2020-2021学年九年级数学北师大版下册第一章 解直角三角形的实际应用 同步专题练习题(word版含答案）

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第一章
解直角三角形的实际应用
同步专题练习题
一、选择题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB＝2米，梯子与地面夹角α的正弦值sinα＝0.8.梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为(
)
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
2．如图，钓鱼竿AC长6
m，露在水面上的鱼线BC长3
m，某钓鱼者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3
m，则鱼竿转过的角度是(
)
A．60°
B．45°
C．15°
D．90°
3．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF＝27°(点A，B，C，D，E在同一平面内)．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么建筑物AB的高度约为(参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)(
)
A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
4．我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里，则山东舰从A到B航行了(
)海里．(精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73)
A．20.8
B．30
C．30.8
D．31.8
二、填空题
5．如图，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河的两岸平行)．他们在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，CD＝80
m，则河宽AB约为______m.(结果保留整数，参考数据：≈1.73)
为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°.若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为_____米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414)
7．数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池(AB⊥BD，CD⊥BD)，一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，另一同学在C点测得E点的俯角为45°(点B，E，D在同一直线上)，两个同学已经在学校资料室查出楼高AB＝15
m，CD＝20
m，则两幢教学楼之间的距离BD约为_____m.(结果精确到0.1
m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
8．襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一，某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121
m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5
m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.则塔冠BE的高度约为_____m.(结果精确到0.1
m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41)．
9．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为_____米．(结果保留根号)
10.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高为_____米．
三、解答题
11．如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
(1)求A与C之间的距离；
(2)求天线BE的高度．(参考数据：≈1.73，结果保留整数)
12．我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里．求山东舰从A到B航行了多少海里？(精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73)
13．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3
m的标语牌，即CD＝3
m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2
m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5
m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由．(图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)
14．位于河南省登封市境内的元代观星台是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16
m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6
m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1
m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6
m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
15．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414
m，AB＝300
m，求出点D到AB的距离．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
16．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F，G，D，B在同一水平直线上，且EF，CD，AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)
参考答案
2020-2021学年北师大版九年级数学下册第一章
解直角三角形的实际应用
同步专题练习题
一、选择题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB＝2米，梯子与地面夹角α的正弦值sinα＝0.8.梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为(C)
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
2．如图，钓鱼竿AC长6
m，露在水面上的鱼线BC长3
m，某钓鱼者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3
m，则鱼竿转过的角度是(C)
A．60°
B．45°
C．15°
D．90°
3．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF＝27°(点A，B，C，D，E在同一平面内)．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么建筑物AB的高度约为(参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)(B)
A．65.8米
B．71.8米
C．73.8米
D．119.8米
4．我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里，则山东舰从A到B航行了(A)海里．(精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73)
A．20.8
B．30
C．30.8
D．31.8
二、填空题
5．如图，九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB(这段河的两岸平行)．他们在C点测得∠ACB＝30°，D点测得∠ADB＝60°，CD＝80
m，则河宽AB约为69m.(结果保留整数，参考数据：≈1.73)
6．为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°.若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为10.4米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414)
7．数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池(AB⊥BD，CD⊥BD)，一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，另一同学在C点测得E点的俯角为45°(点B，E，D在同一直线上)，两个同学已经在学校资料室查出楼高AB＝15
m，CD＝20
m，则两幢教学楼之间的距离BD约为36.7m.(结果精确到0.1
m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
8．襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一，某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121
m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5
m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.则塔冠BE的高度约为6.8m.(结果精确到0.1
m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41)．
9．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为(39＋9)米．(结果保留根号)
10.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高为2米．
三、解答题
11．如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
(1)求A与C之间的距离；
(2)求天线BE的高度．(参考数据：≈1.73，结果保留整数)
解：(1)∵在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝25米．
∵CD＝5米，
∴AC＝AD＋CD＝25＋5＝30(米)．
答：A与C之间的距离为30米．
(2)在Rt△ACE中，∠C＝60°，AC＝30米，
∴AE＝AC·tanC＝30
米．
∵AB＝25米，
∴BE＝AE－AB＝30－25≈27(米)．
答：天线BE的高度约为27米．
12．我国第一艘国产航空母舰山东舰2019年12月17日在海南三亚某军港交付海军，中国海军正式迈入双航母时代．如图，在一次海上巡航任务中，山东舰由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东54°方向，再航行一段距离到达B处，测得小岛C位于它的北偏东30°方向，且与山东舰相距30海里．求山东舰从A到B航行了多少海里？(精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73)
解：过C作CD⊥AB交其延长线于点D，
由题可知∠BCD＝30°，∠ACD＝54°，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝30°，∠BDC＝90°，BC＝30，
∴BD＝15，CD＝15.
在Rt△ACD中，
∵∠ACD＝54°，∠BDC＝90°，CD＝15，
tan∠ACD＝，
∴AD＝CD·tan∠ACD＝CD·tan54°≈15×1.38≈35.81(海里)．
∴AB＝AD－BD＝35.81－15＝20.81≈20.8(海里)．
答：山东舰从A到B航行约20.8海里．
13．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3
m的标语牌，即CD＝3
m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2
m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5
m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由．(图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内，参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)
解：能，理由如下：
延长EF交CH于点N，则∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF.
设DN＝x
m，
则NF＝CN＝(x＋3)m，
∴EN＝5＋(x＋3)＝(x＋8)m，
在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，
则DN＝EN·tan∠DEN，
∴x≈0.6(x＋8)，解得x＝12.
∴DH＝DN＋NH＝12＋1.2＝13.2(m)．
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2
m.
14．位于河南省登封市境内的元代观星台是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16
m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6
m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1
m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6
m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
解：(1)过点A作AD⊥PM于点D，延长BC交AD于点E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝16
m，DE＝CN＝BM＝1.6
m.
∵∠AEB＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形．∴CE＝AE.
设AE＝CE＝x
m，则BE＝(16＋x)m.
∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝≈0.40.
∴x≈10.7.
∴AD＝10.7＋1.6＝12.3(m)．
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3
m.
(2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6
m，
∴本次测量结果的误差为12.6－12.3＝0.3(m)．
减小误差的合理化建议为：多次测量取平均值．
15．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414
m，AB＝300
m，求出点D到AB的距离．(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
解：过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形EBFD是矩形．
设DE＝x，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝，∴AE＝＝.
∴BE＝300－.
又∵BF＝DE＝x，∴CF＝414－x.
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝414－x.
又∵BE＝DF，∴300－＝414－x，
解得x＝214.
答：点D到AB的距离是214
m.
16．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F，G，D，B在同一水平直线上，且EF，CD，AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)
解：过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5.
在Rt△ACH中，
∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD.
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5.
∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°.
由题意，得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG.
∴＝，即＝.
解得BD＝17.5.
∴AB＝17.5＋0.5＝18(m)．
答：这棵古树的高度AB为18
m.