2020-2021学年人教版九年级数学下册 第27章 相似 同步单元训练卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版九年级数学下册 第27章 相似 同步单元训练卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 244.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-22 22:12:04 | ||
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文档简介
人教版九年级数学下册
第27章
相似
同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．下列四组图形中，一定相似的是(
)
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
2．已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
4．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为(
)
A．10＋或5＋2
B．15
C．10＋
D．15＋3
5．如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，则A，B两村间的距离为(
)
A．50米
B．60米
C．70米
D．80米
6.
在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(
)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
7．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME交AD的延长线于点E，且ME⊥AM.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为(
)
A．18
B．
C．
D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为(
)
A.
B.
C.
D．6
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(
)
A．4
B．2
C．3
D．2.5
10．．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．比例尺为1∶4000
000的地图上，两城市间的图上距离为3
cm，则这两城市间的实际距离为________km.
12.
如果＝，那么＝________.
13．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为____________________．
14．如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝__
__．
15．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是__
__．
16．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝_________.
17．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__
__里．
18．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为_________．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)
如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝55°，∠E＝120°，DC＝20，HE＝15，HG＝21.
(1)写出它们相等的角及对应边的比例式；
(2)求∠D，∠F的大小和AD的长．
20．(8分)
如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，AF＝4，AB＝6.求AD的长.
21．(8分)
如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD:BD＝1:3.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE＝2，求BC的长．
22．(10分)
如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC边上一点，试问BP为何值时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？
23．(10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1)求证AH·AB＝AC2；
(2)过点A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证AE·AF＝AC2.
24．(10分)
边长为2
的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A，C不重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ.连接QP，QP与BC交于点E.QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F.
(1)连接CQ，求证：CQ＝AP；
(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，CE＝BC；
(3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
25．(12分)
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.
(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为__
__，线段EA，EB，EC的数量关系为__
__；
(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝2，请直接写出△BDE的面积．
参考答案
1-5DDCAC
6-10BBCAD
11.120
12.
13.
(2，1)或(－2，－1)
14．1
15.
16.
17.
1.05
18.
(8，0)
19.
解：(1)∠A＝∠G，∠B＝∠F，∠C＝∠E，∠D＝∠H，＝＝＝.(2)∠D＝115°，∠F＝55°，AD＝28.
20.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝①.∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD.∴＝②.由①与②，得＝，∴AD2＝AF·AB＝4×6＝24.∴AD＝2.
21.
(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.
(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴＝.
∵AD:BD＝1:3，∴AD:AB＝1:4，∴＝.
又DE＝2，∴BC＝4DE＝8.
22.
解：分两种情况：①当＝时，△ABP∽△DCP.设BP＝x，则CP＝14－x.∴＝，解得x＝5.6.即当BP＝5.6时，△ABP∽△DCP.②当＝时，△ABP∽△PCD.设BP＝x，则CP＝14－x.∴＝，解得x1＝2，x2＝12.综上所述，当BP＝5.6或BP＝2或BP＝12时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似．
23．证明：(1)连接BC.
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝.
∴∠ACD＝∠ABC.
又∵∠CAH＝∠BAC，∴△ACH∽△ABC.
∴＝.
即AH·AB＝AC2.
(2)连接CF.
∵＝，∴∠ACE＝∠F.
又∵∠CAF＝∠EAC，
∴△ACE∽△AFC.
∴＝.
即AE·AF＝AC2.
24.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，由旋转性质可知BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠ABP＝∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴CQ＝AP.
(2)∵正方形的边长为2
，∴AC＝4.
∵△ABP≌△CBQ，∴∠BAP＝∠BCQ＝45°，PC＝4－x.
又∠ACB＝45°，∴∠PCQ＝90°.∵CQ＝AP＝x，则：在Rt△PCQ中，PQ＝＝＝.
在Rt△PBQ中，PB＝·＝.
∵∠BPE＝∠BCP＝45°，∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽CBP，∴＝，即＝
∴y＝－x2＋x.当y＝时，＝－x2＋x，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.
∴当x为1或3时，CE＝BC.
(3)PF与EQ的数量关系为PF＝EQ.证明略．
25.
解：(1)∵BA＝BC，DA＝DE，∠ABC＝∠ADE＝60°，∴△ABC，△ADE都是等边三角形，∴DA＝EA，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE.又∵∠ACE＋∠ABE＝90°，∴∠ABD＋∠ABE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2＋BE2.又∵EA＝DE，BD＝EC，∴EA2＝BE2＋EC2
(2)EA2＝EC2＋2BE2.理由如下：∵BA＝BC，DA＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝45°，∴＝，＝，∴∠DAB＝∠EAC，＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠ACE＝∠ABD.∵∠ACE＋∠ABE＝90°，∴∠ABD＋∠ABE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2＋BE2.又∵EA＝DE，BD＝EC，∴EA2＝EC2＋BE2，∴EA2＝EC2＋2BE2
(3)如图，∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝135°.又∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝135°.又∵∠ADE＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∴BD＝BE，∴DE＝BD.∵EC＝BD，∴AD＝DE＝EC.设AD＝DE＝EC＝x，∵AB＝BC＝2，∴AC＝2.∵AD2＋DC2＝AC2，∴x2＋4x2＝40，∴x＝2(负根已经舍弃)，∴AD＝DE＝2，∴BD＝BE＝2，∴S△BDE＝BD·BE＝×2×2＝2
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精品试卷·第
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页
（共
2
页）
第27章
相似
同步单元训练卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．下列四组图形中，一定相似的是(
)
A.正方形与矩形 B.正方形与菱形
C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
2．已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
4．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为(
)
A．10＋或5＋2
B．15
C．10＋
D．15＋3
5．如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，则A，B两村间的距离为(
)
A．50米
B．60米
C．70米
D．80米
6.
