2020-2021学年八年级下册数学鲁教五四新版《第6章 特殊平行四边形》单元测试题（word版含解析）

2020-2021学年八年级下册数学鲁教五四新版《第6章
特殊平行四边形》单元测试题
一．选择题
1．已知菱形ABCD，∠B＝60°，则AC：BD＝（　　）
A．
B．1：
C．1+
D．（
+1）：2
2．已知?ABCD，添加下列一个条件：①AC⊥BD②∠BAD＝90°
③AB＝BC④AC＝BD，其中能使?ABCD是菱形的为（　　）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
3．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（　　）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．梯形
4．矩形ABCD中，E在AD上，AE＝ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：2，则BF：FC＝（　　）（BF＜FC）
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．2：9
5．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．菱形的四条边、四个角都相等
D．平行四边形是轴对称图形
6．如图，在等边三角形ABC外作正方形ACDE，AD与BE交于点F，则∠FCD＝（　　）
A．60°
B．45°
C．75°
D．54°
二．填空题
7．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是mm，则该主板的周长为　
　mm．
8．已知四边形ABCD各边中点分别E，F，G，H，如果四边形ABCD是　
　，那么四边形EFGH是正方形．
9．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，则菱形边AB上的高DM的长是　
　cm．
10．已知正方形的边长为a，则正方形内任意一点到四边的距离之和为　
　．
11．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN＝45°，连接AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME+∠CNF＝　
　．
12．把两根长度相等的木条的中点用螺栓固定在一起，依次连接木条的四个端点得到的四边形是　
　．
13．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件　
　，就可以判定它是一个菱形．
三．解答题
14．如图所示，已知EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，EG⊥FH．
求证：四边形EFGH是正方形．
15．如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AF为角平分线，AF交BC于F，交CD于E，过E作EG∥AB，与BC交于G，过F向AB作垂线，垂足为H．
求证：（1）CF＝BG；
（2）四边形CEHF是菱形．
16．平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝，AO＝2，OB＝1．四边形ABCD是菱形吗？为什么？
17．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF+PG＝AB．
18．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝90°，根据这样的条件，能判定这个四边形是正方形吗？若能，请你指出判定的依据；若不能，请举出一个反例（即画出一个四边形满足上述条件，但不是正方形），并指出若再添加一个什么条件，就可以判定这个四边形是正方形，你能指出几种情况吗？
19．菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线的长．
（3）求菱形的面积．
20．如图，?ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，求证：?ABCD是矩形．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠B＝60°，
∴AC＝AB，
根据勾股定理可得，BD＝AB，
则AC：BD＝1：．
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
①若AC⊥BD，则可得其为菱形，故①选项正确，
②中∠BAD＝90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误，
③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立，
④中并不能得到其为矩形，菱形或正方形等，所以④不成立，
故A选项中①③都正确，B中②不成立，C中④错误，而D中多一个选项②也不对，
则能使?ABCD是菱形的有①或③．
故选：A．
3．解：如图，
依题意四边形ABCD，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
根据矩形的判定（矩形的对角线相等且相互平分）可得四边形EFGH是矩形．
故选：B．
4．解：把矩形的长看作是1，设BF＝x，则FC＝1﹣x．
根据题意可知分成的两部分是梯形．
根据梯形的面积公式，得．
＝．
x＝．
则1﹣x＝．
则BF：FC＝：＝1：5．
故选：C．
5．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，符合题意；
