18.2.3正方形的性质与判定同步练习（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 18.2.3正方形的性质与判定同步练习（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 875.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-22 19:46:29 | ||
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文档简介
18.2.3正方形的性质与判定
一、选择题
1、下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
2、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
3、如图,已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BP=BC,则∠BCP的度数是( )
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
4、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
5、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
6、如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．75° C．65° D．60°
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（ ）
A．（1，2.5） B．（1，1+） C．（1，3） D．（﹣1，1+）
8、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，
正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
9、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
10、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E， 连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE 于点P．
若AE=AP=1，PB=．下列结论：①APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+． 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
二、填空题
11、如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
12、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,
则阴影部分的面积是 ?
13、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，
则在下列推理不成立的是
A、①④?⑥； B、①③?⑤； C、①②?⑥； D、②③?④
14、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，
则正方形ABCD的边长为_____．
15、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，
那么CH的长是 ．
16、如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝3，若四边形EFGH面积是10，
则正方形ABCD的面积为 ．
17、如图,正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,
则PE+PC的最小值是 .?
18、如图，以的斜边为边，向外作正方形，设正方形的对角线与的交点为O，连接，若，，则的值是__________．
19、已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
20、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，
下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．
其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题
21、正方形中，对角线、交于点O，E为上一点，延长到点N，使，连接、．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，正方形的边长为6，求的长．
22、如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
23、如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
24、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
26、（1）尝试探究：
如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于．
①求证：；
②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，
并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长．
一、选择题
1、下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选：B．
2、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析： 添加①可得平行四边形ABCD是菱形, 添加②可得平行四边形ABCD是矩形,
添加③可得平行四边形ABCD是矩形,添加 ④可得平行四边形ABCD是菱形,
所以选②③不能使得平行四边形ABCD是正方形. 故选B
3、如图,已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BP=BC,则∠BCP的度数是( )
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
解析： ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=45°.
∵BP=BC,∴∠BCP=∠BPC=(180°-45°)=67.5°.故选C
4、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
5、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【解析】在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，∴OA=AC==．
故选：C．
6、如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．75° C．65° D．60°
【解析】∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF＝90°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣62°﹣43°＝75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D＝75°（平行四边形对角相等）．
故选：B．
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（ ）
A．（1，2.5） B．（1，1+） C．（1，3） D．（﹣1，1+）
解：过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，
∴AO＝BC，DE＝EF＝BF，∠AOC＝∠DEF＝∠BFE＝∠BCF＝90°，
∴∠OEF+∠EFO＝∠BFC+∠EFO＝90°，∴∠OEF＝∠BFO，
∴△EOF≌△FCB（ASA），∴BC＝OF，OE＝CF，∴AO＝OF，
∵E是OA的中点，∴OE＝OA＝OF＝CF，
∵点C的坐标为（3，0），∴OC＝3，
∴OF＝OA＝2，AE＝OE＝CF＝1，
同理△DHE≌△EOF（ASA），∴DH＝OE＝1，HE＝OF＝2，
∴OH＝2，∴点D的坐标为（1，3），故选：C．
8、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】①正确，连接PC，可得PC＝EF，PC＝PA，∴AP＝EF；
②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN＝∠BAP＝∠PCE＝∠PFE，可得AP⊥EF；
③正确；∠PFE＝∠PCE＝∠BAP；
④错误，PDPFCE；⑤正确，PB2+PD2＝2PA2．
故选：B．
9、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE, ∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
10、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E， 连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE 于点P．
若AE=AP=1，PB=．下列结论：①APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+． 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，
又，，（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=，
又，， ∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD
⑤∵EF=BF=，∴在Rt△ABF中，，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，（故⑤正确）
故选：D．
二、填空题
11、如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
【解析】∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
12、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,
则阴影部分的面积是 2 ?
13、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，
则在下列推理不成立的是
A、①④?⑥； B、①③?⑤； C、①②?⑥； D、②③?④
【解答】解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
14、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，
则正方形ABCD的边长为_____．
解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中 ，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，∴BC=2．故答案为：2．
15、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，
那么CH的长是 ．
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，
故答案为：．
16、如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝3，若四边形EFGH面积是10，
则正方形ABCD的面积为 ．
【解析】∵AB＝BC＝CD＝AD，AE＝BF＝CG＝DH＝3，∴BE＝CF＝DG＝AH，
∵四边形EFGH面积＝（AH+3）23×AH3×DG3×CF3×BE＝10，
∴AH＝BE＝CF＝DG＝1，∴AD＝AH+DH＝4，
∴正方形ABCD的面积＝4×4＝16，
故答案为：16．
17、如图,正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,
则PE+PC的最小值是 .?
