. ∴点P为AB的中点．∴PQ⊥AB.
(2)能．∵∠B＝60°，∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．∴6－t＝2t，解得t＝2. ∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．
23. 解：(1)如图，DE为所作. (2)∵DE垂直平分AB, ∴DA＝DB, ∴∠DBA＝∠A＝30°， ∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，∴∠CBD＝∠ABC－∠DBA＝60°－30°＝30°.(3)在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴DB＝2CD, 而DA＝DB, ∴DA＝2CD，∴S△ABD＝2S△BCD＝8.
24. 解：(1)∵DH垂直平分BC，∴BD＝DC，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＋∠A＝∠ACD＋∠A＝90°，∴∠ABE＝∠ACD，∴△BDF≌△CDA(ASA)，∴BF＝AC.(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴CE＝AE＝AC，又∵AC＝BF，∴CE＝BF.
25．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C. ∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2. ∴∠BOC＝30°. 又∵∠OCB＝90°， ∴BC＝OB＝1，∴OC＝. ∴点B的坐标为(，1)．
(2)∠ABQ的大小始终不变．∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°. ∴∠PAO＝∠QAB. 在△APO与△AQB中，
∴△APO≌△AQB(SAS)．∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.
(3)如图②，当OQ∥AB时点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，∵AB∥OQ，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°. ∴∠OBQ＝30°. 又OB＝OA＝2，
∴OQ＝OB＝1，∴BQ＝. 由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝. ∴此时点P的坐标为(－，0)．