第七章 7.1 7.1.1
A级——基础过关练
1．(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法错误的是( )
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
【答案】ABD 【解析】对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选ABD．
2．(2020年湖北月考)已知a为实数，若复数z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，则复数z的虚部为( )
A．3
B．6i
C．±3
D．6
【答案】D 【解析】∵z＝(a2－9)＋(a＋3)i为纯虚数，
∴解得a＝3.∴z＝6i，则复数z的虚部为6.故选D．
3．(2020年北京丰台区期末)已知i是虚数单位，a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】复数a＋bi是纯虚数，则∴“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．故选B．
4．复数a＋1＋(a－1)i是实数，其中i为虚数单位，则实数a等于( )
A．－1
B．1
C．0
D．2
【答案】B 【解析】∵复数a＋1＋(a－1)i是实数，∴a＝1.故选B．
5．下列命题中：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若复数z1，z2，z3满足(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.
正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A 【解析】①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；易得②③错．故选A．
6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.
【答案】 1 【解析】由复数相等可知所以
7．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则m＝1是z1＝z2的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要 【解析】当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
8．(2020年延吉校级月考)已知m∈R，设复数z＝(m2－2m－3)＋(m2－1)i.若复数z为纯虚数，则实数m＝________.
【答案】3 【解析】依题意，复数z为纯虚数，所以解得m＝3.
9．(2020年重庆月考)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数．
解：(1)由m2－1＝0且m＋1≠0得，m＝1，∴当m＝1时，z是实数．
(2)由解得m＝－2.∴当m＝－2时，z是纯虚数．
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
解：(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
B级——能力提升练
11．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A．－7≤λ≤
B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1
D．－≤λ≤7
【答案】D 【解析】由z1＝z2，得消去m，得λ＝4sin2θ－3sin
θ＝42－.由于－1≤sin
θ≤1，故－≤λ≤7.
12．(2019年哈尔滨高二检测)若复数z＝＋i(θ∈R)是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7
B．－
C．7
D．－7或－
【答案】A 【解析】因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即因为sin
θ＝且cos
θ≠.所以cos
θ＝－.所以tan
θ＝－.所以tan＝＝＝－7.
13．(2019年江苏改编)已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
【答案】2 【解析】∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，∴a＝2.
14．设i是虚数单位，a为实数，若复数a＋3－i是纯虚数，则a＝________.
【答案】－3 【解析】a为实数，若复数a＋3－i是纯虚数，则a＋3＝0，解得a＝－3.
15．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为________．
【答案】4 【解析】∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，∴解得x＝4.
16．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
解：由题意，得∴
∴当m＝3时，原不等式成立．
17．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以有得得x＝－1，y＝2.
18．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠?，求整数a，b的值．
解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，由②，得a＝±3，b＝－2，③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
C级——探索创新练
19．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{4i，－1,1}(i是虚数单位)，若M∪P＝P，求实数m.
解：由M∪P＝P知M是P的子集，从而可知(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
PAGE第七章 7.1 7.1.2
A级——基础过关练
1．(2019年北京海淀区二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则( )
A．z＝－1＋i
B．z＝1＋i
C．z＋i是实数
D．z＋i是纯虚数
【答案】C 【解析】∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，∴z＝1－i.∴z＋i＝1－i＋i＝1，即z＋i是实数．故选C．
2．已知0
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
【答案】B 【解析】|z|2＝a2＋1，∵03．(2019年陕西三模)在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足( )
A．－B．a<－
C．0D．－【答案】A 【解析】∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，∴解得－4．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
【答案】C 【解析】向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A′对应复数2＋i.又＝，∴对应复数为1＋i.故选C．
5．(2020年宜宾模拟)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】A 【解析】∵复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得m＜－1.∴实数m的取值范围是(－∞，－1)．故选A．
6．(2020年重庆月考)已知实数m，n满足m－2i＝n(2＋i)，则在复平面内，复数z＝m＋ni所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C 【解析】∵m－2i＝n(2＋i)，∴m－2i＝2n＋ni.∴解得∴复数z＝m＋ni＝－4－2i.∴复数z＝m＋ni所对应的点位于第三象限．故选C．
7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2的共轭复数为________．
【答案】－2－3i 【解析】∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.z2的共轭复数为－2－3i.
8．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．
【答案】 【解析】|z|＝≤2，解得－≤m≤.
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线y＝－x－5上．
解：(1)由m2－2m－15>0，得当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝或m＝，z的对应点在直线y＝－x－5＝0上．
10．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．因为与共线，所以－3×1－4×2a＝0，解得a＝－，即a的值为－.