C、菱形的四条边相等，不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
6．解：∵AB＝AE＝AC＝CD
∴∠ABE＝∠AEB＝15°
∵∠CAF＝∠EAF＝45°，AF＝AF，AC＝AE
∴△AFE≌△AFC
∴∠ACF＝∠AEC＝15°
∴∠FCD＝90°﹣15°＝75°
故选：C．
二．填空题
7．解：如图：矩形的长为24mm，AB+CD+GH+EF+MN＝24．
∵GD＝HE＝4．
∴主板的周长为24+4+4+20+24+16+4＝96mm．
故答案为：96．
8．解：由题中E、F、G、H是各边的中点，根据三角形中位线定理知四边形EFGH为平行四边形．
∵EFGH是正方形
∴EF＝GF＝AC＝BD，且∠EFG＝90°
∴AC＝BD且AC⊥BD．
即四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
9．解：∵AC＝16cm，BD＝12cm
∴菱形ABCD的面积是×AC?BD＝96cm2在直角△ABO中，OA＝8cm，OB＝6cm
∴AB＝10cm
∴DM＝96÷10＝9.6cm
故答案为9.6．
10．解：如图，∵正方形ABCD的边长为a，PE⊥AD，PF⊥AB，PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠A＝∠PFA＝∠PEA＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
同理：四边形BFPG，CGPH，DEPH是矩形，
∴PF＝AE，PE＝AF，PG＝BF，PH＝DE，
∴PF+PH+PE+PG＝AE+DE+AF+BF＝AD+AB＝2a．
故答案为：2a．
11．解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴△AMN与△CMN关于BD对称，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠EMC＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣2∠1．
同理∠FNC＝180°﹣2∠2．
∴∠EMC+∠FNC＝360°﹣2（∠1+∠2）．
∵∠MCN＝180°﹣（∠1+∠2），
∴∠EMC+∠FNC＝2∠MCN＝2×45°＝90°．
故答案为：90°．
12．解：如图所示：
由题意得：AC＝BD，O为AC和BD的中点，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
故答案为：矩形．
13．解：补充的条件是AB＝BC，
理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AB＝BC．
三．解答题
14．∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠2+∠3．
∵EG⊥FH，
∴∠1+∠3＝90°．
∴∠1＝∠2．
∴△COH≌△BOE．
∴OE＝OH．
同理可证：OE＝OF＝OG．
∴OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH．
又∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH为正方形．
15．解：（1）由AF平分∠CAB，CD⊥AB，FH⊥AB，可推出∠CFE＝∠CEF，从而证得CF＝CE．
由FH⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠BAC，可得CF＝FH，
∴CE＝FH，
又∵EG∥AB，
∴∠CGE＝∠B，∠CEG＝∠FHB．可推得△GEC≌△BHF．
推出CG＝FB．
∴CF＝BG．
（2）由（1）证明可知CEFH．
∴CFHE为平行四边形，
又∵CF＝FH，
∴CFHE是菱形．
16．解：在△AOB中，
∵AB＝，AO＝2，OB＝1，
∴AB2＝（）2＝5，AO2+OB2＝22+12＝5，
∴AB2＝AO2+OB2，
∴△AOB为直角三角形，即∠AOB＝90°．
∴AC、BD互相垂直．
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
17．证明：连接PE，∵BE＝ED，PF⊥BE，PG⊥AD，
∴S△BDE＝S△BEP+S△DEP
＝BE?PF+ED?PG
＝ED?（PF+PG），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴BA⊥AD，
∴S△BED＝ED?AB，
∴ED?（PF+PG）＝ED?AB，
∴PF+PG＝AB．
18．解：不能．如图所示再添加AD＝AB或∠C＝90°或AB∥DC或AC、BD互相平分，这类题思考方向不确定，根据正方形的识别方法结合已知条件先猜想再推理．
19．解：由题意知AC＝10cm，
（1）菱形周长为40cm，则AB＝BC＝10cm，
∵AC＝10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC＝60°，∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
（2）在Rt△ABO中，已知AB＝10cm，AO＝×10cm＝5cm，
则BO＝＝5cm，
另一条对角线长为BD＝2BO＝10cm
（3）菱形的对角线长为10cm，10cm，
则菱形面积S＝10×10cm2＝50cm2，
答：菱形的内角为60°，120°，菱形的另一条对角线长10cm，菱形的面积为50cm．
20．解：在△ABC中，
∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2+BC2＝25，AC2＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B＝90°，
∴ABCD是矩形．