安徽省合肥市肥西县2020-2021学年第一学期九年级上册期末考试数学试题 （Word版 含解析）

安徽省合肥市肥西县2020-2021学年第一学期九年级上册期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内。
1．抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线y＝4 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝3 D．直线y＝﹣3
2．如果2a＝5b（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
5．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2
6．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（　　）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
8．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE＝1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
11．抛物线y＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线　 　．
12．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为　 　．
13．如图，△ABC是测量小玻璃管内径的量具，AB的长为18cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（D、E分别在AC、BC上，且DE∥AB），那么小玻璃管内径DE是　 　cm．
14．若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　（用“＜”号连接）．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是　 　．
三、解答题（共50分，其中16、17每题6分，18题8分，19、20、21每题10分）
16．计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标．
18．如图，已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象写出不等式kx+b＞的解集．
19．一船以20nmile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东45°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东15°的方向上，求此时船与灯塔相距多少海里？
20．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．
21．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
安徽省合肥市肥西县2020-2021学年第一学期九年级上册期末考试数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线y＝4 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝3 D．直线y＝﹣3
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝2（x+3）2﹣4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴是x＝﹣3．
故选：B．
2．如果2a＝5b（a，b均不为0），那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】由2a＝5b，根据比例的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵2a＝5b，（a，b均不为0），
∴＝或＝或a＝．
故选：C．
3．若反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：∵反比例函y＝的图象位于第一、三象限，
∴k+1＞0，解得k＞﹣1，
∴k的值可以是0．
故选：D．
4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　）
A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：B．
5．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【解答】解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，
留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
相似比是4：8＝1：2，
因而面积的比是1：4，
因而留下矩形的面积是32×＝8cm2．
故选：C．
6．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值（　　）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．不能确定
【分析】根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则角A的正弦值不变，
故选：C．
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（　　）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，＝1：，
∴AC＝BC×＝6（米），
∴AB＝＝＝12（米）．
故选：A．
8．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE＝1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由题意即可推出DE∥AB，推出DE＝1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB的面积之比为相似比的平方，即为1：4．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，
∴DE＝1，DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝1：2，
∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．
故选：D．
9．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
【解答】解：根据勾股定理，AB＝＝2，
BC＝＝，
AC＝＝，
所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，
A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．
故选：B．
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD＝x，则AD＝2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴y＝，
故选：A．
二．填空题
11．抛物线y＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线　y＝﹣（x﹣1）2+2　．
【分析】先确定抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式可得平移后的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2的顶点坐标为（0，2），把点（0，2）向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，2），所以平移后的抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+2，
故答案为y＝﹣（x﹣1）2+2．
12．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为　　．
【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【解答】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，
设小正方形的边长为1，
则AE＝3，BE＝4，
所以tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
13．如图，△ABC是测量小玻璃管内径的量具，AB的长为18cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（D、E分别在AC、BC上，且DE∥AB），那么小玻璃管内径DE是　12　cm．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，根据相似比即可得出DE的长度．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．
∴DE：AB＝CD：AC．
∴DE：18＝40：60．
∴DE＝12（cm）．
∴小玻璃管口径DE是12cm．
故答案为：12．
14．若A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是　y1＜y3＜y2　（用“＜”号连接）．
【分析】根据反比例函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵k＞0，故反比例函数图象的两个分支在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
∴A（﹣3，y1）在第三象限，B（1，y2），C（2，y3）在第二象限，且1＜2，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
故y1，y2，y3的大小关系为y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是　m≤3　．
【分析】方程ax2+bx+c+m＝0有实数相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．
【解答】解：方程ax2+bx+c+m＝0有实数根，相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又图象最低点为y＝﹣3，
∴二次函数最多可以向上平移3个单位，
∴m≤3，
故答案为：m≤3．
三．解答题（共6小题）
16．计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据实数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2+
＝2﹣2﹣+
＝0．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（4，8），B（4，2），C（8，6）．在第一象限内，画出以原点O为位似中心，与△ABC的相似比为的△A1B1C1，并写出A1，C1点的坐标．
【分析】把A、B、C点的横纵坐标都乘以得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可．
【解答】解：如图，△A1B1C1为所作，A1（2，4），C1（4，3）．
18．如图，已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）是反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象写出不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，从而求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，2）在y＝上，
∴m＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵B（n，﹣4）在y＝﹣上，
∴n＝2．
∴B（2，﹣4）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），则，解得．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）从函数图象看，不等式kx+b﹣＞0的解集为：0＜x＜2或x＜﹣4．
19．一船以20nmile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东45°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东15°的方向上，求此时船与灯塔相距多少海里？
【分析】过B作BD⊥AC，垂足为D，在直角△ABD中，根据三角函数求得BD的长，再在直角△BCD中运用三角函数即可求解．
【解答】解：过B作BD⊥AC，垂足为D，
Rt△ABD中，∠BAC＝45°，AB＝20×1＝20（海里），
∴BD＝ABsin45°＝20×＝10（海里），
Rt△BCD中，∠DBC＝45°+15°＝60°，
∴BC＝＝20（海里），
答：此时航船与灯塔相距20海里．
20．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求运动员落水点与点C的距离．
【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A的坐标，求得a的值，则可求得抛物线的解析式；
（2）令y＝0，得关于x的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．
【解答】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A坐标为（2，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，
将点A坐标（2，3）代入得：3＝a（2﹣3）2+4，
解得：a＝﹣1，
∴这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+4，
∴令y＝0得：0＝﹣（x﹣3）2+4，
解得：x1＝1，x2＝5，
∵起跳点A坐标为（2，3），
∴x1＝1，不符合题意，
∴x＝5，
∴运动员落水点与点C的距离为5米．
21．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE?FG＝×2×8＝8；
（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x?（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当x＝5时，S△ECF最大＝．