第十章 10.1 10.1.3
A级——基础过关练
1．(多选)下列是古典概型的是( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【答案】ABD 【解析】A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不适合等可能性，故不为古典概型．故选ABD．
2．(2020年湖南月考)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝10,2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率p＝＝.故选A．
3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为.故选C．
4．(2020年宁德月考改编)2021年起，广东省高考将实行“3＋1＋2”新高考．“3”是统一高考的语文、数学和英语三门；“1”是选择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；“2”也是选择性考试科目，由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】基本事件总数n＝12，某考生自主选择的“1＋2”三门选择性考试科目中，历史和政治均被选择到包含的基本事件个数m＝3，历史和政治均被选择到的概率p＝＝＝.故选A．
5．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】所有样本点为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个样本点，所以p＝＝.故选B．
6．(2019年沧州期末)定义：abcde＝10
000a＋1
000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满足a
d>e时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，若从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D 【解析】由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6个样本点，所以恰好为“凸数”的概率p＝＝.故选D．
7．(2020年南通模拟)某普通高中有数学、物理、化学、计算机四个兴趣小组，甲、乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组，则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率为________．
【答案】 【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件总数为16，甲、乙两位同学参加相同的兴趣小组的基本事件个数为4，故两位同学参加不同的兴趣小组的概率p＝1－＝.
8．(2019年钦州期末)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为_________．
【答案】 【解析】从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为＝.
9．(2019年钦州期末)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x，y.
(1)若记“x＋y＝5”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若记“x2＋y2≤10”为事件B，求事件B发生的概率．
解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，因为骰子共抛掷2次，所以共有36种结果．
(1)事件A发生的样本点有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种结果，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)事件B发生的样本点有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)共6种结果，所以事件B发生的概率为P(B)＝＝.
10．(2020年北京期末)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．
某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向，随机选取20名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有5人
5
5
2
1
2
0
选考方案待确定的有7人
6
4
3
2
4
2
女生
选考方案确定的有6人
3
5
2
3
3
2
选考方案待确定的有2人
1
2
1
0
1
1
(1)在选考方案确定的男生中，同时选考物理、化学、生物的人数有多少？
(2)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．
解：(1)由统计表可知，选考方案确定的男生中，同时选择物理、化学和生物的人数是2.
(2)由统计表可知，已确定选考科目5名男生中，有2人选择物理、化学和生物，记为a1，a2，有1人选择物理、化学和历史，记为b，有2人选择物理、化学和地理，记为c1，c2.从已确定选考科目的男生中任选2人，有10种选法，分别为：a1a2，a1b，a1c1，a1c2，a2b，a2c1，a2c2，bc1，bc2，c1c2，两名学生选考科目完全相同的有2种选法，分别为：a1a2，c1c2，设事件A为“从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两名学生选考科目完全相同”，则P(A)＝＝.
B级——能力提升练
11．有一列数由奇数组成：1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，依此类推，则从第10组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，则第10组第一个数为45×2＋1＝91，第10组有10个数分别为91,93,95,97,99,101,103,105,107,109，其中恰为3的倍数的数为93,99,105.故所求概率p＝.故选B．
12．从1,2,3,4中任取两个不同的数，则取出两个数之差的绝对值为2的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】从1,2,3,4中任取两个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2有(1,3)，(2,4)共2种结果，故取出两个数之差的绝对值为2的概率p＝＝.故选B．
13．(2020年上海月考)已知集合A＝，任取一个数k∈A，则幂函数f(x)＝xk为偶函数的概率为________．
【答案】 【解析】集合A＝，任取一个数k∈A，基本事件总数n＝8，幂函数f(x)＝xk为偶函数包含的基本事件个数m＝2，∴所求概率p＝＝＝.
14．将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是10的概率为________，向上的点数之和不小于10的概率为________．
【答案】 【解析】将两骰子投掷一次，共有36种情况．向上的点数之和为10的情况有(4,6)，(5,5)，(6,4)共3种，故概率p1＝＝；向上的点数之和不小于10的情况有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，故概率p2＝＝.
15．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是________．
【答案】 【解析】事件E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的样本点是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4；当b＝3时，a＝3,4.所以根据古典概型的概率公式得到概率是＝.
16．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了2名男同学、1名女同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．
(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；
(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．
解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A，B，C，其中A为女同学，B，C为男同学，选出的3名高二乙班同学为D，E，F，其中D为男同学，E，F为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F)，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率p＝＝.