B级——能力提升练
11．(2020年合肥月考)设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．y＝－x
B．y＝x
C．(x－1)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
【答案】B 【解析】由z在复平面内对应的点为(x，y)，且|z－1|＝|z－i|，得|x－1＋yi|＝|x＋(y－1)i|，∴＝，整理得y＝x.故选B．
12．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( )
A．5
B．2
C．7
D．3
【答案】D 【解析】|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝3.
13．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
【答案】ABC 【解析】①任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立，故A正确；②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；③设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；④虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．
14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos
B－tan
A)＋itan
B对应的点位于复平面的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B 【解析】因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin
A>cos
B，cos
B－tan
A＝cos
B－B－sin
A<0.又tan
B>0，所以点(cos
B－tan
A，tan
B)在第二象限．故选B．
15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
【答案】5 【解析】由复数的几何意义可知，＝x＋y，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.由复数相等可得解得∴x＋y＝5.
16．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值．
解：因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝.又a，b的夹角为60°，
所以cos
60°＝，
即＝，解得m＝±.
17．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z.
解：根据题意可画图形如图所示，设点Z的坐标为(a，b)，∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝±，即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)．∴z＝－1＋i或z＝－1－i.
C级——探索创新练
18．已知t为实数，复数z＝(t2＋t－2)＋(t2＋3t＋2)i.
(1)当t为何值时，复数z为纯虚数？
(2)当t＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最值时的m和n值．
解：(1)复数z为纯虚数，∴解得t＝1.
(2)当t＝0时，点Z(－2,2)，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n上，∴2m＋n＝2，
∵mn＞0，∴＋＝＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2等号成立．
又2m＋n＝2，∴m＝2－，n＝2－2.
PAGE第七章 7.2 7.2.1
A级——基础过关练
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
【答案】B 【解析】z＝1－(3－4i)＝－2＋4i.故选B．
2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( )
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】z是纯虚数??x＝1.故选A．
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】A 【解析】由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
4．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )
A．
B．5
C．2
D．10
【答案】B 【解析】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.
5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi(a，b∈R)，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4
B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4
D．a＝3，b＝4
【答案】A 【解析】因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
6．平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
【答案】C 【解析】对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i.设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z.∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故选C．
7．已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是________．
【答案】(2，＋∞) 【解析】因为复数z1－z2＝2＋ai－a－i＝(2－a)＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得a＞2.
8．若a，b，c∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则a＝________，b＝________，c＝________.
【答案】5 －1 2 【解析】z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得
9．计算：
(1)(2＋i)－[(6＋5i)－(4＋3i)]＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2
016＋2
017i)＋(2
017－2
018i)．
解：(1)(方法一)原式＝(2＋i)－[(6－4)＋(5－3)i]＋(－1＋i)＝(2＋i)－(2＋2i)＋(－1＋i)＝－i＋(－1＋i)＝－1.
(方法二)原式＝(2＋i)－(6＋5i)＋(4＋3i)＋(－1＋i)＝(2－6＋4－1)＋(1－5＋3＋1)i＝－1.
(2)(方法一)原式＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2
015－2
016)＋2
017]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2
016＋2
017)－2
018]i＝(－1
008＋2
017)＋(1
008－2
018)i＝1
009－1
010i.
(方法二)因为(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2
015－2
016i)＋(－2
016＋2
017i)＝－1＋i，所以原式＝(－1＋i)×1
008＋2
017－2
018i＝1
009－1
010i.
10．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积．
解：(1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos
∠APB＝－，
因此cos
∠APB＝－，
故sin
∠APB＝，
故S△APB＝||||sin
∠APB＝×××＝，即△APB的面积为.
B级——能力提升练
11．(2020年福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
【答案】C 【解析】由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得?a＝－2.
12．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D 【解析】因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上．由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
13．已知复数z1＝cos
θ＋i，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．
B．
C．6
D．
【答案】D 【解析】由题意，得|z1－z2|＝|(cos
θ－sin
θ)＋2i|＝＝＝≤，故|z1－z2|的最大值为.
14．(2019年大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b为________．
【答案】－4 【解析】因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4.
15．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．
【答案】2 【解析】由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
16．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以解得所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos
B，所以cos
B＝＝＝.所以sin
B＝.
所以S＝||||sin
B＝××＝7，即平行四边形ABCD的面积为7.
17．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值．
解：设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离．又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0.
