18.1平行四边形同步练习（Word版 含答案）

平行四边形
一、选择题
1、下列关于判定平行四边形的说法错误的是（　　）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形 D．四条边相等的四边形
2、在?ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（　　）
A．AD＝DF B．AF⊥DE C．AE＝DF D．AE＝DE
3、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC
4、如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上的点，且BA＝BE．若∠ABC＝80°，则∠BAE的大小是（　　）
A．30° B．40° C．70° D．80°
5、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD＞AB，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为20，则△CDE的周长是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
6、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（　　）
A．9° B．18° C．27° D．36°
7、如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则　　
A． B． C． D．
8、已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为　　
A． B． C． D．
9、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，BE＝1，将△CBE沿CE翻折，使B点的对应点B′刚好落在对角线AC上，将△ADF沿AF翻折，使D点的对应点D′也恰好落在对角线AC上，连接EF，则EF的长为( )
A．6　 B．　　C．3　　D．2

10、如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
12、如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝6cm，
则AD的长是_____cm．

14、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，AE∶DE＝4∶3，则下列结论中正确的有 个.
①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2；④AC＝3cm.

15、如图，矩形中，相交于点，平分交于，若，求=
16、如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AM⊥BC，垂足为M，AB=2，BD=6，AC=2，则AM的长为__________．
17、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为_____．

18、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为______．
19、如图，矩形ABCD中，BC=6，AB=3，R在CD边上，且CR=2，P为BC上一动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为______．

20、正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，
则的最小值是　　．

21、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为　 　．
22、如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为　　．
三、解答题
23、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果AE＝EF＝FC，请直接写出图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形．
24、如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、．
求证：四边形是菱形．
25、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
26、如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）判断与的大小关系？并说明理由；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．
27、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
一、选择题
1、下列关于判定平行四边形的说法错误的是（　　）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形 D．四条边相等的四边形
【解答】解：A、一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、四条边相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
2、在?ABCD中，AF平分∠BAD交CD于点F，DE平分∠ADC交AB于点E，则下列说法中不正确的是（　　）
A．AD＝DF B．AF⊥DE C．AE＝DF D．AE＝DE
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，∠AFD＝∠FAB，∠ADC+∠DAB＝180°，
∵AF平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠DAF＝∠FAB∠DAB，∠ADE＝∠CDE∠ADC，
∴∠DAF＝∠AFD，∠ADE＝∠AED，
∴AD＝DF，AE＝AD，
∴AE＝DF，故A、C选项正确，不符合题意；
∴∠DAF+∠ADE∠DAB∠ADC（∠DAB+∠ADC）＝90°，
∴AF⊥DE，故B选项正确，不符合题意；
故选：D．
3、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC
【答案】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
4、如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上的点，且BA＝BE．若∠ABC＝80°，则∠BAE的大小是（　　）
A．30° B．40° C．70° D．80°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝40°，
∵BA＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
5、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD＞AB，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为20，则△CDE的周长是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为20，∴AD+CD＝10，
∵OE⊥AC，∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝10．
故选：A．
6、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（　　）
A．9° B．18° C．27° D．36°
【答案】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．
故选：B．
7、如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，
∵AE＝2cm，∴OE＝2，∴OD＝OB＝2OE＝4；
故选：C．
8、已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】解：∵MC＝MD＝AD＝CD，∴△MDC是等边三角形，
∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADM＝30°，
∴∠MAD＝∠AMD＝75°，∴∠BAM＝15°，
同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
故选：D．
9、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，BE＝1，将△CBE沿CE翻折，使B点的对应点B′刚好落在对角线AC上，将△ADF沿AF翻折，使D点的对应点D′也恰好落在对角线AC上，连接EF，则EF的长为( B )
A．6　 B．　　C．3　　D．2

