18.1平行四边形的性质与判定同步练习（Word版 含答案）

18.1平行四边形的性质与判定
一、选择题
1、平行四边形中较大的内角的度数是较小的内角的度数的4倍，则其中较小的内角的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
2、有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线．下列取法中，能搭成一个平行四边形的是（　　）
A．取10cm长的铁丝为边 B．取8cm长的铁丝为边
C．取6cm长的铁丝为边 D．任意取一根铁丝为边均可
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
4、如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、下列关于判定平行四边形的说法错误的是（　　）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形
D．四条边相等的四边形
6、如图，已知在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD
C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE
7、如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，连接OE，则图中平行四边形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8、如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），则平行四边形ABCO的周长等于（　　）
A． B． C．4 D．6+2
9、如图，在△MBN中，BM＝8，BN＝6，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则平行四边形ABCD的周长是（　　）
A．16 B．18 C．14 D．32
10、如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
11、如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
12、如图，BD为?ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE=BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；
④∠BHD＝∠BDG，⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
二、填空题
13、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝　 　度．
14、如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝5，EC＝3，
则AB的长为　 　．
15、如图，为外一点，且，，若，则的度数为________．
16、平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为　 　．
17、如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，
则S为______．
18、如图，?ABCD中，EF过对角线的交点O如果AB＝4cm，AD＝3cm，OF＝1cm，则四边形BCEF的周长为　 　．
19、如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，若，则____________
20、给出下面的条件：①以6 cm为一条对角线长，20 cm，34 cm为两条边长；②以6 cm，10 cm为对角线长，8 cm为一条边长；③以6 cm为一条对角线长，3 cm，5 cm为两条边长；④以20 cm，36 cm为对角线长，12 cm为一条边长．其中能够画出平行四边形的有 ．(填序号)
21、?ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为　 　．
22、如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝10，以CD为边向内作等边△CDE，连接AE，F为AE中点，连接BF，过E作EG∥BF交BC于G，则当BF⊥AE时，EG为　 　．
三、解答题
23、如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
24、如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
25、已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
26、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长．
（答案）
一、选择题
1、平行四边形中较大的内角的度数是较小的内角的度数的4倍，则其中较小的内角的度数是（　　）
A．30° B．36° C．45° D．60°
解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝4∠B，∴∠B+4∠B＝180°，解得：∠B＝36°，故选：B．
2、有长度分别为6cm，8cm，10cm的铁丝三根，取其中一根作为边，另外两根作为对角线．下列取法中，能搭成一个平行四边形的是（　　）
A．取10cm长的铁丝为边 B．取8cm长的铁丝为边
C．取6cm长的铁丝为边 D．任意取一根铁丝为边均可
解：A、取10cm长的铁丝为边时，∵×6＝3，×8＝4，3+4＜10，不能构成三角形，
则不能构成平行四边形，选项A不符合题意；
B、取8cm长的铁丝为边时，∵×6＝3，×10＝5，3+5＝8，不能构成三角形，
则不能构成平行四边形，选项B不符合题意；
C、取6cm长的铁丝为边时，∵×8＝4，×10＝5，4+5＞6，能构成三角形，
则能构成平行四边形，选项C符合题意；
D、任意取一根铁丝为边时，不一定能构成三角形，
则不一定能构成平行四边形，选项D不符合题意；
故选：C．
3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段OA、OB的中点，若AC+BD＝32cm，△OEF的周长为13cm，则CD的长为（　　）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=AC，OB=BD，CD＝AB，
∵AC+BD＝32cm，∴OA+OB＝16cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴OE+OF=OA+OB＝8cm，
∵△OEF的周长为13cm，∴EF＝5cm，
∴AB＝2EF＝10cm，∴CD＝10cm．故选：B．
4、如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加，则无法证明，故A错误；
B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确；
C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确；
D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确．
故选：A．
5、下列关于判定平行四边形的说法错误的是（　　）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形
D．四条边相等的四边形
【解答】解：A、一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故符合题意；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、四条边相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
6、如图，已知在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF⊥BD，CE⊥BD
C．∠BAE＝∠DCF D．AF＝CE
解：如图，连接AC与BD相交于O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误；
B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项错误；
C、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项错误；
D、AF＝CE无法证明得到OE＝OF，故本选项正确．
故选：D．
7、如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，连接OE，则图中平行四边形的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：图中平行四边形的个数为4个，分别为平行四边形ABCD，平行四边形BEOC，平行四边形ABEO，平行四边形OECD，
由△AOD平移至△BEC的位置，得到BE∥AO，且BE＝AO，即四边形ABEO为平行四边形；
得到OD∥EC，且OD＝EC，即四边形OECD为平行四边形；
∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，
∵OA＝BE，OD＝EC，∴OC＝BE，OB＝CE，∴四边形OBEC为平行四边形．
故选：D．
8、如图，四边形ABCO为平行四边形，A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），则平行四边形ABCO的周长等于（　　）
A． B． C．4 D．6+2
【解答】解：∵A，C两点的坐标分别是（3，0），（1，2），
∴OC，OA＝3，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB＝OC，BC＝OA＝3，
∴平行四边形ABCO的周长＝2×（3）＝6+2．
故选：D．
9、如图，在△MBN中，BM＝8，BN＝6，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，则平行四边形ABCD的周长是（　　）
A．16 B．18 C．14 D．32
解：如图，∵BM＝8，BN＝6，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，∴AD、CD是△BMN的中位线，
∴AD＝BN＝3，CD＝MB＝4，
∴平行四边形ABCD的周长是2（AD+CD）＝14．故选：C．
10、如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠B=180°，∴∠DAB=180°-100°=80°，
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠DAB=40°；故选：D．
11、如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，BC＝2EF，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝3，
∴EF＝ED+DF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
故选：D．
12、如图，BD为?ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CEBE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；
④∠BHD＝∠BDG，⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，∴∠C+∠CBF＝90°，
而∠BHE+∠CBF＝90°，∴∠BHE＝∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH＝CD，CE＝EH，
∵点H不是DE中点∴BE＝ED≠2EC，所以①错误；
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，∴AB＝BH，所以③正确；
∵∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，∴∠ABG＝90°，∴Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
又∵AB＝BH，∴BH2+BG2＝AG2，所以⑤正确；
故选：B．
二、填空题
13、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝　 　度．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
14、如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于点E，AD＝5，EC＝3，
则AB的长为　 　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝5，
∴CD＝CE+DE＝5+3＝8，
∴AB＝CD＝8，
故答案为：8．
15、如图，为外一点，且，，若，则的度数为________．
【详解】∵，，∴．
∵，∴，且，∴．
∵四边形是平行四边形，∴． 故答案为：．

