第2课时
平行四边形对角线的性质
能力提升卷解析版
知识点一：
平行四边形的对角线互相平分
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC
B．AD∥BC，AB∥DC
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB∥DC，AD＝BC
【解答】解：A、当AB＝DC，AD＝BC，可得四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、当AD∥BC，AB∥DC时，可得四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、当OA＝OC，OB＝OD时，可得四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
D、当AB∥DC，AD＝BC时，不能判断四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形；故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，则△OAB的周长为（ ）
A．12
B．13
C．15
D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝10，AB＝6，
∴OAAC＝4，OBBD＝5，
∴△OAB的周长为：AB+OA+OB＝6+4+5＝15．
故选：C．
3．平行四边形的两条对角线将它分成4个小三角形，则这4个小三角形的面积（ ）
A．都不相等
B．不都相等
C．都相等
D．结论不确定
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD，
∴S△AOB＝S△COD，
∵△AOB与△BOC等底同高，
∴S△AOB＝S△BOC，
同理：S△AOB＝S△AOD，
∴S△AOB＝S△COD＝S△BOC＝S△AOD．
故选：C．
4．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【解答】解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，∠BAO＝90°，OA＝3
∴BO5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
5．若平行四边形的两条对角线长是8cm和16cm，则这个平行四边形的一边长可以是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．12cm
【解答】解：∵平行四边形的两条对角线长是8cm和16cm，
∴平行四边形两条对角线的一半分别为4cm，8cm，
设另一边长为x，
4＜x＜12，
各选项中在这个范围内的有8cm．
故选：C．
6．将平行四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点A与点B的坐标分别是（﹣2，﹣1），（，﹣1），则点C和点D的坐标分别为（ ）
A．（2，1）和（，1）
B．（2，﹣1）和（，1）
C．（﹣2，1）和（，1）
D．（﹣1，﹣2）和（﹣1，）
【解答】解：∵A、C与B、D分别关于原点对称，点A与点B的坐标分别是（﹣2，﹣1），（，﹣1），
∴可得C点的坐标为（2，1）；点D的坐标为（，1）．
故选：A．
7．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A．28
B．24
C．21
D．14
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
8．如图，?ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF＝OE＝1.5，
∵?ABCD的周长＝（4+3）×2＝14，
∴四边形BCEF的周长?ABCD的周长+3＝10．
故选：A．
9．请按要求，只用无刻度的直尺作图（请保留画图痕迹，不写作法）如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．
【解答】解：如图所示：射线OP即为所求．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC：BD＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．
【解答】解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
∵AC：BD＝2：3，
∴设AC＝2a，BD＝3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AOAC＝a，BOBD＝1.5a，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+a2＝（1.5a）2，
a，
AO＝CO
AC＝2a；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AO＝OC，BO＝DO，
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB（SSS），
∴S△AOD＝S△BOC，
∵S△BOCCO×AB2，
∴△AOD的面积是．
11．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB∥DF．
【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO．
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EB∥DF．
知识点二：平行四边形的面积
12．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为 6 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝∠ACB，OA＝OC，而∠AOM＝∠NOC，
∴△CON≌△AOM，
∴S△AOD＝4+2＝6，
又∵OB＝OD，
∴S△AOB＝S△AOD＝6．
故答案为6．
13．如图，直线AB、IL、JK、DC互相平行，直线AD、IJ、LK、BC互相平行，四边形ABCD面积为90，四边形EFGH面积为55，则四边形IJKL面积为 20 ．
【解答】解：∵AB∥IL，IJ∥BC
∴四边形EIHB是平行四边形
∴S△EHB＝S△EIH，
同理可得：S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，
∴四边形IJKL面积＝四边形EFGH面积﹣（四边形ABCD面积﹣四边形EFGH面积）＝55﹣（90﹣55）＝20
故答案为：20
14．（1）如图在平行四边形ABCD中，PQ、MN分别平行DC、AD、PQ、MN交于O点，其中S四边形AMOP＝3，S四边形MBQO＝4，S四边形NCQO＝10，则△DMQ的面积＝ ．
（2）已知正数a，b，c，d满足4，9，，，则a+c﹣b﹣d＝ ．
