福建省三明市普通高中2011-2012学年高一上学期联合命题考试数学试题

(考试时间：2012年1月11日下午3∶00－5∶00 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上)
1．下列关系式正确的是（ ）
A．　　　　B． 　C．　　　D．
2．在中，，则的形状是( 　 )
A．直角三角形　　B．锐角三角形 C．钝角三角形　 　　D．正三角形
3．已知点在第三象限，则角在( 　 )
A．第一象限 B．第二象限 　 　　C．第三象限 　　 　D．第四象限
4. 已知集合，集合，则是（ 　 ）
A． B． 　　 C． 　　 D．
5．函数的图象大致是（　　　）
6．函数的零点( 　 )
A.　　 　　 　B. 　　 C.　 　　 D.　
7．若点在函数的图象上，则的值是（　　　）
A．0 　　　　　B． 　　　 C．1 　　　 　D．
8. 四人赛跑，假设其跑过的路程与时间的函数关系分别是，，，，若让他们一直跑下去，则最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ 　 ）
A． B． 　　 C． 　　 D．
9．若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则使的的取值范围是（　　　）
A． B． 　　 C． D．
10．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则（　　　）
A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．
11．若函数在区间上有意义，则实数的取值范围是（　　　）
A． B．　　 C． 　　　 D．
12．已知函数，若互不相等，且，
则的取值范围是（　　　）
A． B． 　　　C．　　　　D．
13．计算： 　 ；
14．设，则用“>”表示的大小关系式是 　 ；
15．已知两向量a，b，若a//b，则 ；
16．对于给定的实数、，定义运算“”：．
则集合　（注：“·”和“＋”表示实数的乘法和加法运算）的最大元素是____________．
已知向量a，向量b，且ab，若（a－b）⊥a．
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ) 求向量a、b的夹角的大小．
18．（本小题满分12分）
已知集合，集合．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若全集U=R，且，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得出？
20．（本小题满分12分）
某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：，其中是仪器的月产量（总收入＝总成本＋利润）．
（Ⅰ）将利润（用表示）表示为月产量的函数；
（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？
21．（本小题满分12分）
已知函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，．
（Ⅰ）验证函数是否满足上述这些条件；
（Ⅱ）你发现这样的函数还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明．
22．（本小题满分14分）
已知二次函数的图象过点，且函数对称轴方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，求在区间上的最小值；
（Ⅲ）探究：函数的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.三明市普
通高中2011－2012学年第一学期联合命题考试
高一数学试题参考答案
二、填空题：（4＊4＝16分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题：（12＊5＋1＊14＝74分）
17．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由已知得，，
注意到，　∴　．…………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)　由(Ⅰ)得，，，
∴　，………………………………………………10分
注意到，∴　为所求．……………………………………………… 12分
（Ⅱ）， ……………………………………………………………………8分
∵ ，
∴　当　即时，，结合数轴得；……………………10分
当 即时，符合．
∴ 综上所述，的取值范围．　　　　　　…………………………………12分
（注：若没分、讨论，扣2分）
　∴ 函数的最小正周期为；　……………………………………………………5分
　由，
∴　的单调递增区间是,．　………………………8分
（Ⅱ）∵　，
20．（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设月产量为台，则总成本，又，
∴　利润 ………………………… 6分
∴　　．………………………………… 11分
答：当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元．　………… 12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，即其定义域为；………………………… 2分
有成立；……………………………………………………… 4分
又当时，，∴　，有成立；
∴　综上：满足这些条件．……………………………………………… 6分
∵　代入条件得，，
∴　函数在上是奇函数．　…………………………………………………9分
又发现这样的函数在上是减函数．　…………………………………………10分
即，
∴　函数在上是减函数．……………………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)　∵　的对称轴方程为，∴　． ………… 2分
又的图象过点（1，13），∴　，∴　．
∴　的解析式为． ………………………………………… 4分
当，；
当，．……………………………… 9分
∴ 综上：　……………………………………… 10分
所以只有 ， 解得：．…………………………… 13分
因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为．………… 14分
（法二）从而的偶数，∴　的奇数
∴　取验证得，当时符合
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