C级——探索创新练
18．设z1＝1＋i，z2＝－2＋2i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
【答案】2
【解析】∵z1对应向量＝(1,1)，z2对应向量＝(－2，2)，·＝－2＋2＝0，∴OA⊥OB，又||＝，||＝2，∴△AOB的面积S＝××2＝2.
19．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值是________．
【答案】4
【解析】∵复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，∴|x＋yi－4i|＝|x＋yi＋2|，∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴＝，化为x＋2y＝3.则2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝，y＝时取等号．因此2x＋4y的最小值是4.
PAGE第七章 7.2 7.2.2
A级——基础过关练
1．(2020年新余期末)复数z满足z(1＋i)＝，则复数z的共轭复数的虚部为( )
A．
B．－i
C．－
D．i
【答案】A 【解析】∵z(1＋i)＝，∴z＝＝－i.∴＝＋i，其虚部为.故选A．
2．(2020年南阳期末)设复数z＝(i为虚数单位)，则复数z的虚部为( )
A．－
B．－
C．
D．
【答案】C 【解析】∵复数z＝＝＝＝－＋i，∴复数z的虚部为.故选C．
3．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
【答案】A 【解析】由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.故选A．
4．(2019年新课标Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
【答案】D 【解析】由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D．
5．(2019年遂宁模拟)已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
【答案】B 【解析】∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2.∴复数z的共轭复数＝2－i.故选B．
6．(2020年汉中月考)设z＝，f(x)＝x2－x＋1，则f(z)＝( )
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．1＋i
【答案】A 【解析】∵z＝＝＝＝－i，且f(x)＝x2－x＋1，∴f(z)＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故选A．
7．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.
【答案】1 【解析】依题意，得z＝＝i，所以＝－i.所以z·＝i·(－i)＝1
8．(2020年浙江期中)已知复数z满足(i－1)z＝1＋2i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为________，模|z|＝________.
【答案】－ 【解析】由(i－1)z＝1＋2i，得z＝＝＝－i，∴复数z的虚部为－，|z|＝＝.
9．计算：(1)(2－i)(3＋i)；
(2).
解：(1)(2－i)(3＋i)＝(7－i)＝＋i.
(2)＝＝＝＝＝－2－2i.
B级——能力提升练
10．(2020年德阳模拟)已知i为虚数单位，a，b∈R，z＝a＋i，＝i，则ba＝( )
A．1
B．－1
C．
D．2
【答案】C 【解析】由z＝a＋i，＝i，得＝i，∴a＋i＝－1＋(a＋b)i，则即a＝－1，b＝2.∴ba＝2－1＝.故选C．
11．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0
B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0
D．3a＋5b＝0
【答案】D 【解析】因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
12．(多选)设z是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2＜0
【答案】ABD 【解析】设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi.
对于A，z2≥0，则b＝0，所以z是实数，是真命题；
对于B，z2＜0，则a＝0且b≠0?z是虚数，是真命题；
对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题；
对于D，z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2＜0是真命题．故选ABD．
13．设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为________，模为________．
【答案】2 【解析】由z＝＝＝2＋i，得复数z的实部为2，|z|＝＝.
14．(2019年青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝________.
【答案】1 【解析】因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i，则|z|＝1.
15．(2020年沈阳月考)是否存在复数z，使其满足z·＋2i＝3＋ai(a∈R)？如果存在，求出z的值；如果不存在，请说明理由．
解：设z＝c＋bi(c，b∈R)，则(c＋bi)(c－bi)＋2i(c－bi)＝3＋ai，c2＋b2＋2b＋2ci＝3＋ai，∴
∴∴(b＋1)2＝4－.
当4－≥0，即－4≤a≤4时，b＝，当4－＜0，即a＞4或a＜－4时，z不存在，∴当a∈[－4,4]时，存在复数z＝＋i，使z·＋2i＝3＋ai.
16．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
解：设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.
(2)ω＝＝＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
17．已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；
(2)求|z－4|的取值范围．
解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数，得x＝2，
所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋i∈R，得y－＝0，y＝±3.
所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i∈R，
所以y－＝0.
因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9.
由(x－2)2<9，得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝＝＝∈(1,5)．
C级——探索创新练
18．已知复数z1满足(1－i)z1＝1＋3i，z2＝a－i(a∈R)，其中i为虚数单位．
(1)求z1；
(2)若z1是关于x的实系数方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值；
(3)若|z1－2|＞
|z1|，求实数a的取值范围．
解：(1)因为复数z1满足(1－i)z1＝1＋3i，
所以z1＝＝＝－1＋2i.
