2020-2021学年人教版八年级下册数学第18章18.2特殊的平行四边形同步习题练（word解析版）

2020-2021学年人教版八年级下册数学第18章18.2特殊的平行四边形同步习题练
一、单选题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一个角是直角的平行四边形是正方形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）．
A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
3．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
4．如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则平行四边形ABCD是矩形
B．若，则平行四边形ABCD是正方形
C．若，则平行四边形ABCD是矩形
D．若，则平行四边形ABCD是正方形
5．如图，以为斜边的和位于直线的同侧，连接．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
7．如图，三个正方形围成一个直角三角形，、分别为所在正方形的面积，则图中字母所代表的正方形面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（?? ）
A．????????????????????????????????????B．1???????????????????????????????????? C．???????????????????????????????????? D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形
二、填空题
11．已知菱形的一个内角为，其中较长的对角线为，则另一条对角线的长为_________．
12．在中，，为斜边中点，，则______．
13．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点P是直线BC一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在平面上的点E处，连结AE、PE．若P、E、D三点在一直线上，则BP＝_________．
14．如图，矩形ABCD将△DEC沿DE折叠得到△DC1E．若DC1平分∠ADE，则∠BEC1的度数是______．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点M、N分别是BC、CD上任意一点，点P是BD上一点，连接PM、PN，则PM＋PN的最小值为________．
16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2?，则AB的长为_____．
三、解答题
17．如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G，
求证：BE＝FG．
18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）若点F是PB的中点，连接AF，当PB＝PQ时．
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
19．已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分、平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．
20．如图，四边形ABCD中，∠B=60°，AC=BC，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60°得CF，且点F在AD上．
（1）求证：AF=BE；
（2）若AE=DF，求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若BC=2，求四边形AFCE的面积．
21．如图，已知正方形的边长为3，菱形的三个顶点E、G、H分别在正方形的边、、上，，连接．
（1）当时，求证：菱形为正方形；
（2）设，请用x的代数式表示的面积；
（3）当时，求的度数．
22．如图①，在长方形ABCD中，已知AB=20，AD=12，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，设点D关于AP的对称点为点E．
（1）如图②，射线PE恰好经过点B，试求此时t的值．
（2）当射线PE与边AB交于点Q时，
①请直接写出AQ长的取值范围：　 ；
②是否存在这样的t的值，使得QE=QB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确；
故选：C．
2．A
【详解】
解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等；
平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选：A．
3．A
【详解】
解：∵分别是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的周长为，
故选：A．
4．C
【详解】
解：A、若AB=AD，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
B、若AB=AD，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
C、若AB⊥BC，则?ABCD是矩形，选项说法正确；
D、若AC⊥BD，则?ABCD是菱形，选项说法错误；
故选：C．
5．C
【详解】
取AB的中点O，连结OD，OC，
∵和的斜边为AB，
∴，，
∴，
∴，，，
在四边形ABCD中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
故选：Ｃ．
6．C
【详解】
解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG，
在正方形ABCD中，AB=AD，
，
，
，
，
，
，
，
又，
(SAS)，
，
设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2，
在中，，
，
解得，x=3，
，
，
故选：C．
7．A
【详解】
设的边长为，直角三角形斜边的长为，另一直角边为，
则，，
如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：
，
故选：A．
8．A
【详解】
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=AB×CM=AC×BC，
∴CM==，
∴CP=EF=CM=1.2，
故选：A．
9．D
【详解】
解：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠ABC=90°，矩形ABCD的面积=4×2=8，
∴∠DCF=∠BAE，
在△DCF和△BAE中， ，
∴△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF=BE，∠DFC=∠BEA，
∴∠DFE=∠BEF，
延长BE交AD于G，延长DF交BC于H，作FM⊥BE于M，CN⊥BE于N，则FM∥CN，
∴DF∥BE，
∵AE=EF=FC，
∴△BCE的面积= ×8= ，
∵AE=EF=FC，
∴AG=DG=1，BH=CH=1，
∴BG= = ，
∴BE= BG= ，
∵ BE?CN= ，
∴CN= ，
∵FM∥CN，EF=FC，
∴FM= CN= ，
故选择：D．
10．D
【详解】
A．∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵O为BD的中点
∴
在与中
∴
∴
∵
∴四边形DEBF为平行四边形，故A选项正确；
B．假设
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
则当时，
∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF为矩形，故B选项正确；
C．∵，
∴E是AB中点
∵
∴
∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF为菱形，故C选项正确；
D．当时与时矛盾，则DE不垂直于AB，则四边形DEBF不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项错误，
故选：D．
11．3
【详解】
如图所示菱形ABCD，由题意得，
∵，
∴，
在中，
，
OA=，
由勾股定理得即，
解得，
∴．
12．4
【详解】
∵∠ABC=90°，D为斜边AC的中线，
∵AC=8，
∴ ，
故答案为：4．
13．7+2或7﹣2
【详解】
解：由折叠的性质可得：，，，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=7，AB=CD=5，AD∥BC，
当点P在线段BC上时，且P、E、D三点在一条直线上时，如图所示：
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
解得：（不符合题意，舍去）；
当点P在线段BC外时，且P、E、D三点在一条直线上时，如图所示：
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴，
综上所述：当P、E、D三点在一条直线上时，或；
故答案为或．
14．60°
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
由折叠可知：△DCE≌△DC?E，
∴∠DEC=∠DEC?，∠CDE=∠C?DE，
∵DC?平分∠ADE，
∴∠ADC?=∠C?DE，
∴∠CDE=∠C?DE=∠ADC?，
∵∠CDE+∠C?DE+∠ADC?=∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠C?DE=∠ADC?=30°，
∴∠DEC=∠DEC?=90°-30°=60°，
∴ ∠BEC?=180°-∠DEC-∠DEC?=60°，
故答案为：．
15．6
【详解】
如图，作点N关于BD对称的点N′，过点N′作N′M⊥BC于点M，
∴MN′与BD的交点P即满足PM＋PN的值最小，
∴MN′＝AB·sin∠ABC＝4×＝6．
故答案为：6．
16．8
【详解】
解：连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，作AN⊥EM于N，
∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°，
∴AD∥BC，AD=BC=AB
∴∠EAM=120°，∠DMG=∠HCG，
∵G为DH中点，
∴DG=HG，
∵∠MGD=∠CGH，
∴△DMG≌△HCG，
∴DM=HC，CG=MG,
∵H为BC中点，
∴,
∴AM=，
∵E为AB中点，
∴AE=，
∴AE=AM，
∵F为CE中点，G为CM中点，
∴FG为△CEM中位线，
∴,
∵AE=AM，∠EAM=120°，AN⊥EM，
∴EN=EM=，∠AEN=30°，
∴AE=2AN=4，
∴AB=2AE=8．
故答案为：8
17．
【详解】
证明：如图，连接DE，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
∵在△ABE和△ADE中，

∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，
∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC＝90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∴DE＝FG，
∴BE=FG．
18．【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠ECQ＝90°＝∠D．
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE．
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE ；
(2)①证明：①∵PB=PQ，
∴∠PBQ=∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE=QE，
∵PF=BF，
∴是的中位线，
∴EF∥BQ，
∴在Rt△PAB中，AF=PF=BF，
∴∠APF=∠PAF，
∴∠PAF=∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②四边形AFEP不是菱形；
理由：
设PD＝x，则AP＝1－x．由(1)可知△PDE≌△QCE，
∴CQ＝PD＝x，
∴BQ＝BC＋CQ＝1＋x，
∵点E，F分别是PQ，PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线，
∴EF＝BQ＝，
由①可知AP＝EF，即1－x＝，
解得：x＝，
∴PD＝，AP＝
在Rt△PDE中，DE＝，
则PE＝＝，
∴AP≠PE，
∴四边形AFEP不是菱形．
19．
【详解】
证明：（1）∵平分、平分
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵点为的中点，
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵平分、平分，
∴，
∴
∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
20．
【详解】
(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.
∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF,
∴∠ECB=∠ACF.
在△BCE和△ACF中,
∴△BCE≌△ACF(SAS),
∴AF=BE.
(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°,
∴AF∥BC.
∵AF=BE,AE=DF,
∴AD=AB.
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=BC,
∴?ABCD是菱形.
(3)∵△BCE≌△ACF,
∴四边形AFCE的面积=△AFC的面积+△ACE的面积
=△BEC的面积+△ACE的面积
=△ABC的面积,
∵△ABC是一个等边三角形且BC=2,
∴四边形AFCE的面积=×2×2×=3.
21．
【详解】
解：（1）在正方形中，
，
．
又，
在和中，
，，，
，
．
，．
所以菱形是正方形；
（2）如图1，过点作交所在直线于，联结．
，
．
，
．
，
在和中，
，．
．
．
即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值1，
；
（3）如图2，当时，
在中，，根据勾股定理得，；
，
在中，根据勾股定理得，，
过点作于，
在中，根据勾股定理得，，
，
为等边三角形．
．
22．（1）t=2；（2）①12≤AQ≤20；②存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为3.6或10．
【详解】
（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DPA=∠PAB，
由轴对称得：∠DPA=∠EPA，
∴∠EPA=∠PAB，
∴BP=AB=20，
在Rt△PCB中，由勾股定理得：PC==16，
∴PD=4=2t，
∴t=2；
（2）①由（1）可知：当t=2时，Q与B重合，此时AQ=AB=20，
如图2，当PQ⊥AB时，E与Q重合，此时AQ=AD=12，
∴12≤AQ≤20，
故答案为：12≤AQ≤20；
②存在，分两种情况：
当点E在矩形ABCD内部时，如图3，
∵QE=PQ﹣PE=PQ﹣DP=PQ﹣2t，
∵QE=QB，PQ=AQ，
∴QB=AQ﹣2t，
∵AQ+BQ=AB=20，
∴AQ+AQ﹣2t=20，
∴AQ=10+t，
在Rt△EQA中，AQ=10+t，QE=AQ﹣2t=10-t，AE=12，
∴，
解得：t=3.6；
当点E在矩形ABCD的外部时，如图4，
∵QE=PE﹣PQ=DP﹣PQ=2t﹣PQ，
∵QE=QB，PQ=AQ，
∴BQ=2t﹣AQ，
∴AB﹣AQ=2t﹣AQ，
∴AB=2t，
∴t==10（此时P与C重合），
综上，存在这样的t值，使得QE=QB，t的值为3.6或10．