10、如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE?DE＝5，则正方形的面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
∵OE＝2，∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，∴NE＝ON＝2，
∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，∴a+b＝4，
∵CE?DE＝5，∴CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×5＝6．∴S正方形ABCD＝6．
故选：B．
11、如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，∴FG⊥CE，∴EF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，∴CE⊥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
∵S△CEFCE?BE，S△BCECE?FGCE?（AE+CD）CE?（AE+AB）CE?（2AE+BE），
而2AE+BE不一定等于2BE， ∴S△CEF不一定等于S△BCE，故错误④．
故选：B．
12、如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，
∵AF是∠BAD的平分线，∴∠FAB＝45°，∴∠AFB＝45°，
∴∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
∵AD，AB＝1，∴tan∠ADB，∴∠ADB＝30°，∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∵AB＝BO，∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，∴AC＝CH，∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，∴DE＝EODOBD，即BE＝3ED，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个． 故选：C．
二、填空题
13、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝6cm，
则AD的长是_____cm．

解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，
又∵点E是AB的中点，∴OE=AD，
∵OE=6cm，∴AD=12cm，故答案为12
14、如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，AE∶DE＝4∶3，则下列结论中正确的有 4 个.
①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2；④AC＝3cm.

15、如图，矩形中，相交于点，平分交于，若，求=
【解析】∵四边形是矩形
∴
∵平分，所以
∴
∵
所以为等边三角形
∴所以
∴
16、如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AM⊥BC，垂足为M，AB=2，BD=6，AC=2，则AM的长为__________．
解析：∵平行四边形对角线互相平分，∴AO=OC=1，BO=OD=3，且AB=，
∵，∴∠BAO=90°，即△BAC为直角三角形，
∴
∴，
解得：，故答案为：．
17、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为_____．

解析：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝4，
在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，
设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝3﹣x，DG＝x，
∴CG＝4﹣x，BG＝4﹣（3﹣x）＝1+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即32+（4﹣x）2＝（x+1）2，解得：x＝2.4，∴AP＝2.4；
故答案为：2.4．
18、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为______．
解析：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC, AB∥CD,，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．
∵AR?BC＝AS?CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
在Rt△AOB中，OA＝3cm，OB＝4cm，∴AB＝＝5（cm）．故答案是：5cm．

19、如图，矩形ABCD中，BC=6，AB=3，R在CD边上，且CR=2，P为BC上一动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P从B向C移动时，线段EF的长度为______．

解析：如图，连接AR．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，
∵BC＝6，AB＝3，CR＝2，∴AD＝6，DR＝1，
∴AR＝，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF＝AR＝，故答案为：．
20、正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，
则的最小值是　　．

【答案】解：如图连接AE交BD于P点，则AE就是PE+PC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝5，
∵AB＝12，
∴AE＝＝13，
∴PE+PC的最小值是13．
故答案为：13．
21、如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为　 　．
【解答】解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，
∵平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝4，∴∠CBH＝45°，BC＝4，
又∵∠H＝90°，∴∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝4，
设AE＝x，则BE＝8﹣x，
∵EF垂直平分AC，∴CE＝AE＝x，
∵在Rt△CEH中，CH2+EH2＝EC2，∴42+（8﹣x+4）2＝x2，解得x=，
∴AE的长为． 故答案为：．
22、如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为　　．
【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J．
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，
∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，
∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，
∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，
∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，
∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，
∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，
故答案为：+3．
三、解答题
23、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果AE＝EF＝FC，请直接写出图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形．
【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵AE＝EF＝FC，
∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF，
图中所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形为△ADF，△CDE，△ABF，△CBE．
24、如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、．
求证：四边形是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，且∠AEG＝∠BFG，∠AGE＝∠BGF
∴△AGE≌△BGF（AAS）；∴AE＝BF，
∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．
25、如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
26、如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）判断与的大小关系？并说明理由；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO＝FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠4＝×180°＝90°．
即∠ECF＝90度，∴平行四边形AECF是矩形．
（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB＝90°时，四边形AECF会是正方形，
理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝45°，∴AC⊥MN，
∴四边形AECF是正方形．
27、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CEAB48，
∴CE+CG＝8是定值．