18、如图，以的斜边为边，向外作正方形，设正方形的对角线与的交点为O，连接，若，，则的值是__________．
【详解】如图所示：作垂足为F，的延长线，垂足为G，则四边形AFOG为矩形，
四边形BCDE是正方形，OB=OC，，
S
四边形AFDG为正方形
故答案为：．
19、已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6， ∴BF＝＝10，∴GH＝5，故答案为：5
20、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，
下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．
其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，①正确．∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°②正确，
∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF， ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，∴AC=，
∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，
∵S△CEF=，S△ABE==，∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有4个，故选C．
三、解答题
21、正方形中，对角线、交于点O，E为上一点，延长到点N，使，连接、．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，正方形的边长为6，求的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，
在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；
∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，
∴△CAN为直角三角形；
（2）∵正方形的边长为6，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴．
22、如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．
∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
23、如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
【解答】证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O
∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，
∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE
∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF，∴EF＝FC＝CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形
（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，
理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°
∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC，∴∠BCO＝75°，∴∠ACE＝45°，
∵四边形EFCD是菱形，∴∠FCD＝2∠ACE＝90°，∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB
∴CP＝3，BPCP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝66
∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE=AE＝33
24、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
25、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
【解析】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AO=AC，BO=BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴AO＝BO，∠AOB＝90°．
在直角△AOB中，由勾股定理知：AB=3，∴AO＝BO＝3．
∴EO＝OB+BE＝6．
在△AOE中，∠AOE＝90°，AE===3．
∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF．
∴四边形AECF的周长＝4AE＝12．∴四边形AECF的周长是12．
26、（1）尝试探究：
如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于．
①求证：；
②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，
并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长．
解：（1）①如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠DCB=∠ECF=90°，∴∠DCE=∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（ASA）．
②结论：PE=PF．
理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF，∴CE=CF，
∵PC=PC，∠PCE=∠PCF，∴△PCE≌△PCF（SAS），∴PE=PF．
（2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°，
∵EH⊥AD，∴∠DEH=∠A=90°，∴EH∥AF，DE=EH=2，
∵△CDE≌△CBF，∴DE=BF=2，∴EH=BF，
∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB，∴△EMH≌△FMB（AAS），
∵EM=FM，
∵CE=CF，∴PC垂直平分线段EF， ∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，
在Rt△APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2，
∴x=3，∴PB=3．
一、选择题
1、下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
2、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
3、如图,已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BP=BC,则∠BCP的度数是( )
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
4、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
5、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
6、如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．75° C．65° D．60°
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（ ）
A．（1，2.5） B．（1，1+） C．（1，3） D．（﹣1，1+）
8、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，
正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
9、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
10、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E， 连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE 于点P．
若AE=AP=1，PB=．下列结论：①APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+． 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
二、填空题
11、如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
12、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,
则阴影部分的面积是 ?
13、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，
则在下列推理不成立的是
A、①④?⑥； B、①③?⑤； C、①②?⑥； D、②③?④
14、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，
则正方形ABCD的边长为_____．
15、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，
那么CH的长是 ．
16、如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝3，若四边形EFGH面积是10，
则正方形ABCD的面积为 ．
17、如图,正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,
则PE+PC的最小值是 .?
18、如图，以的斜边为边，向外作正方形，设正方形的对角线与的交点为O，连接，若，，则的值是__________．
19、已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
20、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，
下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．
其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题
21、正方形中，对角线、交于点O，E为上一点，延长到点N，使，连接、．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，正方形的边长为6，求的长．
22、如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
23、如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
24、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
26、（1）尝试探究：
如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于．
①求证：；
②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，
并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长．
一、选择题
1、下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形
解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选：B．
2、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析： 添加①可得平行四边形ABCD是菱形, 添加②可得平行四边形ABCD是矩形,
添加③可得平行四边形ABCD是矩形,添加 ④可得平行四边形ABCD是菱形,
所以选②③不能使得平行四边形ABCD是正方形. 故选B
3、如图,已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点,且BP=BC,则∠BCP的度数是( )
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
解析： ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC=45°.