在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(
)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
7．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME交AD的延长线于点E，且ME⊥AM.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为(
)
A．18
B．
C．
D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为(
)
A.
B.
C.
D．6
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(
)
A．4
B．2
C．3
D．2.5
10．．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．比例尺为1∶4000
000的地图上，两城市间的图上距离为3
cm，则这两城市间的实际距离为________km.
12.
如果＝，那么＝________.
13．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为____________________．
14．如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝__
__．
15．如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是__
__．
16．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝_________.
17．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__
__里．
18．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为_________．
三．解答题（7小题，共66分）
19．(8分)
如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝55°，∠E＝120°，DC＝20，HE＝15，HG＝21.
(1)写出它们相等的角及对应边的比例式；
(2)求∠D，∠F的大小和AD的长．
20．(8分)
如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，AF＝4，AB＝6.求AD的长.
21．(8分)
如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD:BD＝1:3.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE＝2，求BC的长．
22．(10分)
如图，已知AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC边上一点，试问BP为何值时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似？
23．(10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H.
(1)求证AH·AB＝AC2；
(2)过点A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证AE·AF＝AC2.
24．(10分)
边长为2
的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A，C不重合)，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ.连接QP，QP与BC交于点E.QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F.
(1)连接CQ，求证：CQ＝AP；
(2)设AP＝x，CE＝y，试写出y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，CE＝BC；
(3)猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
25．(12分)
在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.
(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为__
__，线段EA，EB，EC的数量关系为__
__；
(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝2，请直接写出△BDE的面积．
参考答案
1-5DDCAC
6-10BBCAD
11.120
12.
13.
(2，1)或(－2，－1)
14．1
15.
16.
17.
1.05
18.
(8，0)
19.
解：(1)∠A＝∠G，∠B＝∠F，∠C＝∠E，∠D＝∠H，＝＝＝.(2)∠D＝115°，∠F＝55°，AD＝28.
20.
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝①.∵EF∥CD，∴△AEF∽△ACD.∴＝②.由①与②，得＝，∴AD2＝AF·AB＝4×6＝24.∴AD＝2.
21.
(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.
(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴＝.
∵AD:BD＝1:3，∴AD:AB＝1:4，∴＝.
又DE＝2，∴BC＝4DE＝8.
22.
解：分两种情况：①当＝时，△ABP∽△DCP.设BP＝x，则CP＝14－x.∴＝，解得x＝5.6.即当BP＝5.6时，△ABP∽△DCP.②当＝时，△ABP∽△PCD.设BP＝x，则CP＝14－x.∴＝，解得x1＝2，x2＝12.综上所述，当BP＝5.6或BP＝2或BP＝12时，以A，B，P为顶点的三角形与以P，C，D为顶点的三角形相似．
23．证明：(1)连接BC.
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝.
∴∠ACD＝∠ABC.
又∵∠CAH＝∠BAC，∴△ACH∽△ABC.
∴＝.
即AH·AB＝AC2.
(2)连接CF.
∵＝，∴∠ACE＝∠F.
又∵∠CAF＝∠EAC，
∴△ACE∽△AFC.
∴＝.
即AE·AF＝AC2.
24.
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，由旋转性质可知BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠ABP＝∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴CQ＝AP.
(2)∵正方形的边长为2
，∴AC＝4.
∵△ABP≌△CBQ，∴∠BAP＝∠BCQ＝45°，PC＝4－x.
又∠ACB＝45°，∴∠PCQ＝90°.∵CQ＝AP＝x，则：在Rt△PCQ中，PQ＝＝＝.
在Rt△PBQ中，PB＝·＝.
∵∠BPE＝∠BCP＝45°，∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽CBP，∴＝，即＝
∴y＝－x2＋x.当y＝时，＝－x2＋x，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.
∴当x为1或3时，CE＝BC.
(3)PF与EQ的数量关系为PF＝EQ.证明略．
25.
解：(1)∵BA＝BC，DA＝DE，∠ABC＝∠ADE＝60°，∴△ABC，△ADE都是等边三角形，∴DA＝EA，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE.又∵∠ACE＋∠ABE＝90°，∴∠ABD＋∠ABE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2＋BE2.又∵EA＝DE，BD＝EC，∴EA2＝BE2＋EC2
(2)EA2＝EC2＋2BE2.理由如下：∵BA＝BC，DA＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝45°，∴＝，＝，∴∠DAB＝∠EAC，＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠ACE＝∠ABD.∵∠ACE＋∠ABE＝90°，∴∠ABD＋∠ABE＝90°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2＋BE2.又∵EA＝DE，BD＝EC，∴EA2＝EC2＋BE2，∴EA2＝EC2＋2BE2
(3)如图，∵∠AED＝45°，∴∠AEC＝135°.又∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝135°.又∵∠ADE＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∴BD＝BE，∴DE＝BD.∵EC＝BD，∴AD＝DE＝EC.设AD＝DE＝EC＝x，∵AB＝BC＝2，∴AC＝2.∵AD2＋DC2＝AC2，∴x2＋4x2＝40，∴x＝2(负根已经舍弃)，∴AD＝DE＝2，∴BD＝BE＝2，∴S△BDE＝BD·BE＝×2×2＝2
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