18.2.2菱形的性质与判定同步练习（Word版 含答案）

18.2.2菱形的性质与判定
一、选择题
1、下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
2、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，
则∠CAD的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
3、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　)
A. 16 B. 16 C. 8 D. 8
4、已知?ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使?ABCD
成为菱形的条件是(　　)
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③
5、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　）
A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD D．AD平分∠BAC
7、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8、如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
9、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，
则EP+FP的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10、如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（　　）个．
①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(　　)
A．20 B．24 C．40 D．48

12、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ．
13、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是　 ．
14、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　 　．
15、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2 cm，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为________
16、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为　 　．
17、如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；
③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是　 ．

18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：
①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；
⑤CH＝DF．其中正确的结论是　 　．
三、解答题
19、如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若AB＝6，BC＝10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．
20、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．
21、已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
22、如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．
23、如图，已知在△ADE中，∠ADE＝90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC＝AB，连结BD、CE．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AD＝8，BD＝6，求菱形BDCE的面积．
24、在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE 面积相等的三角形（△CDE除外）
25、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
26、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
（答案）
一、选择题
1、下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
【解析】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
2、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，
则∠CAD的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A.
3、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　)
A. 16 B. 16 C. 8 D. 8
【详解】在菱形ABCD中，有AB=AC
∵∠BAD＝120°,∴∠ABC=60°, ∴△ABC为等边三角形,即AB=AC=BC=4
作AE⊥BC于点E, ∴BE=2，AE=
∴S菱形ABCD=BC·AE=4×=
故选C

4、已知?ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使?ABCD
成为菱形的条件是(　　)
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①②③
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
①若AC=BD，可得四边形ABCD是矩形，故①错误，
②中∠BAD=90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误，
③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立，
④若AC⊥BD，则可得其为菱形，④成立，
故选C．
5、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，
故选：A．
6、如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　）
A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD D．AD平分∠BAC
【解析】解：添加AD平分∠BAC可判定四边形AEDF是菱形，
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形，故选：D．
7、如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【详解】∵由已知和平移的性质，△ABC、△DCE都是是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD,∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°.
∴△ACD是等边三角形.∴AD=AC=BC.故①正确；
由①可得AD=BC，
∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形. ∴BD、AC互相平分，故②正确.
由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确.
综上可得①②③正确，共3个. 故选D
8、如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，
∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，
故选：A．

9、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，
则EP+FP的最小值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3． 故选C．

10、如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（　　）个．
①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①如图，连接CF，
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，∴CFAB＝AF，∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，∴点E在AC的垂直平分线上，∴EF⊥AC，①正确；
②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥AD，∴AD∥EF，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，∴AG=AF=AB=AD，∴AD＝4AG，③正确；
④∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，AD＝FE，
∵AD＝BD，∴BD＝FE，
又∵AF＝FB，∴△DBF≌△EFA（SSS），④正确；
正确的结论有3个，故选：C．
二、填空题
11、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是(　　)
A．20 B．24 C．40 D．48