∵BP=BC,∴∠BCP=∠BPC=(180°-45°)=67.5°.故选C
4、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
5、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【解析】在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，∴OA=AC==．
故选：C．
6、如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．75° C．65° D．60°
【解析】∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF＝90°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣62°﹣43°＝75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D＝75°（平行四边形对角相等）．
故选：B．
7、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（3，0），则点D的坐标为（ ）
A．（1，2.5） B．（1，1+） C．（1，3） D．（﹣1，1+）
解：过D作DH⊥y轴于H，
∵四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，
∴AO＝BC，DE＝EF＝BF，∠AOC＝∠DEF＝∠BFE＝∠BCF＝90°，
∴∠OEF+∠EFO＝∠BFC+∠EFO＝90°，∴∠OEF＝∠BFO，
∴△EOF≌△FCB（ASA），∴BC＝OF，OE＝CF，∴AO＝OF，
∵E是OA的中点，∴OE＝OA＝OF＝CF，
∵点C的坐标为（3，0），∴OC＝3，
∴OF＝OA＝2，AE＝OE＝CF＝1，
同理△DHE≌△EOF（ASA），∴DH＝OE＝1，HE＝OF＝2，
∴OH＝2，∴点D的坐标为（1，3），故选：C．
8、如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】①正确，连接PC，可得PC＝EF，PC＝PA，∴AP＝EF；
②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN＝∠BAP＝∠PCE＝∠PFE，可得AP⊥EF；
③正确；∠PFE＝∠PCE＝∠BAP；
④错误，PDPFCE；⑤正确，PB2+PD2＝2PA2．
故选：B．
9、如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD＝∠HCD，∵∠ABE＝∠DCE, ∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，故②正确；
∵AD∥BC，∴S△BDE＝S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE＝S△CHD，故③正确；
∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD＝∠CHD，∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确；
故选：B．
10、已知：如图，在正方形ABCD外取一点E， 连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE 于点P．
若AE=AP=1，PB=．下列结论：①APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+． 其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，
又，，（故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=，
又，， ∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD
⑤∵EF=BF=，∴在Rt△ABF中，，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，（故⑤正确）
故选：D．
二、填空题
11、如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
【解析】∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
12、如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,
则阴影部分的面积是 2 ?
13、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；
③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，
则在下列推理不成立的是
A、①④?⑥； B、①③?⑤； C、①②?⑥； D、②③?④
【解答】解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
14、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，
则正方形ABCD的边长为_____．
解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中 ，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，∴BC=2．故答案为：2．
15、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，
那么CH的长是 ．
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，
故答案为：．
16、如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝3，若四边形EFGH面积是10，
则正方形ABCD的面积为 ．
【解析】∵AB＝BC＝CD＝AD，AE＝BF＝CG＝DH＝3，∴BE＝CF＝DG＝AH，
∵四边形EFGH面积＝（AH+3）23×AH3×DG3×CF3×BE＝10，
∴AH＝BE＝CF＝DG＝1，∴AD＝AH+DH＝4，
∴正方形ABCD的面积＝4×4＝16，
故答案为：16．
17、如图,正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,
则PE+PC的最小值是 .?
18、如图，以的斜边为边，向外作正方形，设正方形的对角线与的交点为O，连接，若，，则的值是__________．
【详解】如图所示：作垂足为F，的延长线，垂足为G，则四边形AFOG为矩形，
四边形BCDE是正方形，OB=OC，，
S
四边形AFDG为正方形
故答案为：．
19、已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6， ∴BF＝＝10，∴GH＝5，故答案为：5
20、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，
下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．
其中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，①正确．∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°②正确，
∵BC=CD，∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF， ∵AE=AF，∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，∴AC=，
∴AB=，∴BE=﹣x=，∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，
∵S△CEF=，S△ABE==，∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有4个，故选C．
三、解答题
21、正方形中，对角线、交于点O，E为上一点，延长到点N，使，连接、．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，正方形的边长为6，求的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，
在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；
∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，
∴△CAN为直角三角形；
（2）∵正方形的边长为6，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴．
22、如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF∥GB，EG∥BF．
∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，
∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．
23、如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝ 度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．
【解答】证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O
∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，
∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE
∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF，∴EF＝FC＝CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形
（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，
理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°
∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC，∴∠BCO＝75°，∴∠ACE＝45°，
∵四边形EFCD是菱形，∴∠FCD＝2∠ACE＝90°，∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB
∴CP＝3，BPCP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝66
∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE=AE＝33
24、如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
25、如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
【解析】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．
∵BE＝DF，∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AO=AC，BO=BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴AO＝BO，∠AOB＝90°．
在直角△AOB中，由勾股定理知：AB=3，∴AO＝BO＝3．
∴EO＝OB+BE＝6．
在△AOE中，∠AOE＝90°，AE===3．
∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF．
∴四边形AECF的周长＝4AE＝12．∴四边形AECF的周长是12．
26、（1）尝试探究：
如图1，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于．
①求证：；
②过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，
并证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图2，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，求的长．
解：（1）①如图1中，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，
∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，∴∠DCB=∠ECF=90°，∴∠DCE=∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（ASA）．
②结论：PE=PF．
理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF，∴CE=CF，
∵PC=PC，∠PCE=∠PCF，∴△PCE≌△PCF（SAS），∴PE=PF．
（2）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=6，∠A=90°，∠EDH=45°，
∵EH⊥AD，∴∠DEH=∠A=90°，∴EH∥AF，DE=EH=2，
∵△CDE≌△CBF，∴DE=BF=2，∴EH=BF，
∵∠EHM=∠MBF，∠EMH=∠FMB，∴△EMH≌△FMB（AAS），
∵EM=FM，
∵CE=CF，∴PC垂直平分线段EF， ∴PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，
在Rt△APE中，则有（x+2）2=42+（6-x）2，
∴x=3，∴PB=3．