(2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为.
17．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1,4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率哪个更大？请说明理由．
解：样本空间Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}共16个．
(1)记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(2,3)，(3,2)，(3,3)共3个．
故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝.
(2)记“获得汽车玩具”为事件B，“获得饮料”为事件C．
事件B包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个，所以P(B)＝＝.事件C包含的样本点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(2,0)，(3,0)共7个，所以P(C)＝.所以P(B)C级——探索创新练
18．(2020年江西月考)某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)用分层抽样的方法从成绩在第3,4,5组的高中生中抽6名组成一个小组，若从6人中随机选2人担任小组负责人，求这2人来自第3,4组各1人的概率．
解：(1)因为(0.01＋0.07＋0.06＋x＋0.02)×5＝1，
所以x＝0.04.
所以成绩的平均值为0.05×＋0.35×＋0.30×＋0.20×＋0.10×＝87.25.
(2)第3组学生人数为0.30×40＝12，第4组学生人数为0.20×40＝8，第5组学生人数为0.10×40＝4，所以抽取的6人中第3,4,5组的人数分别为3,2,1.
第3组的3人分别记为A1，A2，A3，第4组的2人分别记为B1，B2，第5组的1人记为C，则从中选出2人的基本事件为共15个，
记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3,4组各1人”为事件M，
则事件M包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，共6个，
所以P(M)＝＝.
PAGE第十章 10.1 10.1.4
A级——基础过关练
1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.40
B．0.30
C．0.60
D．0.90
【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A．
2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1
500
m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是( )
A．0.14
B．0.20
C．0.40
D．0.60
【答案】A 【解析】由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14.故选A．
3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为，从盒中取出2个球都是黄球的概率是，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A，“从中取出2个球都是黄球”为事件B，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故选A．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝( )
A．
B．
C．
D．1
【答案】B 【解析】(方法一)A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P(A∪B)＝＝.
(方法二)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝1－＝.故选B．
5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为＝.
(方法二)设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.故选B．
6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B?A，则P(A∪B)＝________，
P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，
P(AB)＝________.
【答案】(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 【解析】(1)因为B?A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝0.
7．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________.
【答案】 【解析】因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋P(A)＝，所以P(A)＝.
8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：
排队人数
0
1
2
3
4
大于或等于5
概率
a
b
0.3
0.1
0.1
c
已知至多3人排队等候的概率为0.72，则至少2人排队等候的概率为________．
【答案】0.68 【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a＋b＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a＋b＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a－b＝0.68.
9．(2020年保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4.
(1)求甲获得比赛胜利的概率；
(2)求甲、乙两人获得平局的概率．
解：(1)甲获得比赛胜利的概率P1＝1－P(B)＝1－0.4＝0.6.
(2)甲、乙两人获得平局的概率为P2＝P(A)－P1＝0.7－0.6＝0.1.
10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好”的事件，F表示“此人被评为良好及以上”的事件．
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
B级——能力提升练
11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A．
B．
C．
D．1
【答案】C 【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为＋＝.故选C．
12．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．
【答案】0.2 【解析】设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A∪C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，∴P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.
13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
【答案】 【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为＋＝.
14．已知A，B，C两两互斥，且P(A)＝0.3，P()＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________.
【答案】0.9 【解析】因为P()＝0.6，所以P(B)＝1－P()＝0.4.又A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.
15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．
【答案】0.81 【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.
16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．
【答案】 【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
17．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1
000
吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
分类
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m吨，厨余垃圾总量为n吨，则m＝400，n＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为＝＝.
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“生活垃圾投放正确”，从而P()＝＝0.7，所以P(A)＝1－P()＝1－0.7＝0.3.
18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
C级——探索创新练
19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(ⅰ)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解：(1)若当天需求量n≥17，则利润y＝85；
若当天需求量n<17，则利润y＝10n－85.