(2)z1是关于x的实系数方程x2－px＋q＝0的一个根，实系数方程虚根成对，
由韦达定理可知p＝－1＋2i＋(－1－2i)＝－2，q＝(－1＋2i)(－1－2i)＝1＋4＝5，
所以p＝－2，q＝5.
(3)z1－2＝(－1＋2i)－(a＋i)＝－1－a＋i，
由|z1－2|＞|z1|，
得(－1－a)2＋1＞10，∴a＜－4或a＞2.
故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
PAGE第七章 7.3
A级——基础过关练
1．复数－i的三角形式是( )
A．cos＋isin
B．cos＋isin
C．cos－isin
D．cos＋isin
【答案】A 【解析】－i＝cosπ＋isinπ＝cos＋isin＝cos＋isin.
2．复数sin
50°－isin
140°的辐角的主值是( )
A．150°
B．40°
C．－40°
D．320°
【答案】D 【解析】sin
50°－isin
140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos
320°＋isin
320°，故辐角的主值为320°.
3．复数sin
4＋icos
4的辐角的主值为( )
A．4
B．－4
C．2π－4
D．－4
【答案】D 【解析】sin
4＋icos
4＝cos＋isin.
4．若复数cos
θ＋isin
θ和sin
θ＋icos
θ相等，则θ的值为( )
A．
B．或
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
【答案】D 【解析】因为cos
θ＋isin
θ＝sin
θ＋icos
θ，所以cos
θ＝sin
θ，即tan
θ＝1.所以θ＝＋kπ(k∈Z)．
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos
θ－isin
θ)的三角形式是( )
A．
B．[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C．
D．
【答案】A 【解析】因为1＋i＝，cos
θ－isin
θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)·(cos
θ－isin
θ)＝＝.
6．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
【答案】1－i 【解析】(1＋i)＝＝＝·＝1－i.
7．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是________．
【答案】 【解析】由题知，z1＝2，z2＝2，所以的辐角的主值为－＝.
8．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg
z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2，设z2＝2(cos
α＋isin
α)，α∈(0，π)，
所以z1z＝8.
由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝.
所以z2＝2＝－1＋i.
9．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg
z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.
解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，所以|z1－z2|＝|
z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝.又arg
z2＝，所以z2＝，z1＝
z2＝(1＋i)z2＝·＝2.
B级——能力提升练
10．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1
B．－1
C．－
D．－
【答案】B 【解析】因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg
z＝，所以所以a＝－1.故选B．
11．设π<θ<，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ
B．3θ－2π
C．3θ
D．3θ－π
【答案】B 【解析】＝＝cos
3θ＋isin
3θ.因为π<θ<，所以3π<3θ<.所以π<3θ－2π<.故选B．
12．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg
z∈，则z的三角形式为________．
【答案】2 【解析】由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.因为arg
z∈，所以z＝－1－i应舍去，所以z＝－1＋i＝2.
13．已知k是实数，ω是非零复数，且满足arg
ω＝π，(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω.
(1)求ω的值；
(2)设z＝cos
θ＋isin
θ，θ∈[0,2π]，若|z－ω|＝1＋，求θ的值．
解：(1)设ω＝r(r>0)，代入已知条件可求出r＝，即ω＝－1＋i.
(2)|z－ω|＝.
因为|z－ω|＝1＋，所以＝1＋，化简得cos＝1.而≤θ＋≤，
所以θ＋＝2π，即θ＝.
14．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角的主值分别为α，β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
解：由题意可设z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β＋isin
β.
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以所以tan＝.
故tan(α＋β)＝＝.
C级——探索创新练
15．已知三边都不相等的△ABC的三内角A，B，C满足sin
Acos
B＋sin
B＝sin
Acos
C＋sin
C，设复数z1＝cos
θ＋isin
θ，z2＝(cos
A＋isin
A)，求arg(z12)的值．
解：∵sin
Acos
B＋sin
B＝sin
Acos
C＋sin
C，
∴sin
A(cos
B－cos
C)＝sin
C－sin
B，
得4sincos＝－2sin·cos，
∵＝－，
∴cos＝sin，sin＝cos.
又≠0，∴sin≠0，sin≠0.
上式化简为cos2＝，∴A＝.
z12＝，
∴当0＜θ＜时，arg(z12)＝＋θ，
当＜θ＜π时，arg(z12)＝θ－.
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