2.2乘法公式培优训练（Word版 含答案）

2.2乘法公式培优训练
一、选择题
1．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　）
A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67
2．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2）
C． D．（2x﹣3y）（2x+3y）
3．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x＞y），则下列关系式中错误的是（　　）
A．4xy+9＝64 B．x+y＝8 C．x﹣y＝3 D．x2﹣y2＝9
4．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（　　）
A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
5．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）
A．205 B．250 C．502 D．520
6．计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（　　）
A．1﹣a4 B．1+a4 C．1﹣2a2+a4 D．1+2a2+a4
7．已知a﹣b＝1，ab＝12，则a+b等于（　　）
A．7 B．5 C．±7 D．±5
8．已知x+y＝3，xy＝2，则|x﹣y|的值为（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
9．若（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，则整式M为（　　）
A．﹣4xy B．2xy C．﹣2xy D．4xy
10．已知a+3b＝2，则a2﹣9b2+12b的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
11．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和15，则正方形A，B的面积之和为　 　．
12．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝10，ab＝20，则四边形ABCD的面积为　 　．
13．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式　 　．
14．已知（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，则ab＝　 　．
15．一个长方形的长减少3cm，同时宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的长是　 　，宽是　 　．
16．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为　 　．
17．若4y2﹣my+25是一个完全平方式，则m＝　 　．
18．计算：（a+b﹣c）2＝　 　．
19．若n是正整数，且x2n＝5，则（2x3n）2÷（4x2n）＝　 　．
20．已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣3）的值为　 　．
三、解答题
21．利用乘法公式计算：
（1）198×202；
（2）（2y+1）（﹣2y﹣1）．
22．计算：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）．
23．已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，分别求x2+y2和xy的值．
24．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．
25．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积　 　
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用字母表示）
【应用】请应用这个公式完成下列各题
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　
②计算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）
【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1结果的个位数字为　 　
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12
26．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）图2所表示的数学等式为　 　；
（2）利用（1）得到的结论，解决问题：若a+b+c＝12，a2+b2+c2＝60，求ab+ac+bc的值；
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，D三点在同一直线上，连接AE，EG，若两正方形的边长满足a+b＝15，ab＝35，求阴影部分面积．
27．乘法公式的探究及应用：
（1）如图，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成两数平方差的形式）；
（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：　 　（用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
参考答案
1．解：把a+b＝10两边平方得：
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
把ab＝11代入得：
a2+b2＝78，
∴原式＝78﹣11＝67，
故选：C．
2．解：A、原式＝b2﹣a2，本选项不合题意；
B、原式＝﹣（m2+n2）2，本选项符合题意；
C、原式＝q2﹣p2，本选项不合题意；
D、原式＝4x2﹣9y2，本选项不合题意，
故选：B．
3．解：A、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；
B、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；
C、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；
D、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；
故选：D．
4．解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故选：B．
5．解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
6．解：（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝（1﹣a2）（1+a2）＝1﹣a4．
故选：A．
7．解：∵a﹣b＝1，ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a﹣b）2+4ab＝1+48＝49，
∴a+b＝±7，
故选：C．
8．解：∵x+y＝3，xy＝2，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×2＝1．
∴x﹣y＝±1，
∴|x﹣y|＝1．
故选：B．
9．解：因为（2x﹣y）2+M＝4x2+y2，（2x﹣y）2+4xy＝4x2+y2，
所以M＝4xy，
故选：D．
10．解：因为a+3b＝2，
所以a2﹣9b2+12b＝（a+3b）（a﹣3b）+12b＝2（a﹣3b）+12b
＝2a﹣6b+12b＝2a+6b＝2（a+3b）＝2×2＝4，故选：C．
11．解：如图所示：
设正方形A、B的边长分别为x，y，依题意得：
，
化简得：
由①+②得：
x2+y2＝18，
∴，
故答案为18．
12．解：根据题意可得，四边形ABCD的面积
＝（a2+b2）﹣﹣b（a+b）
＝（a2+b2﹣ab）
＝（a2+b2+2ab﹣3ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]；
代入a+b＝10，ab＝20，可得：
四边形ABCD的面积＝（10×10﹣20×3）÷2＝20．
故答案为：20．
13．解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
14．解：∵（a+b）2＝1，（a﹣b）2＝49，
∴a2+2ab+b2＝1，a2﹣2ab+b2＝49，
两式相减，可得4ab＝﹣48，
∴ab＝﹣12．
故答案为：﹣12．
15．解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得，，
解得：．
故答案为：9cm，4cm．
16．解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝，
∴S阴影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2+b2﹣a×﹣b×
＝a2+b2﹣（a+b）2＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2＝100﹣40﹣25＝35，
故答案为：35．
17．解：∵4y2﹣my+25是一个完全平方式，
∴（2y）2±2?2y?5+52，
即﹣my＝±2?2y?5，
∴m＝±20，
故答案为：±20．
18．解：原式＝[（a+b）﹣c]2
＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2
＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
故答案为：a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．
19．解：∵n是正整数，且x2n＝5，
∴（2x3n）2÷（4x2n）＝4x6n÷（4x2n）＝（4÷4）x6n﹣2n＝x4n＝（x2n）2＝52＝25．
故答案为：25．
20．解：∵
∴由①得4xy＝10y，③
由②得25xy＝10x，④
∴③×④得4xy?25xy＝10y?10x，即（4×25）xy＝10x+y，
∴（102）xy＝10x+y，
∴102xy＝10x+y，
∴2xy＝x+y
（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣3）＝xy﹣2x﹣2y+4+3xy﹣9
＝4xy﹣2（x+y）﹣5＝4xy﹣2×2xy﹣5＝﹣5
故答案为：﹣5．
21．解：（1）原式＝（200﹣2）（200+2）＝2002﹣22＝40000﹣4＝39996；
（2）原式＝﹣（2y+1）2＝﹣（4y2+2×2y×1+12）＝﹣（4y2+4y+1）＝﹣4y2﹣4y﹣1．
22．解：（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）＝（x﹣3）2﹣y2＝x2﹣6x+9﹣y2．
23．解：∵（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝25，
∴两式相加，得（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝34，
则x2+y2＝17；
两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy＝﹣16，
则xy＝﹣4．
24．解：（1）设x﹣2004＝a，x﹣2007＝b，
∴a2+b2＝31，a﹣b＝3，
∴﹣2（x﹣2004）（x﹣2007）＝﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝9﹣31＝﹣22，
∴（x﹣2004）（x﹣2007）＝11；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，
∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
∴（x﹣1）?（x﹣3）＝48，
∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
25．解：（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；
图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．
（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【应用】①∵4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）
∴（2m﹣n）＝12÷4＝3
故答案为：3．
②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）＝[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]
＝4a2﹣（b﹣c）2＝4a2﹣b2+2bc﹣c2
【拓展】①
原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1＝（216﹣1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264
∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4＝16
故答案为：6．
②原式＝（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050
26．解：（1）由图可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）由（1）可得：＝＝42；
（3）＝
＝＝＝＝95．
27．解：（1）由图可得，阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）＝（2m）2﹣（n﹣p）2＝4m2﹣（n2﹣2np+p2）
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．