【解答】解：（1）设平行四边形POND的面积为x，
则，
解得：x＝7.5，
S△AMD（7.5+3），
S△MBQ4＝2，
S△CDQ（7.5+10），
∴三角形区域的面积＝3+4+10+7.52；
故答案为：；
（2）根据题意将四个式子相乘可得：（abcd）2＝1，又a，b，c，d为正数，
所以abcd＝1，则bcd，又bcd＝4a，即4a，
解得a；
则acd＝9b，acd，
故9b，
解得：b，
同理可求出：c＝2，d＝3，
故a+c﹣b﹣d＝（a+c）﹣（b+d）＝（2）﹣（3）．
故答案为：．
15．如图：四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若AE＝4cm，AF＝6cm，AD＝9cm，求CD的长；
（2）若?ABCD的周长为40cm，AE＝6cm，AF＝9cm，求?ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴BC?AE＝CD?AF，
∵AE＝4cm，AF＝6cm，AD＝9cm，
∴9×4＝CD×6
∴CD＝6cm；
（2）∵?ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，
∴BC+CD＝20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝6cm，AF＝9cm，
∴S?ABCD＝6BC＝9CD，
整理得，BC＝1.5CD②，
联立①②解得CD＝8，
∴?ABCD的面积＝AF?CD＝9CD＝9×8＝72．
知识点三：
思维拓展培优
16．如图，?ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．
（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF＝CD+CF．
【解答】（1）解：∵∠D＝105°，∠DAF＝35°，
∴∠DFA＝180°﹣∠D﹣∠DAF＝40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA＝∠FAB＝40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA＝2∠BAE（已知），
∴∠FAB＝2∠BAE（等量代换）．
即∠FAE+∠BAE＝2∠BAE．
∴∠FAE＝∠BAE；
∴2∠FAE＝40°，
∴∠FAE＝20°；
（2）证明：在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG．
∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG＝BE，∠B＝∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE＝BE．
∴EG＝EC，∴∠EGC＝∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°．
又∵∠AGE+∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，
∴∠BCF＝∠EGF；
又∵∠EGC＝∠ECG，
∴∠FGC＝∠FCG，∴FG＝FC；
又∵AG＝AB，AB＝CD，
∴AF＝AG+GF＝AB+FC＝CD+FC．第2课时
平行四边形对角线的性质
能力提升卷
知识点一：
平行四边形的对角线互相平分
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC
B．AD∥BC，AB∥DC
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB∥DC，AD＝BC
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，则△OAB的周长为（ ）
A．12
B．13
C．15
D．16
3．平行四边形的两条对角线将它分成4个小三角形，则这4个小三角形的面积（ ）
A．都不相等
B．不都相等
C．都相等
D．结论不确定
4．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．若平行四边形的两条对角线长是8cm和16cm，则这个平行四边形的一边长可以是（ ）
A．3cm
B．4cm
C．8cm
D．12cm
6．将平行四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点A与点B的坐标分别是（﹣2，﹣1），（，﹣1），则点C和点D的坐标分别为（ ）
A．（2，1）和（，1）
B．（2，﹣1）和（，1）
C．（﹣2，1）和（，1）
D．（﹣1，﹣2）和（﹣1，）
7．如图，?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若?ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A．28
B．24
C．21
D．14
8．如图，?ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
9．请按要求，只用无刻度的直尺作图（请保留画图痕迹，不写作法）如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画出∠AOB的平分线．
10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC：BD＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求△AOD的面积．
11．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：EB∥DF．
知识点二：平行四边形的面积
12．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为
．
13．如图，直线AB、IL、JK、DC互相平行，直线AD、IJ、LK、BC互相平行，四边形ABCD面积为90，四边形EFGH面积为55，则四边形IJKL面积为
．
14．（1）如图在平行四边形ABCD中，PQ、MN分别平行DC、AD、PQ、MN交于O点，其中S四边形AMOP＝3，S四边形MBQO＝4，S四边形NCQO＝10，则△DMQ的面积＝
．
（2）已知正数a，b，c，d满足4，9，，，则a+c﹣b﹣d＝
．
15．如图：四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）若AE＝4cm，AF＝6cm，AD＝9cm，求CD的长；
（2）若?ABCD的周长为40cm，AE＝6cm，AF＝9cm，求?ABCD的面积．
知识点三：
思维拓展培优
16．如图，?ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．
（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF＝CD+CF．
