18.2.1矩形的性质与判定同步练习（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 18.2.1矩形的性质与判定同步练习（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 579.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-22 20:14:47 | ||
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文档简介
18.2.1矩形的性质与判定
一、选择题
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角相等 C．邻角互补 D．对角线相等
2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
3、如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
4、如图，矩形ABCD的对角线BD＝6，∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．9 B．9 C．12 D．12
5、如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
6、如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
A．BE＝EO B．EO=AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
7、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( )
A. B．4 C．4.5 D．5
8、如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作 于点，于点，若，，则的值为
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
9、如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连结EF．则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
10、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5 C．3 D．4
11、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
12、如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE∶S△BCM＝2∶3.其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13、如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝120°，AD＝3．则BD的长为 ．
14、如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，则BE＝ cm．
15、如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有 (填写序号)．
16、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是 ．
17、如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是____ cm.
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，
AE＝2，则AC＝ ．
19、如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是 ．
20、如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是 ．
三、解答题
21、如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝ °时，四边形BECD是矩形．
22、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
23、如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．
24、如图，矩形ABCD中，AB=BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD，求出DG的长．
25、如图所示，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
26、如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，
交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
一、选择题
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( D )
A．对角线互相平分 B．对角相等 C．邻角互补 D．对角线相等
2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
3、如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( A )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
4、如图，矩形ABCD的对角线BD＝6，∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．9 B．9 C．12 D．12
【解析】∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，AO＝OC，BO＝DO=×6=3，
∴AO＝OB＝3，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC3，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC＝39，
故选：B．
5、如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．
故选：A．
6、如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
A．BE＝EO B．EO=AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=AC，OB＝OD，
∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，
A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；
B、EO=AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
7、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )
A. B．4 C．4.5 D．5
8、如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作 于点，于点，若，，则的值为
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【答案】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝＝2.4．
故选：D．
9、如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连结EF．则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【解析】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最小值为：=2.4．
∴线段EF长的最小值为2.4． 故选：B．
10、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5 C．3 D．4
【解析】连接AC，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，
∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），
∴AC5，∴BD＝AC＝5，故选：B．
11、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( C )
A．10 B．12 C．16 D．18
12、如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE∶S△BCM＝2∶3.其中正确结论的个数是( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13、如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝120°，AD＝3．则BD的长为 ．
【解析】在矩形ABCD中，OA＝OC=AC，OB＝OD=BD，AC＝BD，∴OA＝OD，
∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6；故答案为：6．
14、如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，则BE＝ cm．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，
∵OE：OD＝1：2，∴OE=OB，∴BE＝OE，
又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AEBE＝3cm，∴BEcm，
故答案为：．
15、如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有 ①④ (填写序号)．
16、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是 ．
【解析】若使?ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°
17、如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是__48 __ cm.
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，
AE＝2，则AC＝ ．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC=AC，OB＝OD=BD，AC＝BD，∴OA＝OB，
设OA＝OB＝x，则OE＝x﹣1，
∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x=，
∴OA=，∴AC＝2OA＝5；故答案为：5．
19、如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是 ．
【解析】∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF∥CD，HG∥CD，EF=EF，HG=CD，HE=AB，AB∥HE，
∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，
∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，
③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，
∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠BCD＝90°，∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，
故答案为：②③．
20、如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是 ．
【解析】∵AB＝12cm，E是AB的中点，∴EB＝6cm，
∵点P的速度是3cm/s，∴ts后BP＝3tcm，
∴PC＝BC﹣BP＝（18﹣3t）cm，则18﹣3t＝6，解得t＝4，
则BP＝3×4＝12cm，
∵△EBP与△PCQ全等，∴4a＝12，
解得a＝3．
当at＝6，3t＝18﹣3t，也符合题意，解得a＝2
故答案为：3或2．
三、解答题
21、如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝ °时，四边形BECD是矩形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，则当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：80．
22、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
解（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．
23、如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．
【解析】（1）在矩形ABCD中，AF∥CE，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAE＝∠DCF，∴∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAC，
∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE，∴∠CAE＝∠ECA，∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，∴BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，∴由勾股定理可知：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，
在Rt△ABC，由勾股定理可知：AC2＝42+82，∴AC＝4，
∴△ABC的周长为：5+5+410+4．
24、如图，矩形ABCD中，ABBC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD，求出DG的长．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∵BC＝BE，∴CEBC，
∵ABBC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；
（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，
∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CDDF，
∵AB＝CD，AB，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，
∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，
∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，
∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，
在△DFG和△EBF中， ,∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，
∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC，∴DG＝2．
25、如图所示，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，
∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
26、如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，
交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
解：(1)证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF.
∵MN∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∠CFE＝∠DCF，
∴∠CEF＝∠ACE，∠CFE＝∠ACF，
∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；
(2)∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACE＋∠ACF＋∠BCE＋∠DCF)＝90°.
∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．
一、选择题
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角相等 C．邻角互补 D．对角线相等
2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
3、如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
4、如图，矩形ABCD的对角线BD＝6，∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．9 B．9 C．12 D．12
5、如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
6、如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
A．BE＝EO B．EO=AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
7、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( )
A. B．4 C．4.5 D．5
8、如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作 于点，于点，若，，则的值为
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
9、如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连结EF．则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
10、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5 C．3 D．4
11、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( )
A．10 B．12 C．16 D．18
12、如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE∶S△BCM＝2∶3.其中正确结论的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13、如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝120°，AD＝3．则BD的长为 ．
14、如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，则BE＝ cm．
15、如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有 (填写序号)．
16、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是 ．
17、如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是____ cm.
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，
AE＝2，则AC＝ ．
19、如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是 ．
20、如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是 ．
三、解答题
21、如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝ °时，四边形BECD是矩形．
22、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
23、如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．
24、如图，矩形ABCD中，AB=BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD，求出DG的长．
25、如图所示，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
26、如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，
交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
一、选择题
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是( D )
A．对角线互相平分 B．对角相等 C．邻角互补 D．对角线相等
2、四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
3、如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( A )
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
4、如图，矩形ABCD的对角线BD＝6，∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．9 B．9 C．12 D．12
【解析】∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，AO＝OC，BO＝DO=×6=3，
∴AO＝OB＝3，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC3，
∴矩形ABCD的面积是AB×BC＝39，
故选：B．
5、如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝40°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝40°，即∠E＝20°．
故选：A．
6、如图，?ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
A．BE＝EO B．EO=AC C．AC⊥BE D．AE＝AF
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=AC，OB＝OD，
∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，
A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；
B、EO=AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
7、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )
A. B．4 C．4.5 D．5
8、如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作 于点，于点，若，，则的值为
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【答案】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝＝2.4．
故选：D．
9、如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连结EF．则线段EF的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【解析】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最小值为：=2.4．
∴线段EF长的最小值为2.4． 故选：B．
10、如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5 C．3 D．4
【解析】连接AC，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC，
∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），
∴AC5，∴BD＝AC＝5，故选：B．
11、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为( C )
A．10 B．12 C．16 D．18
12、如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE∶S△BCM＝2∶3.其中正确结论的个数是( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13、如图，矩形ABCD中AC交BD于点O，∠AOB＝120°，AD＝3．则BD的长为 ．
【解析】在矩形ABCD中，OA＝OC=AC，OB＝OD=BD，AC＝BD，∴OA＝OD，
∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6；故答案为：6．
14、如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，则BE＝ cm．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，
∵OE：OD＝1：2，∴OE=OB，∴BE＝OE，
又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AEBE＝3cm，∴BEcm，
故答案为：．
15、如图，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明?ABCD是矩形的有 ①④ (填写序号)．
16、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若再添加一个条件，就可得平行四边形ABCD是矩形，则你添加的条件是 ．
【解析】若使?ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°
17、如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是__48 __ cm.
18、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，
AE＝2，则AC＝ ．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC=AC，OB＝OD=BD，AC＝BD，∴OA＝OB，
设OA＝OB＝x，则OE＝x﹣1，
∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x=，
∴OA=，∴AC＝2OA＝5；故答案为：5．
19、如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是 ．
【解析】∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EF∥CD，HG∥CD，EF=EF，HG=CD，HE=AB，AB∥HE，
∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，
∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，
③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，
∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，
∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠BCD＝90°，∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，
故答案为：②③．
20、如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是 ．
【解析】∵AB＝12cm，E是AB的中点，∴EB＝6cm，
∵点P的速度是3cm/s，∴ts后BP＝3tcm，
∴PC＝BC﹣BP＝（18﹣3t）cm，则18﹣3t＝6，解得t＝4，
则BP＝3×4＝12cm，
∵△EBP与△PCQ全等，∴4a＝12，
解得a＝3．
当at＝6，3t＝18﹣3t，也符合题意，解得a＝2
故答案为：3或2．
三、解答题
21、如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD、EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝40°，则当∠BOD＝ °时，四边形BECD是矩形．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：若∠A＝40°，则当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，
∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，
∴OC＝OD，
∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，
∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：80．
22、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．
（1）求证：四边形AFED是矩形．
（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．
解（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，
∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．
（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，
∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，
∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．
23、如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．
【解析】（1）在矩形ABCD中，AF∥CE，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAE＝∠DCF，∴∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAC，
∵AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE，∴∠CAE＝∠ECA，∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，∴BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，∴由勾股定理可知：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，
在Rt△ABC，由勾股定理可知：AC2＝42+82，∴AC＝4，
∴△ABC的周长为：5+5+410+4．
24、如图，矩形ABCD中，ABBC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．
（1）求证：DE平分∠AEC；
（2）若AD，求出DG的长．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∵BC＝BE，∴CEBC，
∵ABBC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，
∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；
（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，
∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，
∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CDDF，
∵AB＝CD，AB，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，
∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，
∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，
∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，
在△DFG和△EBF中， ,∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，
∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC，∴DG＝2．
25、如图所示，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形EGCF是矩形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，
∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，
又∵∠GEF＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
26、如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，
交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
解：(1)证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF.
∵MN∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∠CFE＝∠DCF，
∴∠CEF＝∠ACE，∠CFE＝∠ACF，
∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；
(2)∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACE＋∠ACF＋∠BCE＋∠DCF)＝90°.
∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．