2020-2021学年 北师大版九年级数学下册第一章 1.4解直角三角形 同步练习题（word版含答案）

2020-2021学年度北师大版九年级数学下册第一章
1.4解直角三角形
同步练习题
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB于点D.若tanC＝，AD＝8，则AB的长为(
)
A.
B．10
C.
D．12
2．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为(
)
A.
B.
C.
D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为(
)
A.
B.
C.
D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.设∠ABC＝α，则下列结论错误的是(
)
A．BC＝
B．CD＝ADtanα
C．BD＝ABcosα
D．AC＝ADcosα
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD.若cos∠BDC＝，则BC的长是(
)
A．10
B．8
C．4
D．2
二、填空题
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝6，则∠B＝____．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则tan∠ABO＝____．
8．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是____．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是____．
三、解答题
10．已知在△ABC中，∠A是锐角，AB＝c，BC＝a，CA＝b.
(1)如图1，当∠A＝30°，b＝6，c＝3时，S△ABC＝____，bc·sinA＝____；
(2)如图2，当∠A＝45°，b＝6，c＝3时，S△ABC＝____，bc·sinA＝____；
(3)如图3，当∠A＝60°，b＝4，c＝3时，S△ABC＝____，bc·sinA＝____；
(4)根据(1)，(2)，(3)题的解答，猜想S△ABC与bc·sinA的大小关系，并给出证明．
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
(1)已知a＝6，b＝2；
(2)已知a＝24，c＝24.
12.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
(1)已知∠A＝60°，c＝4；
(2)已知cosA＝，c＝20(角度精确到1°)．
13.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素(其中至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：
(1)观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是____
(2)如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
14.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求CD的长．
参考答案
2020-2021学年度北师大版九年级数学下册第一章
1.4解直角三角形
同步练习题
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB于点D.若tanC＝，AD＝8，则AB的长为(B)
A.
B．10
C.
D．12
2．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为(B)
A.
B.
C.
D．2
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为(C)
A.
B.
C.
D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.设∠ABC＝α，则下列结论错误的是(
B
)
A．BC＝
B．CD＝ADtanα
C．BD＝ABcosα
D．AC＝ADcosα
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD.若cos∠BDC＝，则BC的长是(D)
A．10
B．8
C．4
D．2
二、填空题
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝6，则∠B＝60°．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则tan∠ABO＝．
8．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是15－5．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是8．
三、解答题
10．已知在△ABC中，∠A是锐角，AB＝c，BC＝a，CA＝b.
(1)如图1，当∠A＝30°，b＝6，c＝3时，S△ABC＝4.5，bc·sinA＝4.5；
(2)如图2，当∠A＝45°，b＝6，c＝3时，S△ABC＝，bc·sinA＝；
(3)如图3，当∠A＝60°，b＝4，c＝3时，S△ABC＝3，bc·sinA＝3；
(4)根据(1)，(2)，(3)题的解答，猜想S△ABC与bc·sinA的大小关系，并给出证明．
解：S△ABC＝bc·sinA.证明：
作△ABC的高CD，
在Rt△ABC中，
∵CD＝AC·sinA＝bsinA，
∴S△ABC＝AB·CD＝c·bsinA＝bc·sinA.
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
(1)已知a＝6，b＝2；
(2)已知a＝24，c＝24.
解：(1)∵在Rt△ABC中，tanA＝，
∴tanA＝＝.
∴∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°.
∴c＝2b＝2×2＝4.
(2)在Rt△ABC中，根据勾股定理有b2＝c2－a2，
∵a＝24，c＝24，
∴b＝24.
∴tanA＝＝1.
∴∠A＝∠B＝45°.
12.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.根据下列条件求出直角三角形的其他元素．
(1)已知∠A＝60°，c＝4；
(2)已知cosA＝，c＝20(角度精确到1°)．
解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵sinB＝，∴b＝4×sin30°＝2.
∵sinA＝，∴a＝4×sin60°＝6.
(2)∵∠C＝90°，cosA＝，
∴b＝c·cosA＝20×＝12.
∴a＝＝16.
∵cosA＝，∴∠A≈53°.
∴∠B＝90°－∠A≈90°－53°＝37°.
13.在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素(其中至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：
(1)观察图①～图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是③④；
(2)如图⑤，在△ABC中，已知∠A＝37°，AB＝12，AC＝10，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ADC中，∠A＝37°，
∴CD＝AC·sinA＝10×sin37°≈10×0.60＝6，AD＝AC·cosA＝10×cos37°≈10×0.80＝8.
∴BD＝AB－AD≈12－8＝4.
∴在Rt△CDB中，
BC＝≈＝2.
14.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，求CD的长．
解：延长AD和BC交于点E.
∵在Rt△ABE中，tanA＝＝，
∴BE＝AB·tanA＝4.
∴EC＝BE－BC＝4－2＝2.
∵∠E＋∠DCE＝90°，∠E＋∠A＝90°，
∴∠DCE＝∠A.
∴在Rt△CDE中，tan∠DCE＝tanA＝＝.
∴设DE＝4x，则DC＝3x.
在Rt△CDE中，EC2＝DE2＋DC2，
∴4＝16x2＋9x2，解得x＝.
∴CD＝.