故y关于n的函数解析式为y＝(n∈N)．
(2)(ⅰ)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．
(ⅱ)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
PAGE第十章 10.1 10.1.1 10.1.2
A级——基础过关练
1．(2020年赤峰月考)若颜色分别为红，黑，白的三个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥事件
D．必然事件
【答案】C 【解析】由于三个人都可以持有红球，故事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能是对立事件，又事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不可能同时发生，故两事件的关系是互斥事件．故选C．
2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D 【解析】有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．故选D．
3．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
【答案】C 【解析】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C．
4．(2020年保定月考)学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．不是互斥事件
【答案】C 【解析】事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”能同时不发生，但是不能同时发生．∴两事件为互斥但不对立事件．故选C．
5．掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A?B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【答案】C 【解析】设A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.故选C．
6．抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数是奇数为事件A，事件A的对立事件是________．
【答案】向上的点数是偶数 【解析】抛掷一枚均匀的正方体骰子，向上的点数不是奇数就是偶数，故向上的点数为奇数的对立事件向上的点数是偶数．
7．做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数，则这个试验不同的结果数有________种．
【答案】36 【解析】将这个试验的所有结果一一列举出来为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共有36种．
8．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
解：(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该事件的样本空间Ω；
(2)用集合表示事件A、事件B；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}；
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．
B级——能力提升练
10．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x＝( )
A．5
B．6
C．3或4
D．5或6
【答案】C 【解析】依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x＝3或4.故选C．
11．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
【答案】C 【解析】“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C．
12．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2发
D．以上均不正确
【答案】B 【解析】A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发．故选B．
13．(多选)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】BCD 【解析】对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件，对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于C，甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件，对于D，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．故选BCD．
14．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为________．
【答案】4 【解析】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．
15．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y，用(x，y)表示一个样本点．
(1)请写出所有的样本点；
(2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个样本点？
解：(1)先后抛掷两次正四面体的样本点：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个样本点．
(2)用A表示满足条件“为整数”的事件，则A包含的样本点有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个样本点．
16．判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．
解：(1)是互斥事件．
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．
(4)是互斥事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．
C级——探索创新练
17．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？
解：(1)样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)样本点的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
PAGE第十章 10.2
A级——基础过关练
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
【答案】D 【解析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D．
2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
【答案】C 【解析】因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)·P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C．
3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】由题意知P甲＝＝，P乙＝，所以p＝P甲·P乙＝.故选A．
4．甲和乙下象棋，他们约定谁先赢满5局，谁就获胜．下完7局时，甲赢了4局，乙赢了3局，假设每局甲、乙输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么甲、乙2人分别获胜的概率为多少( )
A．甲获胜概率为，乙获胜概率为
B．甲获胜概率为，乙获胜概率为
C．甲获胜概率为，乙获胜概率为
D．甲获胜概率为，乙获胜概率为
【答案】C 【解析】由题意得，甲获胜的概率为＋×＝，乙获胜的概率为×＝.故选C．
5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.故选B．
6．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局，甲乙各胜一局，则再赛2局结束这次比赛的概率为________．
【答案】0.52 【解析】记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，记“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A＝A3·A4＋B3·B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)·P(A4)＋P(B3)·P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
7．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
【答案】 【解析】分别设汽车在甲、乙、丙三处通行的事件为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次为事件(BC)∪(AC)∪(AB)，故其概率p＝××＋××＋××＝.
8．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率分别为0.9,0.8,0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记“该学生语、数、英考试成绩排名全班第一”的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用表示，P()＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()·P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)·P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
9．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100
m跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100
m跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解：记“甲、乙、丙三人100
m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率为P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率为P0＝P(
)＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率为P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)(3)可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．
B级——能力提升练
10．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为p＝××＝.故选B．
11．(2020年广州月考)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】由题意得即m＋n＝.故选C．
12．端午节放假，甲、乙、丙回老家过节的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P()＝P()P()·P()＝××＝，所以至少有1人回老家过节的概率p＝1－＝.故选B．
13．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P()[1－P(AB)]＝××＝.所以灯亮的概率为1－＝，故选C．
14．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
【答案】
【解析】易知
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
15．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为、、，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××＝，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××＝，所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为××＝，
所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.
16．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.
(1)(方法一)该选手被淘汰的概率p＝P(1∪A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)·P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.
(方法二)p＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)·P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.
(2)(方法一)p＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.
(方法二)p＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.