16、平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8，则AB与CD间的距离为　 　．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E、AF⊥CD于点F．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，AE＝8，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
17、如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，
则S为______．
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，
∵?ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，
得方程组：，解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48． 故答案为：48．
18、如图，?ABCD中，EF过对角线的交点O如果AB＝4cm，AD＝3cm，OF＝1cm，则四边形BCEF的周长为　 　．
解：根据平行四边形的性质，得
DO＝OB，∠FDO＝∠EBO，又∠DOF＝∠BOE，
∴△ODF≌△OBE，
∴OF＝OE＝1，DF＝BE，
根据平行四边形的对边相等，得
CD＝AB＝4，AD＝BC＝3，
故四边形EFBC的周长＝EF+EB+FC+BC
＝OE+OF+DF+FC+BC
＝1+1+4+3＝9．
故答案为9cm．
19、如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，若，则____________
【详解】平行四边形中，平分，平分，
∴，，
∵，∴，，，
∴，，，
∴AE=AB=5，DF=DC=5， ∵AD=BC=8，∴AF=AD-DF=3，∴EF=AE-AF=2，
延长使，∴为平行四边形，
∴，，， ∴，∴
∵，，
∴，∴．故答案为：8．

20、给出下面的条件：①以6 cm为一条对角线长，20 cm，34 cm为两条边长；②以6 cm，10 cm为对角线长，8 cm为一条边长；③以6 cm为一条对角线长，3 cm，5 cm为两条边长；④以20 cm，36 cm为对角线长，12 cm为一条边长．其中能够画出平行四边形的有__③④__．(填序号)
21、?ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，E为直线BC上一点，且∠CDE＝15°，则DE的长为　 　．
解：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，
过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，
则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，∴AH＝EF，
∵∠B＝45°，AB＝6，∴AH＝EF＝AB＝6，
∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF＝12；
如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝45°，
过A作AH⊥BC于H，过EF⊥AD于F，
则四边形AHEF是矩形，∠AHB＝∠DFE＝90°，∴AH＝EF，
∵∠B＝45°，AB＝6，∴AH＝EF＝AB＝6，
∵∠CDE＝15°，∴∠EDF＝60°，∴∠FED＝30°，
∵EF＝6，∴DE＝EF＝4；
综上所述，DE的长为12或4．故答案为：12或4．
22、如图，平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝10，以CD为边向内作等边△CDE，连接AE，F为AE中点，连接BF，过E作EG∥BF交BC于G，则当BF⊥AE时，EG为　 　．
解：在GC上取点M，使得CM＝BG，连接EM．
∵F是AE的中点，BF⊥AE，∴AB＝BE，
∵BF⊥AE，∴∠3＝∠4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，AB∥CD，
∵△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝AB＝8，∠ECD＝60°，
∵AB＝BE，AB＝CD，∴BE＝CE，∴∠1＝∠2，
∵CG＝BG，∴△EBG≌△ECM（SAS），∴EG＝EM，
∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，即∠ECD+∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ECD＝60°，∴∠2+∠3＝60°，即∠FBC＝60°，
∵EG∥BF，∴∠EGC＝∠FBC＝60°，
∵GE＝EM，∴△EMG是等边三角形，∴CG＝CM+MG＝BG+GE，
过E作EH⊥BC于H，则BH＝CH＝BC＝AD＝5，
∴EH＝＝＝，∴EG＝2， 故答案为：2．

三、解答题
23、如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥DB，∴∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E，F分别是OC，OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，
又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．
24、如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.
在△OBE与△ODF中，
∴△OBE≌△ODF，∴BO＝DO.
解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GFD＝∠GEA＝90°.
∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，
∴AE＝GE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°，
∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，∴OF＝FG＝1.
由(1)可知，OE＝OF＝1，∴GE＝OE＋OF＋FG＝3，∴AE＝3.
25、已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，∴AE=CF，∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD、EF互相平分；
（2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A=，AE=AD，∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，∴BE=2，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，∴，
∴DG=，
∴．
26、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长．
解（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC，∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E，
∴∠ABF＝∠E，∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝2，
∵F为AD中点，∴AF＝DF＝，
在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF＝6，AB＝DE，
∵AB＝CD，∴AB＝CD＝DE＝CE＝BC＝，
∵FG⊥AB，∴∠G＝90°，
∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，即（）2﹣AG2＝62﹣（+AG）2，
解得：AG＝，∴GF＝＝．