第七章章末检测
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2020年南充模拟)＝( )
A．－＋i
B．－－i
C．＋i
D．－
【答案】C 【解析】＝＝＋i.故选C．
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
A．i
B．－i
C．
D．－
【答案】C 【解析】＝＝＝＋i.故选C．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i.若(a＋bi)2＝2i，则a＝b＝－1或a＝b＝1.故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．故选A．
4．(2020年海口月考)若复数z＝，其中是i虚数单位，则＝( )
A．＋i
B．－i
C．－＋i
D．－－i
【答案】D 【解析】由z＝＝＝－＋i，得＝－－i.故选D．
5．(2020年景德镇月考)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a2
019＋b2
020＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C 【解析】由＝1－i＝a＋bi，得a＝1，b＝－1，∴a2
019＋b2
020＝12
019＋(－1)2
020＝2.故选C．
6．(2020年宜宾模拟)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】A 【解析】∵复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，∴解得m＜－1.∴实数m的取值范围是(－∞，－1)．故选A．
7．(2020年汉中月考)z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2－i
B．2＋i
C．－2－i
D．－2＋i
【答案】C 【解析】∵z＝＝＝＝－2＋i，∴＝－2－i.故选C．
8．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B 【解析】因为i＋i2＋i3＋i4＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝0，…，i2009＋i2010＋i2011＋i2012＝0，i2013＋i2014＋i2015＝i－1－i＝－1，所以z＝＝－＋i，所以对应点在第二象限．故选B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知复数z＝，则( )
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
【答案】BD 【解析】∵z＝＝＝－1－i，∴A：|z|＝，B：z2＝2i，C：z的共轭复数为－1＋i，D：z的虚部为－1.故选BD．
10．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的为( )
A．|z|＝
B．＝1－i
C．z的虚部为i
D．z在复平面上对应点在第一象限
【答案】ABD 【解析】复数z＝1＋i，则|z|＝，故A正确；＝1－i，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确．故选ABD．
11．已知z1与z2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是( )
A．z＜|z2|2
B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R
D．∈R
【答案】BC 【解析】z1与z2互为共轭复数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)．z＝a2－b2＋2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，B正确；z1＋z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝＋i不一定是实数，因此D不一定正确．故选BC．
12．设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【答案】ABC 【解析】对A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；对B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，所以1＝z2为真；对C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，所以z1·1＝z2·2为真；对D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选ABC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝________.
【答案】－i 【解析】(方法一)z＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i.
(方法二)z＝＝＝＝i，所以z的共轭复数为－i.
14．已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________.
【答案】 【解析】－＝－＝－＝，由已知得＝，则m＝.
15．已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝5，则|z1－z2|的取值范围是________．
【答案】[4,6] 【解析】(方法一)设z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则易得z1，z2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心，1和5为半径的圆，易得|z1－z2|的最小值为4，最大值为6，故|z1－z2|的取值范围是[4,6]．
(方法二)因为||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，所以|1－5|≤|z1－z2|≤|1＋5|，即4≤|z1－z2|≤6，则|z1－z2|的取值范围是[4,6]．
16．复数z＝(i是虚数单位)，其共轭复数＝________.
【答案】1＋i 【解析】∵z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.
四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.根据复数相等的定义，得解得或∴z＝－1或z＝－1＋3i.
18．已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
解：∵复数z的模为1，∴z在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆．而|z－1－2i|＝|z－(1＋2i)|可以看成圆上的点Z到点A(1,2)的距离，如图．
∴|z－1－2i|min＝|AB|＝|OA|－|OB|＝－1，|z－1－2i|max＝|AC|＝|OA|＋|OC|＝＋1.
19．(2020年重庆月考)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数．
解：(1)由m2－1＝0且m＋1≠0，得m＝1，∴当m＝1时，z是实数．
(2)由解得m＝－2.
∴当m＝－2时，z是纯虚数．
20．(2020年重庆月考)已知复数z满足(z－2)·(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求|(3＋i)·z|.
解：(1)由(z－2)·(1＋i)＝1－i，得z＝＋2＝＋2＝2－i.
(2)由z＝2－i，得|(3＋i)·z|＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝＝5.
21．(2019年聊城高二期末)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i,2＋i，z，
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
解：(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D的坐标(x，y)，由于＝，∴(x－1，y－3)＝(2，－1)．∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)，则点D对应的复数z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)(3－2i)＝，即p＝12，q＝26.
22．已知关于x的方程x2＋4x＋p＝0(p∈R)的两个根是x1，x2.
(1)若x1为虚数且|x1|＝5，求实数p的值；
(2)若|x1－x2|＝2，求实数p的值．
解：(1)由题意知Δ<0，∴16－4p<0，解得p>4.
又x1x2＝p，x1x2＝x11＝|x1|2＝25，∴p＝25.
(2)x1＋x2＝－4，x1x2＝p.若方程的判别式Δ≥0，即p≤4时，方程有两个实数根x1，x2，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16－4p＝4，解得p＝3；
若方程的判别式Δ<0，即p>4时，方程有一对共轭虚根x1，x2，则|x1－x2|＝||＝＝2，解得p＝5.故实数p的值为3或5.
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(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(2020年南充模拟)＝( )
A．－＋i
B．－－i
C．＋i
D．－
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
A．i
B．－i
C．
D．－
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2020年海口月考)若复数z＝，其中是i虚数单位，则＝( )
A．＋i
B．－i
C．－＋i
D．－－i
5．(2020年景德镇月考)已知i为虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a2
019＋b2
020＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．(2020年宜宾模拟)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
7．(2020年汉中月考)z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2－i
B．2＋i
C．－2－i
D．－2＋i
8．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知复数z＝，则( )
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
10．已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的为( )
A．|z|＝
B．＝1－i
C．z的虚部为i
D．z在复平面上对应点在第一象限
11．已知z1与z2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是( )
A．z＜|z2|2
B．z1z2＝|z1z2|
C．z1＋z2∈R
D．∈R
12．设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知复数z＝，i为虚数单位，则z的共轭复数＝________.
14．已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________.
15．已知复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝5，则|z1－z2|的取值范围是________．
16．复数z＝(i是虚数单位)，其共轭复数＝________.
四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.
18．已知复数z的模为1，求|z－1－2i|的最大值和最小值．
19．(2020年重庆月考)实数m取什么数值时，复数z＝＋(m2－1)i分别是下列数？
(1)实数；
(2)纯虚数．
20．(2020年重庆月考)已知复数z满足(z－2)·(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)．
(1)求复数z；
(2)求|(3＋i)·z|.
21．(2019年聊城高二期末)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i，2i,2＋i，z，
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
22．已知关于x的方程x2＋4x＋p＝0(p∈R)的两个根是x1，x2.
(1)若x1为虚数且|x1|＝5，求实数p的值；
(2)若|x1－x2|＝2，求实数p的值．
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