C级——探索创新练
17．(2020年中山期末)电路从A到B上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】依题意，从A到B连通的概率p＝×＝.故选B．
18．(2020年成都模拟)国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20∶20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29∶29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20∶20，且甲发球的情况下，甲以23∶21赢下比赛的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】根据题意，甲后4局的比赛输赢情况只能为①输赢赢赢，②赢输赢赢，故所求概率p＝×××＋×××＝.故选B．
PAGE第十章 10.3 10.3.1 10.3.2
A级——基础过关练
1．给出下列三个说法，其中正确说法的个数是( )
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A 【解析】①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．故选A．
2．(2020年长春月考)“某彩票的中奖概率为”意味着( )
A．购买彩票中奖的可能性为
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．买100张彩票就一定能中奖
【答案】A 【解析】对于B选项和C选项，买任何1张彩票的中奖率都是，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B，C错误；对于D选项，根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故本选项错误；概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，故A正确．故选A．
3．每道选择题有四个选项，其中只有一个选项是正确的．某次数学考试共有12道选择题，有位同学说：“每个选项正确的概率是，我每道题都选择第一个选项，则一定有3道题选择结果正确．”该同学的说法( )
A．正确
B．错误
C．无法解释
D．以上均不正确
【答案】B 【解析】解每一道选择题都可看成一次试验，每次试验的结果都是随机的，经过大量的试验其结果呈现出一定的规律，即随机选取一个选项选择正确的概率是.12道选择题做对3道题的可能性比较大，但并不能保证一定做对3道题，也有可能都选错，因此该同学的说法错误．故选B．
4．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2
018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( )
A．222石
B．224石
C．230石
D．232石
【答案】B 【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒米内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为＝，所以2
018石米中夹谷约为2
018×≈224(石)．故选B．
5．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50
B．0.45
C．0.40
D．0.35
【答案】A 【解析】两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一．它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个，因此所求的概率为＝0.50.故选A．
6．小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“我向空中抛2板同样的一元硬向，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，就你去．”这个游戏________．(填“公平”或“不公平”)
【答案】公平 【解析】两板硬币落地共有四种结果：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平．
7．某生物实验室研究利用某种微生物来治理污水，每10
000
个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8
000个，根据概率的统计定义，现需要6
000个成品菌种，大概要准备________个微生物菌种．
【答案】7
500 【解析】现需要6
000个成品菌种，设大概要准备n个微生物菌种，∵每10
000个微生物菌种大约能成功培育出成品菌种8
000个，∴＝，解得n＝7
500.
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果.
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是______元．
【答案】4
760 【解析】应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数．设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%，一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，所以一年后公司收益的平均数x＝×10
000＝4
760(元)．
9．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为.
10．有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表：
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格；
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率．
解：(1)
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
(2)由第(1)问中的数据可知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近，所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
B级——能力提升练
11．先后抛掷两枚均匀的五角、一元的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件的概率最大的是( )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
【答案】A 【解析】先后掷两枚均匀的五角、一元硬币，其结果有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种情况，至少有一枚硬币正面向上包括三种情况，故其概率大．故选A．
12．在下列各事件中，发生的可能性最大的为( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10
000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
【答案】D 【解析】概率分别是PA＝，PB＝，PC＝，PD＝.故选D．
13．(多选)下列命题中是真命题的是( )
A．做7次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有4次出现正面，因此出现正面的概率是
B．盒子中有大小均匀的3个黑球，2个有球，1个红球，则每种颜色被摸到的可能性相同
C．从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得小于0的概率大于取得不小于0的概率
D．分别从2名男生，2名女生中各选一名作为代表，则每名学生被选中的可能性相同
【答案】CD 【解析】A中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是，故错误；B中，摸到黑球、白球、红球的可能性分别为，，，故错误，C中，取得小于0的概率为，取得不小于0的概率为，故正确；D中，每名学生被选中的可能性都为，故正确．综上选CD．
14．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生20组随机数：966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725，则恰好成功1例的概率为________．
【答案】0.4 【解析】设恰好成功1例的事件为A，A所包含的基本事件为191,270,832,912,134,370,027,703共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝＝0.4.
15．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘上上等车的概率为________．
【答案】 【解析】共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为＝.
16．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
解：①记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
②记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝＝＝0.2.
③记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
17．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6
000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；
(2)请你估计袋中红球的个数．
解：(1)因为20×400＝8
000，所以摸到红球的频率为＝0.75，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个，由题意得＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．所以估计袋中红球有15个．
C级——探索创新练
18．下列说法：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；
②抛100次硬币的试验，有51次出现正面．因此出现正面的概率是0.51；
③抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；
④抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”“两枚都是反面朝上”“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
⑤有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．
其中正确的有________．
【答案】③⑤ 【解析】①不正确，应该是：次品数在10件左右．②不正确，应该是：出现正面的频率为0.51.③正确．④不正确，抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”“两枚都是反面朝上”“恰好一枚硬币正面朝上”的概率分别为，，.⑤正确，因为摸奖的顺序对中奖率没有影响，每个人中奖的概率都是.综上，正确的是③⑤.
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