[解析] 由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝5，故这个菱形的周长＝4AB＝20.
12、如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ．
试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC=8，BD=6，∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，
∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积=AC?BD=AB?DH，即×6×8=5?DH，解得DH=4.8．
13、如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是　 ．
【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AD＝AB，CD＝CB，
∵AD＝BC，∴AD＝CD＝AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴①AD∥CB，正确；
②AC⊥BD，正确；
③AO＝OC，正确；
④AB不一定垂直于BC，错误．
故正确的是①②③．故答案为：①②③．
14、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　 　．
解：条件是AD＝BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥＝BC，GF∥＝BC，∴EH∥＝GF，∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD＝BC，这样，GH＝AD，
∴GH＝GF，∴四边形EFGH是菱形．
15、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2 cm，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为________
[解析] 由“边角边”可证明△ABE≌△ADF，则AE＝AF，故△AEF为等腰三角形．
根据菱形的性质与∠B＝60°，AB＝2 cm，可得∠BAE＝∠DAF＝30°，
所以∠EAF＝60°，AE＝ cm，所以△AEF为等边三角形且边长为 cm，
所以其周长为3 cm.
16、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为　 　．
【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，∴BD＝DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，
∴GF＝BG＝5，则AF＝13﹣5＝8，AC＝2×5＝10，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即82+CF2＝102，解得：CF＝6．
故答案是：6．
17、如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；
③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是　 ．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，
故答案为：①③④．
18、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：
①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；
⑤CH＝DF．其中正确的结论是　 　．
【解答】解：①∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠CAE＝90°，
∵AE⊥BC，∴∠C+∠CAE＝90°，∴∠BAE＝∠C，①正确；
②作AM∥BD交CB的延长线于M，如图所示：则∠M＝∠CBD，∠BAM＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠M＝∠BAM，∴AB＝BM，
∵AM∥BD，∴AG：GE＝BM：BE，∴AG：GE＝AB：BE，
∵S△ABG：S△EBG＝AG：GE，∴S△ABG：S△EBG＝AB：BE；②正确；
④∵∠AGD＝∠ABD+∠BAE，∠ADG＝∠CBD+∠C，∠BAE＝∠C，∠CBD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠ADG，∴AG＝AD，
∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，∴AD＝DF，∴AG＝DF，
∵AE⊥BC，∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
又∵AG＝AD，∴四边形AGFD是菱形；④正确；
⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD＝∠FGD，GF＝DF，∠ADB＝∠FDB，
∴∠AGB＝∠FGB，
在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG（AAS），∴∠BAE＝∠BFG，
∵∠BAE＝∠C，∴∠BFG＝∠C，∴GF∥CH，
∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形，∴GF＝CH，∴CH＝DF，⑤正确；
③∵∠ADF＝2∠ADB，
当∠C＝30°，∠CDF＝60°，则∠ADF＝120°，∴∠ADF＝2∠CDF；③不正确；
故答案为：①②④⑤．
三、解答题
19、如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若AB＝6，BC＝10，F为BC中点，求四边形AECF的面积．
【解答】证明：（1）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，且AD∥BC，DE＝BF，
∴AE＝CF，且AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF是菱形，
∴AO＝CO，
∵F为BC中点，
∴FO∥AB，FOAB＝3，
∴∠BAC＝∠FOC＝90°，EF＝6，
∵AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8，
∴S菱形AECF＝24．

20、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°．求AE的长．
【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，OCAC．∴DE＝OC．
∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，CE＝OD．
在Rt△ACE中，AE．
21、已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME．
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
（1）证明：因为EF∥AB，PM∥AC，所以四边形AEPM为平行四边形．
因为AB＝AC，AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠BAD，所以AD⊥BC因为∠BAD＝∠EPA，
所以∠CAD＝∠EPA，
因为EA＝EP，所以四边形AEPM为菱形．
（2）解：P为EF中点时，．
∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，
又EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．
作EN⊥AB于N，则
22、如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC，∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，
∵S△ABC＝BC?AH＝AB?AC，∴AH＝＝＝，
∵点E是BC的中点，BC＝5，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝，
∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，∴EF＝AH＝．
23、如图，已知在△ADE中，∠ADE＝90°，点B是AE的中点，过点D作DC∥AE，DC＝AB，连结BD、CE．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AD＝8，BD＝6，求菱形BDCE的面积．
【解答】（1）证明：在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，AB＝BE，∴DBAB＝AB＝BE，
∵DC∥BE，DC＝AB＝BE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD＝BE，∴四边形BECD是菱形．
（2）解：连接BC交DE于O．
∵四边形DBEC是菱形，∴BC⊥DE，
∴BO∥AD，∵AB＝BE，∴DO＝OE，
∴OBAD＝4，OD2，
∴BC＝8，DE＝4，∴S菱形BDCE?BC?DE＝16．
24、在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE 面积相等的三角形（△CDE除外）
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，
设AC、BD相交于点O，
又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，
在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．
25、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE．∴△AOF≌△COE．∴AF＝EC
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
在Rt△ABC中，，∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
26、如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．
（1）证明平行四边形ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连结BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．
【解答】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，
∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；
②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；
（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2，∴DMBD．
方法二：过M作MH⊥DF于H，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，
∴CE＝CF＝14﹣8＝6，
∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FHCF＝3，∴MHCE＝3，∴DH＝11，
∴DM．